《数学分析》第十四章幂级数

1、数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 第十四章幂级数第十四章幂级数 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 1 幂级数幂级数 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念 1.1.定义定义: : 设设),(,),(),( 21 xuxuxu n 是定义在是定义在RI 上的上的 函数函数, ,则则 )()()()( 21 1 xuxuxuxu n n n 称为定义在区间称为定义在区间I上的上的( (函数项函数项) )无穷级数无穷级数. . ,1 2 0 xxx n n 例如级数例如级数 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数

2、2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: : 如果如果Ix 0 , ,数项级数数项级数 1 0 )( n n xu收敛收敛, , 则称则称 0 x为级数为级数)( 1 xu n n 的的收敛点收敛点, , 否否则则称称为为发发散散点点. . 所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. . 函函数数项项级级数数)( 1 xu n n 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, , 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 )()(limxsxsn n 函数项级数的部分和函数项级数的部分和 余项余项)()()(xsxsxr nn (x在收敛域上在收敛域上) 0)(li

3、m xrn n 注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上 是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题. 3.3.和函数和函数: : )()()()( 21 xuxuxuxs n 在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, , 称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. . (定义域是定义域是?) ),(xsn 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 例例 1 1 求级数求级数 n n n xn ) 1 1 ( )1( 1 的收敛域的收敛域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法 )( )( 1 xu x

4、u n n xn n 1 1 1 )( 1 1 n x , 1 1 1 )1( x 当当 ,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛. , 11 x 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 , 1 1 1 )2( x 当当, 11 x ,02时时即即 x原级数发散原级数发散. ,0时时当当 x 1 )1( n n n 级数级数收敛收敛; ,2时时当当 x 1 1 n n 级数级数发散发散; )., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为 , 1|1|)3( x当当, 20 xx或或 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 1

5、.1.定义定义: :形 形如如 n n n xxa)( 0 0 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. . ,0 0 0 n n n xax 时时当当 其中其中 n a为为幂级数系数幂级数系数. 2.2.收敛性收敛性: : ,1 2 0 xxx n n 例如级数例如级数 ;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x );1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) ) 如如果果级级数数 0n n n xa在在)0( 00 xxx处处收收敛敛, ,则则 它它在在满满足足不不

6、等等式式 0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ; 如如果果级级数数 0n n n xa在在 0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足 不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处发发散散. . 证明证明 , 0lim 0 n n n xa,)1( 0 0 收敛收敛 n n n xa 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 ), 2 , 1 , 0( 0 nMxa n n 使使得得,M n n n n n n x x xaxa 0 0 n n n x x xa 0 0 n x x M 0 ,1 0 时时当当 x x , 00 收收敛敛等等比比级级数数 n n x x M

7、, 0 收收敛敛 n n n xa; 0 收收敛敛即即级级数数 n n n xa 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 ,)2( 0时 时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点 1 x适适合合 01 xx 使使级级数数收收敛敛, , 则则级级数数当当 0 xx 时时应应收收敛敛, 这与所设矛盾这与所设矛盾. 由由(1)结论结论 x o R R 几何说明几何说明 收敛区域收敛区域 发散区域发散区域发散区域发散区域 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也 不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都

8、收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定 的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: : 当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ; 当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散; 当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. . 推论推论 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间. , 0 R ),RR ,(RR .,RR 规定规定 , R 收收敛敛区区间间0 x; 收敛区间收敛区间),

9、( . 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛, ( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, , 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa的的所所有有系系数数0 n a, 设设 n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 则则当当0 时时, 1 R; (3) 当当 时时,0 R. (2) 当当0 时时, R; 证明证明 应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0n n n xa n n n n n x

10、a xa 1 1 lim x a a n n n 1 lim ,x 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 ,)0(lim)1( 1 存在存在如果如果 n n n a a 由比值审敛法由比值审敛法, , 1 |时时当当 x,| 0 收收敛敛级级数数 n n n xa . 0 收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 n n n xa , 1 |时时当当 x,| 0 发发散散级级数数 n n n xa 开开始始并并且且从从某某个个 n |,| 1 1 n n n n xaxa 0| n n xa . 0 n n n xa发发散散从从而而级级数数; 1 R收敛半径收敛半径 数学分析第十四章幂级数数学

11、分析第十四章幂级数 , 0)2( 如如果果, 0 x ),(0 1 1 n xa xa n n n n 有有,| 0 收收敛敛级级数数 n n n xa . 0 收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 n n n xa; R收收敛敛半半径径 ,)3( 如果如果 , 0 x. 0 n n n xa必必发发散散级级数数 )|01( 0 收敛收敛使使知将有点知将有点否则由定理否则由定理 n n n xax . 0 R收敛半径收敛半径 定理证毕定理证毕. 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: 解解 )1( n n n a a 1 lim 1

12、 lim n n n 1 1 R ,1时时当当 x ,1时时当当 x , )1( 1 n n n 级级数数为为 , 1 1 n n 级级数数为为 该级数收敛该级数收敛 该级数发散该级数发散 ;)1()1( 1 n x n n n ;)()2( 1 n n nx ; ! )3( 1 n n n x .) 2 1 ( 2 )1()4( 1 n n n n x n 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 故故收收敛敛区区间间是是1 , 1( . n n n a limn n lim, , R 级数只在级数只在0 x处收敛处收敛, n n n a a 1 lim 1 1 lim n n , 0

13、, 0 R 收收敛敛区区间间),( . ;)()2( 1 n n nx ; ! )3( 1 n n n x 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 n n n a a 1 lim 1 2 lim n n n 2 , 2 1 R , 2 1 2 1 收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x .) 2 1 ( 2 )1()4( 1 n n n n x n ,0时时当当 x, 1 1 n n 级数为级数为 ,1时时当当 x , )1( 1 n n n 级数为级数为 发散发散 收敛收敛 故收敛区间为故收敛区间为(0,1. 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 例例 3 3 求求幂幂级

14、级数数 1 12 2 n n n x 的的收收敛敛区区间间. 解解 3 5 2 3 222 xxx 级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项 应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法 )( )( lim 1 xu xu n n n n n n n n x x 2 2 lim 12 1 12 , 2 1 2 x 级数收敛级数收敛, , 1 2 1 2 x当当,2时时即即 x 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 , 1 2 1 2 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散, ,2时时当当 x, 2 1 1 n 级数为级数为 ,2时时当当 x, 2 1 1 n 级数为级数为 级数发散级数发散,

15、级数发散级数发散, 原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为 ).2, 2( 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 1.1.代数运算性质代数运算性质: : (1) 加减法加减法 00n n n n n n xbxa. 0 n n n xc (其中其中 21, minRRR ) nnn bac RRx, , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 (2) 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 )

16、 0110 bababac nnnn 00b a 10b a 20b a 30b a 01b a 11b a 21b a 31b a 02b a 12b a 22b a 32b a 03b a 13b a 23b a 33b a 柯柯 西西 乘乘 积积 32 1xxx 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 (3) 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc )0( 0 n n n xb收敛域内收敛域内 (相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多) 2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :

17、 (1) 幂幂级级数数 0n n n xa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间 ),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 (2) 幂级数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. x n n n x dxxadxxs 0 0 0 )()(即即 0 0 n x n n dxxa. 1 1 0 n n n x n a (收敛半径不变收敛半径不变) 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 (3) 幂级

18、数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 0 )()( n n n xaxs即即 0 )( n n n xa. 1 1 n n nx na (收敛半径不变收敛半径不变) 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 例例 4 4 求求级级数数 1 1 )1( n n n n x 的的和和函函数数. 解解,)1()( 1 1 n n n n x xs, 0)0( s显显然然 两边积分得两边积分得 )1ln()( 0 xdtts x 2 1)(xxxs, 1 1 x )11( x 数学分析第十四章幂

19、级数数学分析第十四章幂级数 ,1时时又又 x. 1 )1( 1 1 收收敛敛 n n n ).1ln()1( 1 1 x n x n n n )11( x ),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 例例 5 5 求求 1 2 )1( n n nn 的和的和. 解解 ,)1( 1 n n xnn 考考虑虑级级数数收敛区间收敛区间(-1,1), 1 )1()( n n xnnxs则则)( 1 1 n n xx ) 1 ( 2 x x x, )1( 2 3 x x 1 2 )1( n n nn 故故) 2 1 ( s . 8 数学分析第十四章幂级数数学分析第十四章幂级数 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数 ; 1 1 )1