《微积分》第二篇第二章讲义定积分

1、经济数学基础 第二篇 第二章 定积分 定积分的概念、N-L公式 换元积分法和分部积分法 一、定积分的概念和性质一、定积分的概念和性质 （一）定积分的定义（一）定积分的定义 1、定义、定义 b a xxf baxfbaxf d)( : ,)(,)( 上的定积分为 在上有界，记在设函数 . )( 限分别为积分的下限和上和为积分号， ”为被积函数，“为积分变量，称 ba xfx 为积分区间。ba, (P-263) 2、定积分的几何意义、定积分的几何意义 梯形的面积。（如图） 就表示一个曲边，定积分如果xxfxf b a d )(0)( )(xfy y xOa b xxf b a d 问题：定积分 与

2、 不定积分 有什么区别？ （2）定积分定积分 是是一个确定的数值数值。 （1）不定积分不定积分 表示的全体原函数；全体原函数； （无穷多个函数）（无穷多个函数） b a xxfd)( xxfd)( b a xxfd)( xxfd)( 下面我们的目标就是找出计算下面我们的目标就是找出计算 定积分定积分的方法。的方法。 cxF （二）牛顿莱布尼茨公式（二）牛顿莱布尼茨公式（N-L公式）公式） ),(xf给定函数).(xF可以求出它的原函数 xxfaFbF baxF b a d )(),()( ,)( 就等于定积分之差 的端点处的值在区间则这个原函数 b a xxfd)(即： b a xF)()()

3、(aFbF 因此，要求一个函数的定积分，方法为： 第一步，求这个函数的一个原函数F(x) （要用到求不定积分的方法）； 第二步，计算原函数在端点处的值之差 F(b)F(a). 第三步，).()(d)(aFbFxxf b a 关键：求原函数F(x), 并且选取哪个原函数 都可以。 例例1： .d2d) 1 ( 2 1 2 0 3 texx t ）；（计算定积分： 解：的一个原函数为因为 3 ) 1 (x. 4 1 4 x 由N-L公式有： 2 0 4 2 0 3 4 1 dxxx 4 0 4 2 44 4 的一个原函数为因为 t e)2( t e 2 1 2 1 tt ee )( 2 ee （二

4、）变上限积分（二）变上限积分 1、定义定义：在定积分中，固定下限固定下限，让上限上限 变化变化，得到变上限的定积分，它是关于关于x的的 一个函数一个函数。记为： x a dttf)( 由NL公式： )()()(aFxFdttf x a 人们发现：这个函数恰好是被积函数的一个 原函数。 )()(xfdttf x a 实际上，我们可以推导出上面的结论。 )()()(aFxFdttf x a )()()(aFxFdttf x a )()(aFxF )(0)(xfxf )()( xfdttf x a 即： 这正说明了变上限积分是被积函数 f(x) 的一个原函数。 例例2： 解：解： .ddyxyy，所

5、以先求因为 tty x dcos 0 4 .cos 4 x xxxyydcosdd 4 又因为变上限积分就是被积函数的 一个原函数 .dcos 0 4 yty x ，求设 2、关于定积分的几个性质：、关于定积分的几个性质： dxxfdxxf a b b a )()(1 0)(2 dxxf a a dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a )()()()(3 dxxfkdxxkf b a b a )()(4 dxxfdxxfdxxf b c c a b a )()()(5 bca 用来处理分段函数 【例例3】 P269 练习练习2.1 题题3 （3） 2 1 .d1xx计算定积分 【

6、解解】 1, 1 1,1 1)( xx xx xxf 1 1 2 1 2 1 d1d15d1xxxxxx性质 1 1 2 2 x x 2 5 2 1 2 2 x x （三）定积分的求法（三）定积分的求法 我们的目标：求出初等函数的定积分。 实际上，求定积分的计算方法与不定 积分的计算方法一致，只不过 罢了。 所以，我们可以借助不定积分的基本 计算方法，去探求定积分的特点以简化定 积分的计算。 类似不定积分的运算可考虑定积分计算的 三个方面： 一、基本初等函数的定积分； 二、定积分与四则运算的关系； 三、定积分与复合运算的关系。 对于一，已有基本的积分公式和NL公式； 对于二，有定积分的性质15

7、； 对于三，有和。 ；变换为、凑微分：先将微分)(dd1xx ；变为，将令、换元uxxudd:2 、用积分公式计算；3。、还原u4 的那部分表达式中含有是xxfx)( )()( )( 1 xdxfdxxf即： duufdxxf)( )( 1 即： 【例例4】.dcossin 2 0 xxx求定积分 【解解】 由不定积分的凑微分法可知 xxxxxxdsinsindcossin xxsindsin cx 2 sin 2 1 于是 2 0 2 0 dsinsindcossin xxxxxx 2 0 2 sin 2 1 x 01 2 1 2 2 0 sindsin xx 2 1 【例例4】 .d ln

8、1 1 e x x x 求定积分 【解解】 e x x x 1 d 1 )ln1 (原式 e xx 1 )lnd(1)ln1 ( e x 1 2 )ln1 ( 2 1 14 2 1 2 3 【例例5】 .d 1 1 0 2 3 x x x 求定积分 解：解： 1 0 2 3 2 1 1 0 2 3 d 1 d 1 x x x x x x 1 0 2 3 2 3 d 1 ) 1( 3 2 x x x 1 0 2 3 2 3 ) 1d( 1 1 3 2 x x 1 0 2 3 ) 1ln( 3 2 x2ln 3 2 【解解】 xee xx d1 2 1 0 【例】：求 用“第一换元法” xee x

9、x d)1 (1 2 1 0 原式 )1 (d1 2 1 0 xx ee 1 0 3 )1 ( 3 1 x e 8)1( 3 1 3 e 2、分部积分法、分部积分法 b a b a b a xxvxuxvxuxxvxud)()()()(d)()( 与不定积分的积分公式类似有： 幂函数乘以三角函数时，先找三角函数 的原函数； 幂函数乘以指数函数时，先找指数函数 的原函数； 幂函数乘以对数函数时，先找幂函数的 原函数。 注：的意思就是的形式。 .dln6 1 e xxx】求定积分【例 【解解】 e xxx 1 2 dln 2 1 原式 e xx 1 2ln 2 1 e xxx 1 2 dln 2

10、1 0 2 1 2 e e xx 1 d 2 1 2 2 1 e e x 1 2 2 1 2 1 1 4 1 2 e .d17 4 0 xxe x 】求定积分【例 解：解： .dd1 4 0 4 0 xxex x 原式 4 0 x.d 4 0 xex x 4 .d 4 0 4 0 xexxe xx 4 0 4 d44xee x 4 0 4 44 x ee 4 55 e .d2cos)4( 2 0 xxx .d1 3 1 2 xxe x ）（ .dln3 1 3 e xxx）（ .dln)2( 5 1 xx （1） .d 3 1 2 xxe x 求定积分 【解解】 3 1 2 3 1 2 d 2

11、 1 dxexxxe xx 3 1 2 3 1 2 d1 2 1 xexe xx 3 1 226 d 2 1 3 2 1 xeee x 3 1 226 2 1 3 2 1 x eee 26 5 4 1 ee （3） .dln 1 3 e xxx求定积分 解：解： ee xxxxxx 1 4 1 3 dln 4 1 dln e e x x xxx 1 4 1 4 d 1 ln 4 1 e xxe 1 34 d 4 1 e xxe 1 44 d 4 1 4 1 e xe 1 44 4 1 4 1 13 16 1 4 e （4） .d2cos 2 0 xxx求定积分 【解解】 2 0 2 0 d)2

12、sin( 2 1 d2cos xxxxxx 2 0 2 0 d2sin12sin 2 1 xxxx 2 0 d)2(cos 2 1 0 2 1 xx 2 0 2cos 2 1 0 2 1 x. 2 1 （四）广义积分（四）广义积分 前面讨论的定积分，积分区间都是有限有限 区间区间a , b. 问：能否让区间扩大变成无限无限的呢？ 人们引进了新概念：无穷限的广义积无穷限的广义积 分分，记号为： b aba dxxfdxxf)(lim)( b aa b dxxfdxxf)(lim)( 类似地： .d)( d)(lim 收敛或存在广义积分 存在，我们就称如果极限 a b ab xxf xxf .d)

13、( d)(lim 发散或不存在我们就称广义积分 不存在，相反，如果极限 a b ab xxf xxf 我们的目标：计算一些函数的广义积分 的值。先计算定积分值，再取极限。 例例9：.d 1 1 2 3 x x 求广义积分 解：解： b b xxx x 1 2 3 1 2 3 dlimd 1 b b x 1 2 1 2lim ) 1(2lim 2 1 b b 2) 10(2 即广义积分收敛，其值为2。 例例10：.d 0 2 xxe x 求广义积分 解：解： xxexxe b x b x dlimd 00 22 xe b x b d 2 1 lim 0 2 b x b e 0 2 2 1 lim

14、 ) 1( 2 1 lim 2 b b e 2 1 ) 10( 2 1 即广义积分收敛，其值为. 2 1 例例11： .d 1 03 2 x x x 求广义积分 解：解： b b xxxx x x 0 2 3 2 03 2 d1limd 1 b b xx 0 2 2 3 2 1d1 2 1 lim b b x 0 2 1 2 12 2 1 lim 11lim 2 1 2 b b 110 即广义积分收敛，其值为1。 所以，计算广义积分，主要包含两种 运算。第一，先计算定积分；第二，再计 算极限。 经过证明，我们可以得到下面的结论 类型1： 1 1 dx x p 当 p 1 时，积分收敛；否则发散。