第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项双十字相乘

1、第16讲 因式分解的方法一配方法和拆添项法知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆 项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。补充公式：ab3(a b)(a2 ab b2)a3 b3 (a b)(a2ab b2)、填空题1、分解因式:9x.（拆项法）2、分解因式:2ax 1 a2.（添项法）3、分解因式:（添项法）4、（“希望杯”初二试题）分解因式:43,a 2a b3a2b2 2ab3 b45、22（天津市竞赛试题）已知 x y2z 2x4y6z 14 0 ,则 x6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知a-b (a b),且 19

2、x2143xy 19y22005 ,（配方法）二、选择题7、（“五羊杯”竞赛试题）若x是自然数，设2x3 2x2a、y一定是完全平方数b、存在有限个x,使y是完全平方数c、y一定不是完全平方数d、存在无限个x,使y是完全平方数8、若a、b、c满足a2b2c29 ,则代数式2. 一 ，a的最大值是（a、27b、18c、15d、12、填空题19、（全国联赛）已知 1 b 40,则.（配方法）10、整数 a、b满足 6ab 9a 10b 303,贝u a b.（拆项法）22211、正数 a、b、c 满足 3 a b c ab 3b 2c 1 ,则 a、选择题12 、 （“五羊杯”竞赛试题22a 、若

3、 a b33b 、若abc 、若a4b444d 、若ab三、解答题13 、 分解因式：（ 1x47x2a、 b、 c 、 d 都是正数，则在以下命题中，错误的是(c2 ab bc ac ，则a b c3c 3abc ，则 a b cc4d 4 2 a2 b2c2d 2 ，则 a b c d44c d 4abcd ，则 a b c d2a2 b2 4a 2b 3 （郑州市竞赛题（拆项配方）3 x3 5x23 x 9 （拆项配方4 x3 2x2 5x 6 （重庆市竞赛题（拆项配方）5 4x3 31x 15（拆项配方法）2 ca4b c a bc卷一、解答题14、（“希望杯”初二年级培训题）求最大正

4、整数n,使得250 41015 16 n是是一个完全平方数。15、（全国数学联赛）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的 m个男生和11个女生的捐款总数 与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是mn 9m 11n 145元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。双十字相乘法例、分解因式 2x2 7xy 22y2 5x 35y 3小结：用双十字相乘法对多项式ax22bxy cy（1）用十字相乘法分解ax2bxyx2xx：x-31dx ey f进行因式分解的步骤是:2cy ,得到一个十字相乘图（有两列）；（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之

5、积的和等于原式dx.中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的 练习分解因式：(1) x2 3xy 10y2 x 9y 2 ；(2) x2 y2 5x 3y 4 ；2(3) xy y x y 2 ；(4) 6x2 7xy 3y2 xz 7yz 2z2 双十字相乘法答案：例.(x 2y 3)(2x 11y 1)(1)(x 2y 1)(x 5y 2)(2)(x y 1)(x y 4)(3)(y 1)(x y 2)(5) (2x 3y z)(3x y 2z)参考答案a组1 .答案：x 1 x2 x 8解析：原式 x3 x 8x 8 x x2 18 x 1x x 1x18 x 1x 1

6、x2 x 8提示：本题的关键是将9x拆为x和8x.22-2/x a x x 1 a x x a 12 .答案：x22 x 1 a x2 x a 1解析：原式 x4 2x2 1 x2 2ax a2 x2 1提示：本题的关键是将通过添加x2,构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。3 .答案：x2 x 1 xa b ab x2 1解析:原式 x5 x2x2x1 x2 x 1 x2x提示:本题的关键是将通过添加x2,构造立方差公式,进而提取公因式分解。4.答案：a2 b22ab解析：原式 a42. 2,42ab b332,22a b 2ab a b22 2a b 2ab aab提示：本题的关键是将

7、通过拆项3a2b2,构造完全平方公式。（拆项法）解析：由题意得:5 .答案：2x2 2x 1 y2 4y 4 z2 6z 9 0222x 1 y 2 z 30x 1 , y 2, z 3x y z 2（配方法）提示：本题的关键是将通过拆项 14,构造完全平方公式。6 .答案：101斛析：由xy 1 y -x一 2219x143xy 19y21919x143 2005x982 98故x 110x提示：本题的关键是将利用 x、y的倒数关系代换，然后配方。7 .答案：c解析：yx42x3x2 x2 2x 1x2x2 2x 1x22x 1x21 x 1提示：本题的关键是将2x2拆项，然后利用提取公因式

8、法分解即可。（拆项法）8 .答案：a解析：原式 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 3 a2 b2 c2a b c 2由于a b c 2 0,故原式的最大值为 27.提不：本题的关键是将利用a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac2 .a b c解决问题。（配方法）9 .答案：2解析：由已知变形得：4a2 b2 c2 4ab 2bc 4ac 0 2a b c 2 0 2a b c故 b_c 2 a提示：本题的关键是展开整理配成完全平方式。10 .答案:15解析：由等式变形得：6ab 9a 10b 15 288 3a 5 2b 3 288 25 32523a 5 2 , 2b 3 3

9、a 9, b 6故a b 15提示：本题的关键是将303拆项进行因式分解求解。11 .答案：a 1 , b 2 , c 1解析：把已知式变形得：3 a2 b2 c2 ab 3b 2c 1 0又21c21b - 232b - 2a提示:3b22, c本题的关键是将拆项配成。（拆项法）12 .答案：c根 据 a2 b2 c2 ab bc ac333a b c 3abc222a b c a b c ab ac bc222a b c ab bc acabc；a4 b4 c4 d4 4abcd222ab2222c d 2 ab cd 013. （ 1）解原式x4 2x2 1 9x222 x123xx2

10、3x 1 x2 3x 1提示： 本题的关键是通过添项2x2 构成完全平方式，进而利用平方差公式分解。（拆项法）2 ） . 解原式a2 4a 4b2 2b 122a 22 b 12a b 1a b33） . 解原式 x3 x 26x2 6x 9x 92x x 1 6xx 1 9x 11 x 32b a c4 ）解原式x3x2x 2 5x 62xx 1 x 1x 6 x2 x 6 x 1 x 1x 3x 25）解原式4x3 x 30x 15x2x 1 2x 115 2x 122x 1 2x x 152x 1 2x 5 x 36）解：令b c x ， a b y ，则 c a x y原式 x y 2 4xy2xy501015 n14 .解：2504101516n25022 101524 n2 50 122 19792 4n 50当 4n 50 2 1979 ，即n1002 时，以上括号中的式子可成为完全平方式2 2 n 2519794 n 502 n 252若 n 1002，则 21 2 2221即 1 2 21979 24n 50 在两个相邻自然数的平方之间，这是不可能的。因此， n 的最大值为 1002.