《数学分析》第八章不定积分

1、第八章第八章 不定积分习题课不定积分习题课 数学分析第八章不定积分 积分法积分法 原原 函函 数数 选选 择择 u u 有有 效效 方方 法法 基基 本本 积积 分分 表表 第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法 直接直接 积分法积分法 分部分部 积分法积分法 不不 定定 积积 分分 几种特殊类型几种特殊类型 函数的积分函数的积分 一、主要内容一、主要内容 数学分析第八章不定积分 1 1、原函数、原函数 如果在区间如果在区间I内，可导函数内，可导函数)(xF的导函数为的导函数为 )(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或 dxxfxdF)()( ，那么函数，那么函

2、数)(xF就称为就称为)(xf或或 dxxf)(在区间在区间I内原函数内原函数. 定义定义 原函数存在定理原函数存在定理 如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，那那 么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都都有有 )()(xfxF . 即：即： 数学分析第八章不定积分 2 2、不定积分、不定积分 (1) 定义定义 在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的带有任意常数项的带有任意常数项 的原函数称为的原函数称为)(xf在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记，记 为为 dxxf)( CxFdxxf )()( 函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形

3、形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线. 数学分析第八章不定积分 dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()( (2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. dxxkf)(2 0 dxxfk)( （k是是常常数数，)0 k (3) 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxf dx d dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()( 数学分析第八章不定积分 3 3、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数) )1( 1 )2( 1 C x dxx Cx x dx ln)3( dx x 2 1 1 )4(Cx ar

4、ctan dx x 2 1 1 )5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxe x )12(Ce x x dx 2 cos )8( xdx 2 secCx tan x dx 2 sin )9( xdx 2 cscCx cot 数学分析第八章不定积分 dxa x )13(C a a x ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19( C a

5、 x a dx xa arctan 11 )20( 22 C xa xa a dx xa ln 2 11 )22( 22 C a x dx xa arcsin 1 )23( 22 Caxx dx ax )ln( 1 )24( 22 22 C ax ax a dx ax ln 2 11 )21( 22 Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh 数学分析第八章不定积分 5 5、第一类换元法、第一类换元法 4 4、直接积分法、直接积分法 定定理理 1 设设)(uf具具有有原原函函数数，)(xu 可可导导， 则则有有换换元元公公式式 dxxxf)()( )( )( xu duuf

6、第一类换元公式（第一类换元公式（） 由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法定积分的方法. 数学分析第八章不定积分 ;)(. 1 1 dxxxf nn ; )( . 2dx x xf ; )(ln . 3dx x xf ; ) 1 ( . 4 2 dx x x f ;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaaf xx 常见类型常见类型: ;sec)(tan. 7 2 xdxxf; 1 )(arctan . 8 2 dx x xf 数学分析第八章不定积分 6 6、第二类换元法、第二类换元法 定定理理 设设)(tx 是是单单调调的的、

7、可可导导的的函函数数，并并 且且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数， 则则有有换换元元公公式式 )( )()()( xt dtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数. 第二类换元公式第二类换元公式 数学分析第八章不定积分 常用代换常用代换: .,)(. 1Rbatx .sin,)( . 2 22 taxxaxf 令令如如 三角函数代换三角函数代换 .,)( . 3 22 ashtxxaxf 令令如如 双曲函数代换双曲函数代换 . 1 . 4 t x 令令倒置代换倒置代换 数学分析第八章不定积分 7 7、分部积分法、分部积分法 分部积分公式分部积分

8、公式 dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法: :LIATELIATE选择法选择法 L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数； A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数； E-指数函数；指数函数； 哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u. 数学分析第八章不定积分 9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分 （1）有理函数的积分）有理函数的积分 定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. mm mm nn nn bxbxbxb axaxaxa xQ xP 1 1 10 1 1 10 )( )( 其中其中m

9、、n都是非负整数；都是非负整数； n aaa, 10 及及 m bbb, 10 都是实数，并且都是实数，并且0 0 a，0 0 b. 真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法 数学分析第八章不定积分 四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分 ;ln. 1CaxA ax Adx ; )(1()( . 2 1 C axn A ax Adx nn ;arctan ln 2 . 3 4 2 4 2 2 2 22 C q x q N qpxx M dx qpxx NMx p p p Mp dx qpxx N qpxx dxpxM dx qpxx NMx n Mp nn )

10、()( )2( 2)( . 4 2 2 22 此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式 数学分析第八章不定积分 令令 2 tan x u 2 1 2 sin u u x 2 2 1 1 cos u u x uxarctan2 du u dx 2 1 2 dxxxR)cos,(sindu uu u u u R 22 2 2 1 2 1 1 , 1 2 （2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR 数学分析第八章不定积分 （3）

11、 简单无理函数的积分简单无理函数的积分 讨论类型：讨论类型：),( n baxxR ),( n ecx bax xR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号 ; n ecx bax t 令令; n baxt 令令 数学分析第八章不定积分 二、典型例题二、典型例题 例例1 1 dx x x 1) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 原式原式解解 . 49 32 dx xx xx 求求 1) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 ln 1 2x x d 1 2 3 ln 1 2 t dt dt tt ) 1 1 1 1 ( 2 3 ln2 1 C t t 1 1 ln )2ln3(ln2 1

12、. 23 23 ln )2ln3(ln2 1 C xx xx t x ) 2 3 (令令 数学分析第八章不定积分 例例2 2 解解 . cos1 )sin1( dx x xe x 求求 dx x xx e x 2 cos2 ) 2 cos 2 sin21( 2 原式原式 dx x e x e xx ) 2 tan 2 cos2 1 ( 2 2 tan) 2 (tan( xx de xx de ) 2 tan( x ed x . 2 tanC x e x 数学分析第八章不定积分 例例3 3 解解 . 1 5)1ln( 2 2 dx x xx 求求 5)1ln( 2 xx , 1 1 2 x 5)

13、1ln(5)1ln( 22 xxdxx原原式式 .5)1ln( 3 2 2 3 2 Cxx ) 12 2 1( 1 1 22 x x xx 数学分析第八章不定积分 例例4 4 解解 . 1 1 22 dx xx x 求求 , 1 t x 令令 dt t tt t ) 1 ( 1) 1 ( 1 1 1 2 2 2 原式原式dt t t 2 1 1 2 2 2 12 )1( 1 1 t td dt t Ctt 2 1arcsin . 1 arcsin 1 2 C xx x (倒代换倒代换) 数学分析第八章不定积分 例例5 5 解解 . 1 632 xxx eee dx 求求 , 6 te x 令令

14、,ln6tx , 6 dt t dx dt tttt 6 1 1 23 原原式式dt ttt )1)(1( 6 2 22 11)1)(1( 6 t DCt t B t A ttt 设设 )1()()1()1)(1(6 22 ttDCttBtttA 数学分析第八章不定积分 解得解得 . 3, 3, 3, 6 DCBA dt t t tt ) 1 33 1 36 ( 2 原式原式 Ctttt arctan3)1ln( 2 3 )1ln(3ln6 2 .arctan3)1ln( 2 3 )1ln(3 636 Ceeex xxx 数学分析第八章不定积分 例例6 6 解解 .)1ln(arctan 2

15、dxxxx求求 dxxx)1ln( 2 )1()1ln( 2 1 22 xdx . 2 1 )1ln()1( 2 1 222 Cxxx 2 1 )1ln()1( 2 1 arctan 222 xxxxd 原原式式 xxxxarctan)1ln()1( 2 1 222 dx x x x 1 )1ln( 2 1 2 2 2 数学分析第八章不定积分 例例7 7 解解 . )2( 10 xx dx 求求 )2( 1010 9 xx dxx 原式原式 )2( )( 10 1 1010 10 xx xd Cxx )2ln(ln 20 1 1010 .)2ln( 20 1 ln 2 1 10 Cxx . 2

16、 )1ln( 2 3)1ln()1(arctan 2 1 2 222 C x x x xxxx 数学分析第八章不定积分 例例8 8 解解 . )1()1( 3 42 xx dx 求求 .)1() 1 1 ()1()1( 2 3 4 3 42 x x x xx , 1 1 x x t令令, )1( 2 2 dx x dt 则则有有 原原式式 2 3 4 )1() 1 1 (x x x dx dtt 3 4 2 1 Ct 3 1 2 3 . 1 1 2 3 3 C x x 数学分析第八章不定积分 例例9 9 解解 . cos1 sin dx x xx 求求 dx x xx x 2 cos2 2 c

17、os 2 sin2 2 原式原式 dx x dx x x 2 tan 2 cos2 2 dx x dx xx x 2 tan 2 tan 2 tan . 2 tanC x x 数学分析第八章不定积分 例例1010 解解 dx xf xfxfxfxf )( )()()()( 3 22 原式原式 . )( )()( )( )( 3 2 dx xf xfxf xf xf 求求 dx xf xfxfxf xf xf )( )()()( )( )( 2 2 )( )( )( )( xf xf d xf xf . )( )( 2 1 2 C xf xf 数学分析第八章不定积分 例例1111 解解 ., 1

18、max dxx求求 , 1max)(xxf 设设 , 1, 11,1 1, )( xx x xx xf则则 ,),()(上上连连续续在在 xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数 数学分析第八章不定积分 须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF . 1, 2 1 11, 1, 2 1 )( 3 2 2 1 2 xCx xCx xCx xF ) 2 1 (lim)(lim 1 2 1 2 1 CxCx xx , 2 1 1 12 CC 即即 )(lim) 2 1 (lim 2 1 3 2 1 CxCx xx ,1 2 1 23 CC 即即 数学分析第八章不定积分 . 1,1 2 1 11, 2

19、 1 1, 2 1 , 1max 2 2 xCx xCx xCx dxx故故 .1, 2 1 32 CCCC 可可得得 , 1 CC 联联立立并并令令 数学分析第八章不定积分 一、一、 选择题：选择题： 1 1、 设设)(, )( 21 xFxF是区间是区间I内连续函数内连续函数)(xf的两个不的两个不 同的原函数，且同的原函数，且0)( xf, ,则在区间则在区间I内必有内必有（ ） （A A） CxFxF )()( 21 ； （B B） CxFxF )()( 21 ； （C C） )()( 21 xCFxF ； （D D） CxFxF )()( 21 . . 2 2、若、若 , )()(

20、xfxF 则则 )(xdF= =（ ） （A A） )(xf； （B B） )(xF； （C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. . 测测 验验 题题 数学分析第八章不定积分 3 3、)(xf在某区间内具备了条件在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的）就可保证它的 原函数一定存在原函数一定存在 （A A） 有极限存在；有极限存在； （B B）连续；）连续； （B B） 有界；有界； （D D）有有限个间断点）有有限个间断点 4 4、下列结论正确的是、下列结论正确的是（ ） （A A） 初等函数必存在原函数；初等函数必存在原函数； （B B） 每个不定积分都可以表示为初等函数；每个

21、不定积分都可以表示为初等函数； （C C） 初等函数的原函数必定是初等函数；初等函数的原函数必定是初等函数； （D D） CBA,都不对都不对 . . 数学分析第八章不定积分 5 5、函函数数 2 )()(xxxf 的的一一个个原原函函数数 )(xF( ( ) ) （A A） 3 3 4 x; ; （B B） 2 3 4 xx; ; （C C) )( 3 2 2 2 xxx ; ; （D D）)( 3 2 2 xxx . . 6 6 、 已已 知知 一一 个个 函函 数数 的的 导导 数数 为为xy2 ， 21 yx时时且且, ,这这个个函函数数是是（ ） （A A）; 2 Cxy （B B）

22、;1 2 xy （C C）C x y 2 2 ; ; （D D） .1 xy 数学分析第八章不定积分 7 7、下列积分能用初等函数表出的是、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A A） dxe x2 ； （B B） 3 1x dx ； （C C） dx xln 1 ； （D D） dx x xln . . 8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 则则 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF )(; ; （C C）CbatF a )( 1 ; ; （D D）CbatF )( . . 数学分析第八章不定积分 9 9、 dx x x 2 ln （） （A A）C x x x 1 ln 1 ; ; （B B）C x x x 1 ln 1 ; ; （C C）C x x x 1 ln 1 ； （D D）C x x x 1 ln 1 . . 1 10 0、 10 )14( x dx