宽进严出台阶分明的湖北卷

1、宽进严出台阶分明的湖北卷今年高考结束后，湖北地区的考生对数学卷的反映普遍良好武汉市的多家媒体报道的主调是“数学平和”这与过去历届多数考生对数学试卷的畏难情绪形成鲜明对比“平和”的实际意义是：不论什么样的考生都能够“宽进”，能够“试一烙铁”，因而应考的信心平添了几分，考试时心态不再紧张，能够比较从容地答完全卷，也就能够比较真实地反映考生的实际水平此外，许多老师反映，尽管“试卷平和”，但考核知识全面、重点突出、层次分明且不乏思维深刻且区分度高的好题，既能够较好地考察教学质量，又有利于高等学校选拔人才这就是说，今年高考数学的湖北卷，在实情检验、教学考核、人才选拔三个主要方面都得 到良好的评价，这是很

2、不容易的（一）这份试卷具有较好的区分度虽然这份试卷的许多试题考生都容易上手，但最终效果如何却是大不一样的即使做得正确，付出的代价也大不一样此外，还有少数题的确“高难”，只有功底、能力相当强的考生才 能解决区分度主要表现在：（1）有些试题是名副其实的考察基础知识，甚至可以“一望而答”的（22计【例1】（理科第1题）如果 3x2-刍 的展开式中含有非零常数项，则自然数n的最小I x3丿值为（）A. 3B.5C.6D.10对于这题，考生只要掌握了：常数项就是字母的指数为零的项，题中第1项字母的指数是2,第2项字母的指数是-3，而2与3的最小公倍数是 6,可知n=3+2=5，故选B.【例2】（理科第3

3、题）设P和Q是两个集合，定义集合 P-Q=1x|xP,且X Qi，如果P=x|log 2X1,Q=x|x-2|1,那么P-Q等于（ ）A.x|0x1B.x|Oxw 1C.x|1w x2D.x|2 x2,则( )A. 0B.1C.PD.p -1qq -1y为t的减函数.令（n）由（I）知：当 t 0.1 , +8）时,1f 121133V 0.25 =丨一J n t -一 a t 即一小时，也就是36分钟后，学生才能回116丿10 255（二）科学地使用猜学解题，可以大幅提高应考质量猜学是讲述概率论的实际应用的.猜学在各类考试中的应用，就是提倡考生大胆地猜，科学地猜，充分利用自己的猜功发挥自己的

4、最佳水平前面列举的8例，实际上也是使用了 猜功的.我们的办法是：选择题猜答案，填空题猜结果，解答题猜解题的方向和对策在这份试卷中，难度较大的有5、6、7、8、9、10、15、19（ 2）、20（ 2）、21（ 2）（ 3）.除以上已经解决的各题外，余下各题我们再逐一研究其“猜”法.【例9】（理科第5题）已知p和q是两个不相等的正整数,【分析】虽然p和q是两个不相等的正整数， 但运算的结果唯一（注意4个选项中有且只 有一个正确），也就是不论p和q取什么值，运算结果都是一样的.既如此，我们取最简单的数 据p=1, q=2.那么：【例10】（理科第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=

5、（m,n）与向量b=(1,-1)的夹角为0,贝U0(Tl 10，_的概率是()1 25175A.BC.D122126本题居然将概率与向量结合起来了，确实使人感到耳目一新.我们的基本解法仍然是猜【解析】第-.那么余弦的表达式是怎样的?】一1I n丿Jn1. 2 i 一 i ,. lim2 2 1 n :n nn1 1.n【评注】本题的解法是由特殊猜一般 况下，题设中的四个选项就一定不能排除+- Il n.1-1ln.既然本题在特殊情况下的答案是c.所以我们勇敢地猜定：正确答案就是-1limn工n,选 c.2c,那么在一般情c.猜：利用向量去求角度，应该先求余弦a b =m-n第二猜：cos日的取

6、值范围是什么？已知 日 0,，, cosTE Io,1） l 2（ 兀1第三猜：事件日E 0, 对m和n有什么要求?2 m2 n2 j ：: im n $,. 2 m _ n故一jV1成立J2(m2 +n2)I 2一当cos0,1时，必有mn.但m, n =1,2,3,4,5,6.显然基本事件总数是 6 x 6=36.若m = n ,则有6种可能；若 m n ,贝U m = 6,5,4,3,2时，n分别有5, 4, 3, 2, 1共兀 T6+15715种选择方法.于是日0 的概率是p=.选C.126汉612【例11】（理科第8题）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为 A和B,且A7n ：

7、；45an = 7n 45，则使得n为整数的正整数n的个数是（）Bn n 3bnA.2B.3C.4D.5a【分析】第一猜：与 工有什么关系，怎样转化？解法是:bn Bnan _ 2n -1 an _ 7 2n -145 _ 14n 38 _ 7n 19bn2n -1 bn %二 2n -1 r3 2n 2 n 17n +19第二猜：怎样保证比值是整数？ 我们借助不定方程求整数解的方法继续变形:n +17n 1912=7.显然，n+1必须能整除12 ,.n=1, 2, 3, 5或11.n 1n 1可见，n的个数为5,答D.【评注】本题是陈题改造，可以说是老树开新花，别有一番韵味【例12】(理科第

8、7题)双曲线C1：b2=1 (a0,b0 )的左准线为l ,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线 C的准线为l ,焦点为F2.C1和C的一个交点为m则印|MF1 | MF2 |等于A.-1B.1C.D.“别人猜题我猜人”，设计这两个奇怪 的比值，命题人是怎样想的？如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半【分析】焦距c,离心率为e,作MH - l于H，令MF = r1, MF2第一猜：的含义是什么?|MF2|点M在抛物线上,二 MH=MF2 乜故 IMF,|MF1；|mh| |mf2|丄e,这就是说：|MF1 |的实质是离心率e.|MF2|第二猜：| 1 2丨与离心率e有什么关系？注意到:|

9、MFj2cMF1rie 2arie A Dri第三猜：最后的答案是什么?由于阻一LMFXe-1e1.故答案应该是A.|MF1 | |MF2|【例13】(理科第19题)在平面直角坐标系2x=2py(p0)相交于A、B两点.(I)若点N是点C关于坐标原点 0的对称点， 求厶ANE面积的最小值；(H)是否存在垂直于 y轴的直线l，使得I被 以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求 出I的方程；若不存在，说明理由(此题不要求在答题卡上画图)【分析】1 按照常识，当且仅当点 C为AB 中点时 ANB面积的最值.xOy中，过定点 C(0 , p)作直线与抛物线在 x2=2px( p0)中，令 y=p，

10、贝V x = J2p ,此时 CN = 2 p AB 旷2 p 可得Sa = *|AB CN|=2逅p2.所以我们第一猜： ANB面积的最小值是2j2p2(2) 垂直于y轴的直线必平行于 x轴，如果有题设的性质，所以我们第二猜：它可能是 抛物线的焦点弦所在直线既然线段AC是圆的直径，那么选用圆的直径式方程计算教为简便当AB平行于x轴时，G必有AB = xB -xA，故解题的对策是求 xB -xA之值.【解析】(1)由条件知有N( 0, -p ), CN =2p.设直线AB： y = kx + p ,代入抛物线方程： x2 =2p kx p = x2 -2pkx-2p2 =0.由于 0,此方程必

11、有相异2实根，分别设为x1,x2，那么:x x2 二 2 pk/X2 =2p2为一X2 =-4x1x21= -CN2X _x2| =2 p2 Jk2 +2 .当且仅当 k=0 时,(2)设点A的坐标为 x, y ，则以AC为直径的方程是:xx-x y-p y-y =01假定存在直线满足所设条件，；丨/ x轴，.设I : y=a代入(1),整理得:2x.xx ap ay =0设弦两端分别为： P(x3, y3 ), Q(x4, y4 )，那么 PQ=x3x4.x3 十 x4 = X2i，注意到 x =2py,X3 x4 hia - p a - y，” PQ = Jx2 _4(a _ p X a

12、_y *) = J(4pa _4a2 ) +(4ay*_2pyW$p -2a 2y 4a i亠4aPQ =|2a| = p为定植.此时a = E 0显然符合题设条件.2故存在直线l : y =卩，也就是抛物线 x2=2py( p0)的准线满足题设条件.2当且仅当p=2a时,1 【例14】(理科第20题)已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax, g(x)=3a2lnx+b,2其中a0.设两曲线y=f (x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同(I)用a表示b,并求b的最大值；(n)求证：f(x) g(x) ( x0).【分析】本题方向已经明确，只须研究解题对策(1)函数图象中

13、与切线有关的问题应当通过求导解决；别求f (x)与g(x)的导数并令其相等(做到斜率相同);(2) 两函数的公共定义域为 x0.证明f (x) g(x)的对策是：构造函数T (x) =f (x) -g (x)并证明 T (x) 0使“切线相同”的对策是：分3a2【解析】(1) f x =x，2a,g x.令f x 二 g x，贝V ：x3a?x 2ax2 2ax -3a2 二 0= x = a或x - -3a .x已知a0,且 g(x)要求 x0,故取 x = a.IQ5 OO(a) = g( a)，即一a 2a = 3a ln a b, b a -3a ln a 即为所求.2 2(2)视b为

14、关于a的函数，那么b丄5a-6aln a-3-a-2a 1-3In a .10,e?时b为关于a的增函数；当1-3In0,.当 1-3Ina0 即 ln aa3-5 e3 -3 e3 丄丄e3.21时b为关于a的减函数.于是当a = e空时，bmax2ax _(3a21n x +b 卜则人 0.)T i x - x 2a -xxTa 0, 且 x 0,.当 x a时 T x 0,0 Y于是T x在0, a上减而在 a, :上增故T X minI 1 22 25 22=T(a)=l a +2a I-(3a In a+b)= a -3a In a-b(2 ) 2但由(1 卜 b=|a23a2l n

15、a,故 订(x)hn=0.-当x 0寸，总有f x _ g x .【例15】（理科第21题）已知m n为正整数.（I）用数学归纳法证明：当x-1时，（1 + x） m 1+mx（n）对于n6,已知 1，求证 i -T, m=1,1,2 ，n；2n 3（川）求出满足等式 3n+4m+（ n+2）m=（n+3）n的所有正整数n.【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论本题第（I）问不难，但第（n）问却令人相当棘手.我们猜想：第（n）问是否可以利用第（I）问的结论？第（川）问更难，是否又可以利用第（n）问的结论？解题实践证明：这个猜想是对的.【解析】（I）略m一罟.(n)： n

16、6,且 m=1,2,|l n,知 mMn.令=x：则-1xY0.1 0Y1xY1，即0Y11 （注：这是利用第（I）问的前提条件）n+3根据(i),1 x 1 mx 即I n+3但m空n.时，仍有1三0,1 ,n+36时，假定存在no,使得3n0 4n n 2 no 3 成立，则有：.nono +2I no +3f 小J。r矶r但是： -+3丿 卫+3丿6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.)综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.(四)对试卷的意见和建议今年高考结束之后，华中师大的“数学通讯”网站对数学湖北卷展开了比较热烈的讨论.大家除肯定该卷能

17、够深受本地区考生的欢迎以外，也提出了不少中肯的意见：(1)陈题过多.据反映：选择题的 7、8、9、1o都是陈题，或略作改编的陈题 .例如第1o 题虽然是相当不错的好题，但考试前已散见于各种资料中，其中有代表性的是06年7月出版的数学通讯特刊 第13套8题.该题是：已知直线ax，by T = 0 a,b不全为零 与圆x2+y2=1oo有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A.66 条B. 72条C.74条D.78条面对着市场上多如牛毛的教辅资料，要求命题人完全回避也难，但是，为了确保高考竞争 的公平性，对各地备考中涌现出来的好题，这种“巧合”之处还是少一些为好2）第 21 题第一问没有必要限制用数学归纳法去证，用二项式定理证明可能更为简单 还有老师