新浙教版3.3垂径定理(2)

1、 O AB C D M 复习复习 CD为直径为直径 CDAB 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 AMBM ADBD ACBC （1 1）已知）已知半径为半径为1010，弦心距为，弦心距为6 6，求，求 弦、矢高的长弦、矢高的长 （2 2）已知）已知弦为1616，弦心距为6 6，求，求 半径、半径、矢高的长的长 （3）已知）已知弦矢高为4 4，弦心距为6 6， 求半径、求半径、弦的长的长 （4）已知）已知弦为8，劣弧矢高为2， 求半径、求半径、弦心距的长的长 练习1 垂径定理的逆命题是什么？垂径定理的逆命题

2、是什么？ 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。并且平分弦所对的弧。 条件条件 结论结论1结论结论2 逆命题逆命题1：平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦,并且平分并且平分 弦所对的弧弦所对的弧 。 逆命题逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 CDAB, 逆命题逆命题1：平分弦的直径垂直于弦：平分弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。成立吗？成立吗？ O C D CD是直径是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD. M AB 平分弦平分弦 的直的直 径垂直于弦径垂直于弦,并且平分弦并且平

3、分弦 所对的弧。所对的弧。 探索规律探索规律 （不是直径）（不是直径） E F CDAB, 逆命题逆命题2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 成立吗？成立吗？ O C D CD是直径是直径 M AB 平分弧的直径垂直平分弧的直径垂直 平分弧所对的弦。平分弧所对的弦。 探索规律探索规律 AC=BC AM=BM 定理定理1:平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径的直径 垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的弧。并且平分弦所对的弧。 定理定理2:平分弧的直径平分弧的直径垂直平分垂直平分弧所对的弦。弧所对的弦。 .O A E B D C 条件：条件：CD是直径，是直径，AE

4、=EB 结论：结论：CDAB，ADBD，ACBC 条件：条件：CD是直径，并且是直径，并且ADBD 结论：结论： AE=EB ， ACBC CD AB 直线:过圆心 垂直于弦 平分弦 平 分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧。满足 其中两个必可得出另外三个 判断题判断题 （1）垂直于弦的直线平分弦，）垂直于弦的直线平分弦， 并且平分弦所对的弧。并且平分弦所对的弧。( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，）弦所对的两弧中点的连线， 垂直于弦，并且经过圆心。垂直于弦，并且经过圆心。( ) 直径直径 判断题判断题 （3）平分弦的直径垂直于弦，）平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对

5、的两条弧。( ) 弦弦 此弦不能是直径此弦不能是直径 课内练习课内练习1 1：已知：如图，：已知：如图， O的直径的直径PQ 分别交弦分别交弦AB，CD于点于点M，N，AM=BM, ABCD。求证：。求证：DN=CN。 A A B B C CD D P P Q Q N N M M O O O E A B M N F C 如图如图 O的弦的弦AB,AC的夹角为的夹角为50, M,N分别是分别是AB和和AC的中点的中点, 求求MON的度数。的度数。 练习：练习： 利用基本图形，先从已知弦入手 赵州石拱桥赵州石拱桥 已知赵州的已知赵州的跨径跨径(桥拱圆弧所对的弦的长桥拱圆弧所对的弦的长)为为 37.

6、02 m,拱高拱高(桥拱桥拱 圆弧的中点到弦的距离圆弧的中点到弦的距离)为为7.23m,求赵州桥的桥拱圆弧的半径求赵州桥的桥拱圆弧的半径 (精确到精确到0.1m). 例例3 解解:如图如图,用用AB表示桥拱表示桥拱,设圆心设圆心 为为O,C为为AB的中点的中点 A B O C 连接半径连接半径OC,交交AB于点于点D D 则则OC垂直平分垂直平分AB（为什么？（为什么？ ） ,CD就是拱高就是拱高 连接连接OB,设圆设圆O的半径为的半径为R(m) 由题意得由题意得:AB=37.02,CD=7.23,OB=R BD=1/2AB=0.537.02=18.51 OD=OC-DC=R-7.23 在在R

7、tOBD中中,OB2=BD2+OD2 R2=18.512+(R-7.23)2 解这个方程解这个方程,得得 R=27.3 答答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3m 2.2.如图如图, ,在直径为在直径为130mm130mm的圆铁片上切下一块高为的圆铁片上切下一块高为32mm32mm的的 弓形铁片，求弓形的弦弓形铁片，求弓形的弦ABAB的长。的长。 （弓形是圆弧和它所（弓形是圆弧和它所 对的弦围成的图形）对的弦围成的图形） 某一公路隧道的形状如图某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离半圆拱的圆心距离 地面地面2m,半径为半径为1.5m,一辆高一辆高3m,宽宽2.3m

8、的集装箱卡车能通过这个隧道吗的集装箱卡车能通过这个隧道吗? 2 1.5 O C B 3 2.3 F 1.15 解解:取取CD=1.15m,作作DECD交圆交圆O于点于点E 连接连接OE,过过O作作OFED于于F, 由题意可得由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 FD=OC=2由勾股定理得由勾股定理得: 2222 EFOEOF1.51.15 0.96 F=EF+DF=2.963 高高3m,宽宽2.3m的集装箱车的集装箱车 不能通过这个隧道不能通过这个隧道 D E 1.5 1.15 2 如果要使高度不超过如果要使高度不超过4m,宽为宽为2.3m的货车能顺利通过这个隧道的货车能顺利通过这个隧

9、道, 且不改变圆心到地面的距离且不改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少半圆拱的半径至少为多少m? 作业题作业题6. 已知已知O O的半径为的半径为5 5，弦，弦ABCDABCD，AB=6AB=6，CD=8CD=8，则，则 ABAB和和CDCD的距离为的距离为 . AB O CD 3 4 F 5 5 5 5 3 4 . AB O C D E OE=4 OF=3 1 F E 7 1或7 当两条弦在圆心的同侧时 当两条弦在圆心的两侧时 拓展: 1.如图, 在平面直角坐标系xOy中，直径为10的 E 交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且点A、B的坐 标分别为（-4，0）、（2，0）。 （1）

10、求圆心E的坐标； （2）求点C、D的坐标。 思路: 利用基本图形,现从已知的弦入手 定理定理1:平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径的直径 垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的弧。并且平分弦所对的弧。 定理定理2:平分弧的直径平分弧的直径垂直平分垂直平分弧所对的弦。弧所对的弦。 .O A E B D C 条件：条件：CD是直径，是直径，AE=EB 结论：结论：CDAB，ADBD，ACBC 条件：条件：CD是直径，并且是直径，并且ADBD 结论：结论： AE=EB ， ACBC CD AB 直线：过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧。 满足其中两个必可得出另外三个 定理的

11、逆定理定理的逆定理 如图如图,根据垂径定理与逆定理可知对于一个圆和根据垂径定理与逆定理可知对于一个圆和 一条直线来说。如果在下列五个条件中一条直线来说。如果在下列五个条件中: 只要具备其中两个只要具备其中两个 条件条件,就可推出其就可推出其 余三个结论余三个结论. O AB C D M CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD. 小测验：作业题1，3，4，5 2.如图,已知ABC内接于O，AB=AC=5,BC=8, 求O的半径。（下下节课用） 船能过拱桥吗船能过拱桥吗 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱拱 顶高出水面顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形米、船舱顶部为长方形 并高出水面并高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过此货船能顺利通过 这座拱桥吗？这座拱桥吗？ 如