等差数列的前n项和(定稿)

1、等差数列的前等差数列的前n项和项和 复习回顾复习回顾 (1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/ （n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果n+m=p+q (m,n,p,qN),那么那么:an+am=ap+aq 问题问题1:怎样才能快速地计算出一堆怎样才能快速地计算出一堆 钢管的总数呢？钢管的总数呢？ 新课导入：新课导入： 问题二：一个堆放铅笔问题二：一个堆放铅笔

2、 的的V形架的最下面一层形架的最下面一层 放一支铅笔，往上每放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层一层都比它下面一层 多放一支，最上面一多放一支，最上面一 层放层放100支支.这个这个V形架形架 上共放着多少支铅笔上共放着多少支铅笔 ？ 问题就是求问题就是求 “1+2+3+4+100=？” 讲授新课：讲授新课： 问题：问题：1+2+3+4+100=1+2+3+4+100=？ 这个问题，德国著名数学家高斯（这个问题，德国著名数学家高斯（1777年年1855年）年）10岁时曾岁时曾 就很快求出了它的结果。（你知道应该如何算吗？）就很快求出了它的结果。（你知道应该如何算吗？） 令令X=1 +2 +3

3、 +4 +X=1 +2 +3 +4 +98+99+100 +98+99+100 =100+99+98+97+=100+99+98+97+3 + 2+ 1+3 + 2+ 1 这两个等式上、下对应的和均为这两个等式上、下对应的和均为101101，所以，所以. . 2X=101+101+101+2X=101+101+101+101+101+101+101+101+101 因为有因为有100100个个101101，所以，所以. . 2X=1012X=101100=10100100=10100 X=5050X=5050 问题问题1:怎样才能快速地计算出一堆怎样才能快速地计算出一堆 钢管的总数呢？钢管的总

4、数呢？ 5+9=14 6+8=14 7+7=14 8+6=14 9+5=14 问题回归：问题回归： 问题问题3: 求和求和:Sn =1+2+3+4+n=? 分组讨论：分组讨论： 问题问题4：设等差数列：设等差数列 an 的首项的首项 为为a1，项数为，项数为n。如何求等差数列。如何求等差数列 的前的前n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an=? 公式推导：公式推导： 那么根据等差数列那么根据等差数列an的通项公式，上式可以写成：的通项公式，上式可以写成： 1111 ()(2 ). (1) n Saadadand 再把项的次序反过来，又可以写成再把项的次序反过来，又可以写成 ()(2 ). (

5、1) nnnnn Saadadand 把，等号两边分别相加，得 111 2()().() nnnn Saaaaaa 1 () n n aa n个 于是，首项为a1 ，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和 1 () 2 n n n aa S 这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数 乘积的一半. 公式推导：公式推导： 练一练练一练1：某长跑运动员：某长跑运动员7天里每天天里每天 的训练量（单位：的训练量（单位：m）是：是：7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500这这 位运动员位运动员7天共跑了多少米？天共跑了多少米？ 公式应用

6、：公式应用： 解：解：由等差数列前n项和公式,得 7(7500+10500)/2=63000(米米) 练一练2：求n个正奇数的和,即 解解: : 由等差数列前n项和公式,得 2 (121) 135.(21) 2 nn nn 也可用面积图来表示 公式应用：公式应用： 135.(21)?n 问题问题5：能否用：能否用a1,n,d表示表示Sn？ 公式延伸：公式延伸： 1 (1) 2 n n n Snad 得：得： 将将 代入代入 式式 特别地特别地, ,当当a a1 1 =1, =1,d d =1 =1时，时，n n个连续正整数的和个连续正整数的和 (1) 123. 2 n n n Sn 1 (1)

7、 n aand 1 () 2 n n n aa S 解：解： 3 ) 1313 1 11 13 37 7 1 1 ( (a a + +a a2 2a a S S= = = =5 52 2. . 2 22 2 1、等差数列、等差数列an中中a7=4=4，求，求S13 随堂练习：随堂练习： 2、等差数列、等差数列 10， 6， 2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？ 解解：设题中的等差数列为设题中的等差数列为an，前，前n项和是项和是 Sn， 则则a1= 10，d= 6 ( 10) 4,设设 Sn=54， 根据等差数列前根据等差数列前 n项和公式，得项和公式，得 544 2 ) 1( 10 n

8、n n 0276 2 nn n1 9，n23 (舍去舍去) 答：等差数列答：等差数列-10，-6，-2，2，前前9项的和是项的和是54。 随堂练习：随堂练习： 倒序求 和法 推导等差数列前n 项和公式 1 () 2 n n n aa S 1 (1) 2 n n n Snad 课堂小结：课堂小结： 1.用类比的方法预习等比数列；用类比的方法预习等比数列； 2.书本书本6.2习题，练与考习题，练与考6.2.3的一、二、的一、二、 三；三； 课后作业：课后作业： 海商职技校海商职技校 许会友许会友 3 3、已知一个数列的前、已知一个数列的前n n项和为项和为 解：当 2 1, n Snn求它的通项公

9、求它的通项公, 式，它是等差数列吗式，它是等差数列吗? ? 2,n 时 22 1 (1)(1)(1) 12 nnn aSSnnnnn 当n=1时, 11 1aS n a 1(n=1), 2n(n2), 21 4 132,aa Q 数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数. an 不是等差数列. 随堂练习：随堂练习： 练习练习1 1：在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇 家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由 扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一 圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请 问: (1)第9圈共有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板? 例题讲解：例题讲解： 解：解：(1)(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为an ,由题意 可知an是等差数