大学物理-牛顿运动定律

1、自然和自然规律隐藏在黑暗之中，自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说上帝说“让牛顿降生吧让牛顿降生吧”， 一切就有了光明；一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 上帝咆哮说：上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧让爱因斯坦降生吧”， 就恢复到现在这个样子。就恢复到现在这个样子。 三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上， 建立了动力学三大定律和万有引力定律。建立了动力学三大定律和万有引力定律。 其实，没有后者，就不能充分显示前者其实，没有后者，就不能充分显示前者 的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推的光辉。海王星的发现，把牛顿力学推

2、上荣耀的顶峰。上荣耀的顶峰。 魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨， 她在更加坚实的基础上确立了自己的使她在更加坚实的基础上确立了自己的使 用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了用范围。宇宙时代，给牛顿力学带来了 又一个繁花似锦的春天。又一个繁花似锦的春天。 一、一、牛顿牛顿运动定律的表述运动定律的表述 牛顿牛顿第一定律第一定律（Newton first law)( (惯性定律惯性定律) ) 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。 包含两个重要概念：

3、包含两个重要概念：惯性惯性和和力力 1-3 牛顿运动定律牛顿运动定律 固有特性固有特性 牛顿牛顿第二定律第二定律（Newton second law） 在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大 小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的 方向与外力的矢量和的方向相同。方向与外力的矢量和的方向相同。 amF 2、迭加性：、迭加性： i N iN FFFFF 1 21 特点特点： 瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 1、瞬时性：、瞬时性：aF 、 、之间一一对应之间一

4、一对应 3、矢量性：、矢量性：具体运算时应写成分量式具体运算时应写成分量式 dt d mmaF y yy dt d mmaF x xx dt d mmaF z zz 直角坐标系中：直角坐标系中： dt d mmaF 2 mmaF nn 自然坐标系中：自然坐标系中： 4、定量的量度了惯性定量的量度了惯性 A B B A a a m m 惯性质量惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量 质量是物体平动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度 引力质量引力质量： 0 2 21 r r mm GF 式中式中 21 mm 、被称为引力质量被称为引力质量 经典力

5、学中经典力学中不区分不区分引力质量和惯性质量引力质量和惯性质量 任一时刻物体动量的变化率总是等于物体任一时刻物体动量的变化率总是等于物体 所受的合外力。所受的合外力。 v 当当 B，所做的功与路径无关，所做的功与路径无关， 而只与这两点的位置有关。可引而只与这两点的位置有关。可引 入一个只入一个只与位置有关的函数与位置有关的函数，A点点 的函数值减去的函数值减去B点的函数值点的函数值，定义，定义 为从为从A -B保守力所做的功保守力所做的功，该函，该函 数就是势能函数。数就是势能函数。 A B 定义了势能差定义了势能差 )()(bEaEW PPab )()( 00 ab r Mm G r Mm

6、 GW引 引 ) 2 1 2 1 ( 22 ab kxkxW 弹弹 )( ab mgzmgzW 重重 p pp b a E bEaE rdFW )()( 保保保保 保守力保守力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少； 保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。 选参考点（势能零点），设选参考点（势能零点），设0)( bEP)(aEW Pab b a PP rdFbEaE 保保 )()( 质点在质点在某一点的某一点的势能大小势能大小等于在相应的等于在相应的保守力的作用保守力的作用 下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。

7、 rdFaE a r p 零零势势能能点点 保保 )( 重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点） mgyymgmgdyE y P )0( 0 引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点） r GMmdr r Mm GE r P 1 2 弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点） 22 0 2 1 2 1 0kxkxdxkxE x p )( 势势 能能 只只 具具 有有 相相 对对 意意 义义 注意：注意： 1、计算势能必须规定零势能参考点。计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量势能是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。其量值与零势能点

8、的选取有关。 2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于 一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。一种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。 3、势能是属于以保守力形式相互作用的势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共物体系统所共 有的。有的。 4、一对一对保守力的功保守力的功等于等于相关势能增量的负值相关势能增量的负值。因此，。因此， 保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时， 系统势能增加。系统势能增加。 保守力势能和的关系：保守力势能和的关系： 势能是保守力对路径的线积分势能

9、是保守力对路径的线积分 dl dE F P l 保守力沿某一给定的保守力沿某一给定的l方向的分量方向的分量等于与此保守等于与此保守 力相应的势能函数沿力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。方向的空间变化率。 dlFdlFldFdE lP cos 保守力所做元功保守力所做元功 l dFaE a p 零零势势能能点点 保保 )( Fl A l d l F 势能是位置的函数，用势能是位置的函数，用EP ( x,y,z)表示，称为势函数表示，称为势函数 dl dE F P l z E F y E F x E F p z p y p x , k z E j y E i x E kFjFiFF ppp z

10、yx p Ek z j y i x )( pp EgrdE 质点所受保守力等于质点质点所受保守力等于质点 势能梯度的负值势能梯度的负值 那勃勒算符那勃勒算符 势能曲线势能曲线 几种典型的势能曲线几种典型的势能曲线 （d）原子相互作用）原子相互作用 势能曲线势能曲线 势能曲线势能曲线:势能随势能随 位置变化的曲线位置变化的曲线 ) h Ep（ （h） O 2 1 （a） l Ep（ （l） O （b） r Ep（ （r） O p E （c） r0 Ep（ （r） O r 2 （d） （a）重力势能曲线）重力势能曲线 （b）弹性势能曲线）弹性势能曲线 （c）引力势能曲线）引力势能曲线 势能曲线提供

11、的信息势能曲线提供的信息 1、质点在轨道上任意位置所具有的势能值。、质点在轨道上任意位置所具有的势能值。 2、势能曲线上任意一点的斜率、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，的负值， 表示质点在该处所受的保守力表示质点在该处所受的保守力 dldEP X p E a r A B E b r c r 3、势能曲线有极值，、势能曲线有极值， 质点处于平衡位置。质点处于平衡位置。 设系统机械能守恒，设系统机械能守恒， 由此势能曲线可分析由此势能曲线可分析 系统状态的变化。系统状态的变化。 势阱势阱 势垒势垒 三三、动能动能 动能定理动能定理 质点的质点的动能动能 2 2 1 mvE k ) 2 1 ( 2

12、 b a mvd b b ds dt dv m b a mvdv b a dsFW 22 2 1 2 1 ab mvmv kKaKbab EEEmvmvW 22 2 1 2 1 末态动能末态动能初态动能初态动能 合外力对质点合外力对质点所做的功所做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。 1) 质点质点的动能定理的动能定理 功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度 过程量过程量状态量状态量 物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化 外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加； 外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。 保守力保守

13、力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少； 保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。 比比 较较 2）质点系质点系的动能定理的动能定理 初初末末内内外外kk EEWW 质点系的动能定理质点系的动能定理: 对质点系作的总功等于质点系总动能的增量。对质点系作的总功等于质点系总动能的增量。 i ii i kik vmEE 2 2 1 ni, 2 , 1 质点系统的质点系统的动能动能 因为因为 作用力和反作用力做功之和作用力和反作用力做功之和 121 rdFdW 所以一对内力所以一对内力 做功之和不一定为零做功之和不一定为零 因此因此 0KK EEWWW 保保守守内内力

14、力非非保保守守内内力力外外 质点系的动能定理质点系的动能定理 PPP EEEW )( 0保保守守内内力力 )()( 00PPKK EEEEWW 非非保保守守内内力力外外 0 EEWW 非非保保守守内内力力外外 1)质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系在运动过程中，它所受质点系在运动过程中，它所受外力的功外力的功与与系统内非保系统内非保 守力的功守力的功的总和等于其的总和等于其机械能的增量机械能的增量。称为功能原理 称为功能原理 四、四、 机械能守恒定律机械能守恒定律 系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变 在在只有保守内力做功只有保守内力做功的情况下，的情况下， 质点系的质点系的机械能保

15、持不变机械能保持不变。 2)机械能守恒定律机械能守恒定律 0 非非保保守守内内力力外外 WW 00 非非保保守守内内力力外外 和和或或WW 1-5 冲量与冲量与动量动量 二、质点的动量定理二、质点的动量定理 dt pd dt vmd F )( pddtF 动量定理动量定理的微分形式的微分形式 dtFId pdId 元冲量元冲量 一一、动量动量 （描述质点运动状态，矢量）（描述质点运动状态，矢量） 质点系的动量质点系的动量 iii vmpp vmp 质点的动量质点的动量 2 1 2 1 12 p p t t pppddtF 12 ppI 作用于物体上的作用于物体上的合外力的冲量合外力的冲量等于物

16、体等于物体动量的增量动量的增量 质点的动量定理质点的动量定理 pddtF 动量定理动量定理的微分形的微分形 式式 2 1 t t dtFI 其中令其中令 称为称为力的冲量力的冲量. 动量定理动量定理的积分形式的积分形式 xx t t xx mvmvdtFI 12 2 1 yy t t yy mvmvdtFI 12 2 1 zz t t zz mvmvdtFI 12 2 1 分量表示式分量表示式 2 1 2 1 12 p p t t pppddtF 平均冲力：平均冲力： 定义定义：在相同时间内，若有一：在相同时间内，若有一恒力的冲量恒力的冲量与一与一变力变力 的冲量的冲量相等相等。则这一个。则这

17、一个恒力恒力称为这一称为这一变力的平均冲变力的平均冲 力力。即当恒力与变力满足：。即当恒力与变力满足： 12 _ 2 1 )( tt dttF FF t t 变变 恒恒力力 平平 动量定理变为：动量定理变为： 则定义平均冲力则定义平均冲力 12 vmvmtF 平均冲力平均冲力 2 1 )( t t dttFtF 变变恒恒力力 12 12 tt pp 三三、质点系的动量定理质点系的动量定理 设有两个质点系设有两个质点系m1、 、m2 1 F 2 F 受外力：受外力： f 受内力：受内力： 对质点对质点 “1” 对质点对质点“2”fF dt pd 1 1 fF dt pd 2 2 f m1 m2

18、1 F 2 F f f 21 21 )( FF dt ppd f f 21 21 )( FF dt ppd nn FFFppp dt d 2121 )( 一般言之：设有一般言之：设有N个质点，则：个质点，则： F dt Pd 动量定理动量定理的微分形式的微分形式. 令令: PddtF 或或: n pppp 21 n FFFF 21 则有则有: nn FFFppp dt d 2121 )( 2 1 2 1 )( 21 P P t t n PddtFFF 12 1 PPI n i i 质点系的动量定理质点系的动量定理. i i i i P P t t i i ppPddtF 12 2 1 2 1

19、外外 12 1 PPI n i i 质点系的动量定理质点系的动量定理:质点系所受外力的总冲量等于质质点系所受外力的总冲量等于质 点系的总动量的增量点系的总动量的增量 注意注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内内 力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质力虽能改变质点系个别质点的动量，但不能改变质 点系的总动量。点系的总动量。 四四、质点系的动量守恒定理质点系的动量守恒定理 F dt Pd 若质点系所受合外力为零，若质点系所受合外力为零， 则质点系的总动量保持不变。则质点系的总动量保持不变。 cvmp n i ii 1 0 外外i FF 如果如

20、果 注意注意1）使用时要注意定理的条件使用时要注意定理的条件： 惯性系惯性系 2）常用分量式常用分量式： 恒量恒量 ixiv m 恒量恒量 iyiv m 恒恒量量 iziv m 这说明哪个方向所受的合力为零，这说明哪个方向所受的合力为零， 则哪个方向的动量守恒。则哪个方向的动量守恒。 0 i ix F 0 i iy F 0 i iz F 0 外外i F 物理学大厦物理学大厦 的基石的基石 三大三大 守恒定律守恒定律 动量守恒定律动量守恒定律 动能转换与守恒定律动能转换与守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 x v o l 0 v u m M 例一例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知、如图，

21、车在光滑水平面上运动。已知m、M、l 0 v 人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。到达车尾。 求求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程；车的运动路程； 3、若人以变速率运动，若人以变速率运动， 上述结论如何？上述结论如何？ 解解：以人和车为研究：以人和车为研究 系统，取地面为参照系统，取地面为参照 系。水平方向系统动系。水平方向系统动 量守恒。量守恒。 )()( 0 vumvMvmM )()( 0 vumMvvmM v o l 0 v u m M x t l mM m vu mM m vv 00 1、 2、 l

22、mM m tvt t l mM m vvts 00 )( 3、u mM m vv 0 l mM m tv dt mM mu vvdts tt 0 0 0 0 )( 例二、例二、 质量为质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡后，又的速率飞来，被板推挡后，又 以以20m/s的速率飞出。设两速度在垂的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与直于板面的同一平面内，且它们与 板面法线的夹角分别为板面法线的夹角分别为45o和和30o，求：求： （1）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量；（2）若若 撞击时间为撞击时间为0.01s，求板施于球的平求板施于球的平 均冲力

23、的大小和方向均冲力的大小和方向。 45o 30o n v2 v1 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短， 忽略重力影响。设挡板对球的冲力为忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有则有： F 12 vmvmdtFI 45o 30o n v2 v1 O x y 取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有： tF mvmvdtFI x xx )45cos(30cos 12 tF mvmvdtFI y yy 45sin30sin 12 2.5g m/s20 m/s10 0.01s 21 m vvt N14. 6 N7 . 0 N1 . 6 22

24、yx yx FFFFF sNjijIiII yx 007. 0061. 0 为平均冲力与为平均冲力与x方向的夹角方向的夹角。 6.54 1148.0tan xy FF 此题也可用矢量法解此题也可用矢量法解 45o 30o n v2 v1 O x y 105cos2 21 22 2 22 1 2 vvmvmvm tFI Ns1014. 6 2 N14. 6 t I F 105sinsin 2 tFmv 51.86 0.7866sin 86.64551.86 v2 v1 v1 t F x 例三、例三、 一质量均匀分布的柔软细绳一质量均匀分布的柔软细绳 铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平铅直地悬挂着

25、，绳的下端刚好触到水平 桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。在桌面上。试证明试证明：在绳下落的过程中，：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。到桌面上的绳重量的三倍。 o x 证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌长的柔绳落至桌 面，随后的面，随后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔的柔 绳以绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率 为：为： dt dt dx dx d

26、t dp 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为： 2 v dt dt dx dx dt dp F 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即：即： LMgxFgxvv L M vF/2 2 222 而 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以所以F总 总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg 五五、碰撞碰撞 物体在短时间内发生相互作用的过程。物体在短时间内发生相互作用的过程。 碰撞过程的特点碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量系统的总动量( (总角动量总角动量) )守恒。守恒

27、。 弹性碰撞弹性碰撞： Ek=0 碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。 非弹性碰撞非弹性碰撞： Ek0 碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞： Ek0且绝对值最大且绝对值最大 两球碰后合为一体，以共同的速度运动。两球碰后合为一体，以共同的速度运动。 正碰正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞）都在这一连线上。（对心碰

28、撞） 斜碰斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。 二维弹性碰撞二维弹性碰撞 两个质量相同的粒子，发生弹性碰撞两个质量相同的粒子，发生弹性碰撞 碰前一个粒子静止，碰后两个粒子的速度相互垂直碰前一个粒子静止，碰后两个粒子的速度相互垂直 0 v 1 v 2 v 210 vvv 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvmvmv )(2 21 2 2 2 1 2 0 vvvvv 212100 vvvvvv 0 21 vv 例例：质量：质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m， 速率速率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱

29、一起摆的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆 至某一高度至某一高度 h 为止。试从高度为止。试从高度 h 计算出子弹的速计算出子弹的速 率率 ，并说明在此过程中机械能损失。，并说明在此过程中机械能损失。 0 v 0 v m M h 0 v 解解：从子弹以初速击中沙箱到获：从子弹以初速击中沙箱到获 得共同速度可看作在平衡位置完得共同速度可看作在平衡位置完 成的完全非弹性碰撞。水平方向成的完全非弹性碰撞。水平方向 受外力为受外力为0，由动量守恒有，由动量守恒有 vMmmv)( 0 子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱、子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱、 地球组成的系统机械能守恒。地球组成

30、的系统机械能守恒。 ghMmvMm)()( 2 1 2 m ghMm v 2)( 0 碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为： 2 2 0 )( 2 1 2 1 vMmmvEk ghMm m M )( 例例 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟秒钟 落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距 离离S11000米米,问另一块落地点与发射点的距离是多问另一块落地点与发射点的距离是多 少？

31、（空气阻力不计，少？（空气阻力不计，g=9.8m/s2) 解：知第一块方向竖直向下解：知第一块方向竖直向下 为第一块落地时间t smvv gttvh y /7.14 2 1 11 2 1 v2 y h x v1 S1 smv st gtvvgh tvs v xy x y y /500 2 )(2 0 2 1 炮弹到最高点 爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守恒 smvv smvv mvmv mvmv yy xx yy xx /7 .14 /10002 0 2 1 2 1 2 1 12 2 12 2 v2 y h x v1 S1 第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动 2 22 2212 2 1 gtt

32、vhy tvsx y x 落地时，落地时，y2=0 所以所以t2=4s t21s(舍去）舍去） x2=5000m mv1/2 mv2/2 mvx 恢复系数恢复系数 1 m 2 m 10 v 20 v 1 v 2 v 1 m 2 m 1 m 2 m 1 f 2 f 碰撞时碰撞时系统动量守恒系统动量守恒 2021012211 vmvmvmvm 1020 12 vv vv e 恢复系数恢复系数 21 20102 011 )()1( mm vvme vv 21 20102 022 )()1( mm vvme vv 1 e 0 e 2 2010 21 21 2 )( )(2 )1( vv mm mme

33、Ek 10 e 完全非完全非弹性碰撞弹性碰撞 弹性碰撞弹性碰撞 一般的一般的非非弹性碰撞弹性碰撞 六六、火箭飞行原理火箭飞行原理 则燃气动量变化则燃气动量变化 udmdmdvudmvdmdmudvv )( 火箭推力的计算火箭推力的计算: 经过经过dt时间时间, 火箭向后喷出质量为火箭向后喷出质量为dm的燃气的燃气 在在t+dt时刻时刻, 火箭质量减为火箭质量减为M-dm, 速度增为速度增为dvv 则燃气对地速度为则燃气对地速度为 udvv 由动量定理由动量定理, 火箭受到的推力为火箭受到的推力为: dt dm uF 设在设在t时刻时刻, 火箭的质量为火箭的质量为M, 速度为速度为v 其喷出速度

34、相对于火箭为其喷出速度相对于火箭为u 火箭速度公式火箭速度公式 忽略重力和阻力忽略重力和阻力, 则系统动量守恒则系统动量守恒 )()(udvvdmdvvdmMMv udmMdv 0化简得化简得: M dm udv 由于由于喷出燃气的质量喷出燃气的质量dm等于火箭质量的减小等于火箭质量的减小, M dM udv dMdm 即即 , 所以上式变为所以上式变为 设开始发射时设开始发射时, 火箭质量为火箭质量为 , 初速为初速为 0, 则则: 0 M M M v M dM udv 0 0 M M uv 0 ln 设各级火箭工作时，设各级火箭工作时， n NNN, 21 n uuu, 21 并设各级火箭

35、的喷气速度分别为并设各级火箭的喷气速度分别为 火箭的质量比分别为火箭的质量比分别为 111 ln Nuv 2212 lnNuvv 3333 ln Nuvv nnnn Nuvvln 1 最后火箭达到的速度为：最后火箭达到的速度为： i iin Nuvln n uuu 21 若若 i nn NNNuv 21 ln则则 11i i i i M M v v M dM udv 111 ln iiii Nuvv M dM udv 1, 2 , 1 , 0 ni0 0 v 一一 、 力矩力矩 角动量角动量 1-6角动量定理、角动量守恒角动量定理、角动量守恒 角动量（对一定点的）角动量（对一定点的） prL

36、角动量方向角动量方向 角动量大小角动量大小 系统的总角动量系统的总角动量 sinsinrmvrpL i ii i i prLL)( m o r v L m r v 0 L r p vm L r sinmvrL 2 mrmvr vm r sinmvrL mvd d X Y Z O vmrL kmvdL 或：或： 质点作圆周运动质点作圆周运动 质点作直线运动质点作直线运动 L 例例 一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲的质点沿着一条空间曲线运动，该曲 线在直角坐标下的矢径为：线在直角坐标下的矢径为：j tbi tar sincos 其中其中a、b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。

37、皆为常数，求该质点对原点的角动量。 j tbi ta dt rd v cossin vmrL 解：已知解：已知 ktmabktmab 22 sincos kmab j tbi tar sincos 注意注意： sinrFM 2）方向：）方向： Fr 的方向的方向 FrM 1）大小）大小 M F o r m d sinrd dF 力矩：力矩：力对某点力对某点O的力矩等于力的作用点的矢的力矩等于力的作用点的矢 径径 与力与力 的矢量积的矢量积. r F （2）力）力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线（即共线（即 ）F r 0 sin 有心力有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一物体所受的力

38、始终指向（或背离）某一固定点固定点 力心力心 力矩为零的情况力矩为零的情况: : （1）力）力 等于零；等于零；F （3）力）力 的作用点在的作用点在O点点,即即 等于零；等于零；r 二二、角动量定理角动量定理 1）角动量定理的微分形式）角动量定理的微分形式 对一个质点：对一个质点： PrL Pr dt d dt Ld dt Pd rP dt rd FrPv dt Ld M 此称质点的角动量定理此称质点的角动量定理 r gm vm X Y Z O L M MFr 对多个质点而言：对多个质点而言： （以两个质点为例）（以两个质点为例） 如图设有质点如图设有质点m1 、 m2 分别受外力分别受外力

39、 1 F 2 F 外力矩外力矩 21 MM 内力内力 21 F 12 F 内力矩内力矩 2010 MM 对质点（对质点（1）：）： dt Ld MM 1 101 对质点（对质点（2）：）： dt Ld MM 2 202 两式相加：两式相加： )( 21202101 LL dt d MMMM 2 F 1 F m1 m2 12 F 21 F d 2 r 1 r X Z Y O 21 MMM 令：令：质点系所受的合的外力矩质点系所受的合的外力矩 21 LLL 质点系的总角动量质点系的总角动量 dt Ld M 则：则： 推广到推广到n个质点的质点系：个质点的质点系： 质点系角动量定理：系统角动量对时间

40、的变化率等质点系角动量定理：系统角动量对时间的变化率等 于系统所受合外力矩。于系统所受合外力矩。 )( 2121 LL dt d MM 内力矩内力矩 0 2010 MM )( 21202101 LL dt d MMMM dt Ld M 2）角动量定理的积分形式）角动量定理的积分形式 LddtM 对上式积分：对上式积分：12 2 1 2 1 LLLddtM L L t t 设：在合外力矩设：在合外力矩M的作用下，的作用下， 21 tt 时间内时间内 系统的角动量从系统的角动量从 21 LL 称为力矩的角称为力矩的角 冲量或冲量矩冲量或冲量矩 角动量定理（积分形式）角动量定理（积分形式） 作用在质

41、点系的角冲量等于系统角动量的增量作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。 三三、角动量守恒定律角动量守恒定律 若若0 合外力矩合外力矩 M 则：则： 恒恒矢矢量量 L dt Ld 0 角动量守恒定律角动量守恒定律：若对某一参考点：若对某一参考点, 系统系统(质点质点)所所 受合外力矩恒为零时，则此质点系受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点质点)对该参考对该参考 点的角动量将保持不变。点的角动量将保持不变。 注意：注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律， 无论在宏观上还是微观领域中都成立。无论在宏观上还是微观领域中都成立。 2、守恒定律表明尽管自

42、然界千变万化，变换、守恒定律表明尽管自然界千变万化，变换 无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律 的制约，变中有不变。这反映着自然界的和谐统一。的制约，变中有不变。这反映着自然界的和谐统一。 例题例题2）一质量为）一质量为m的质点以速度的质点以速度 从参考点平抛出从参考点平抛出 去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。去，用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。 0 v 解：解： jtgivv 0 jtgi tvr 2 1 2 0 vmrL ) () 2 1 ( 0 2 0 jgtivmjgti tv ktmgv 2 0 ktmgv

43、 2 1 2 0 ktvgm dt Ld M 0 ) 2 1 ( 2 0 ktmgv L r gm vm X Y Z O M 0 v O M地 地 0 v v Y X O Z m C 例例4）质量为）质量为m的小球的小球A，以速度，以速度 沿质量为沿质量为M的，的， 半径为半径为R的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴 OO与与 平行，小球平行，小球A的轨道与轴的轨道与轴OO相交于相交于 3R的的C 点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球A在在C点点 的的 与与 之间的夹角之间的夹角 。 v 0 v 0 v 0 v 解

44、：以解：以M，m 为研究对象。为研究对象。 系统只受万有引力（保守力）故机械系统只受万有引力（保守力）故机械 能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。能守恒。因引力是有心力，则角动量守恒。 以无穷远为势能零点，则：以无穷远为势能零点，则： 已知：已知：, 0 vRmM 求：求： 0 r 1 r )3( 3 4 2 0 R GM vv )2( 100 vmrvmr )1( 32 1 2 1 22 0 R mM Gmv R mM Gmv 由（由（1 1）式：）式： )4( sin3 0 iRmviRmv 由（由（2 2）式：）式： Rr 0 Rr3 1 O M地 地 0 v v Y X O Z m

45、0 r 1 r C ) 3( 3 4 2 0 R GM vv )4( sin3 0 iRmviRmv RGMv v v v /129 3 sin 2 0 00 RGMv v /129 arcsin 2 0 0 O M地 地 0 v v Y X O Z m 0 r 1 r C 运动描述具有相对性运动描述具有相对性 车上的人观察车上的人观察地面上的人观察地面上的人观察 1-7相对运动相对运动 力学相对性原理力学相对性原理 一、相对运动一、相对运动 y y S S o o x x p ps r sp r ss r ss v 位置的相对性位置的相对性 ssspps rrr zz yy tuxx dt

46、rd dt rd dt rd ss spps ssspps vvv 伽利略位矢变换伽利略位矢变换式式 速度的相对性速度的相对性 tt A,B,C三个质点相互间有相对运动三个质点相互间有相对运动 BAAB vv BCABAC vvv 加速度的相对性加速度的相对性 BCABAC aaa zz yy xx vv vv uvv zz yy xx aa aa aa tt zz yy tuxx 两个相互做两个相互做匀速直线运动匀速直线运动的坐标系的的坐标系的 伽利略位矢变换伽利略位矢变换式式 1.1.河水自西向东流动，速度为河水自西向东流动，速度为10 km/h,10 km/h,一轮船在一轮船在 水中航行

47、，船相对于河水的航向为北偏西水中航行，船相对于河水的航向为北偏西3030o o, ,航速航速 为为20km/h20km/h。此时风向为正西，风速为。此时风向为正西，风速为10km/h10km/h。试。试 求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设 烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）烟离开烟囱后即获得与风相同的速度） 解：设水用解：设水用S S；风用；风用F F；船用；船用C C；岸用；岸用D D 已知：已知： 20 10 10 cs fd sd v v v 正东正东 正西正西 北偏西北偏西3030o o vcs vfd vsd sdcscdvvv cd

48、fcfdvvv cdfdfcvvv hkmvv vv csfc sdfd /20 方向为南偏西方向为南偏西3030o o。fcv vcs vfd vsd vcd 0 30 vfc vfd vsd vcd 0 30 方向正北hkmvcd/310 2.2.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速 行驶，其加速度为行驶，其加速度为a a，他沿车前进的斜上方抛出一球，他沿车前进的斜上方抛出一球， 设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他 不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方不必移动他在车中的位置就能接住

49、球，则抛出的方 向与竖直方向的夹角应为多大？向与竖直方向的夹角应为多大？ a V0 解：抛出后车的位移：解：抛出后车的位移： 2 01 2 1 attvx 球的位移：球的位移： 2 02 2 1 )cos( gttvy )sin( 002 tvvx 小孩接住球的条件为：小孩接住球的条件为： x1= x2; y=0 )(sin 2 1 0 2 tvat 两式相比得：两式相比得： tg g a tvgt)(cos 2 1 0 2 g a tg 1 练习练习:有人以有人以 的速率向东奔跑的速率向东奔跑, 他感到风从北他感到风从北 方吹来方吹来,当他奔跑的速率加倍时当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东

50、北方向则感到风从东北方向 吹来吹来, 求风的速度求风的速度. 1 3 ms 人人地地风风人人风风地地 风地风地 人人地地 风人风人 人人地地风风人人风风地地 人地人地风人风人 2 0 45 人人地地 风人风人 0 45 风向为西北风风向为西北风 0 45cos 人人地地风风地地 )(23. 42 1 sm 人人地地 练习练习:河水流速为河水流速为 ,河面宽河面宽D=1km,一渡船相对一渡船相对 于水的速度于水的速度 ,如果船的航向与上游成如果船的航向与上游成 角角.求求(1)船到达对岸所需时间船到达对岸所需时间,到达对岸时位于正对岸到达对岸时位于正对岸 的下游何处的下游何处?(2)如果要使船到

51、达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船船 头应与河岸成多大角度头应与河岸成多大角度?最短时间最短时间 (3) )如果如果 要使船相对于正对岸航行的距离最短要使船相对于正对岸航行的距离最短,船头应与河岸船头应与河岸 成多大角度成多大角度?距离最短距离最短 1 3 ms 1 2 msu 0 30 ? min t ? min s u (1)设船相对于岸的速度为设船相对于岸的速度为 由速度合成得由速度合成得: u cosu cos coscosu coscosu 33 sinsinu 1 o B coscosu 33 sinsinu 1 u cosu cos o B A D AB两点的距离两

52、点的距离: sin DOB t)(1000 sD 船到达船到达B点所需时间点所需时间: sin cosD DctgS )(1268)33(mD 由由 sin DOB t sinu D 时时, 航时最短航时最短. 2 知知 故船头应与岸垂直时故船头应与岸垂直时, 航时最短航时最短. )(500 min s u D t (2)如果要使船到达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船头应与河岸成船头应与河岸成 多大角度多大角度?最短时间最短时间 ? min t (3) )如果要使船相对于正对岸航行的距离最短如果要使船相对于正对岸航行的距离最短, 船头船头 应与河岸成多大角度应与河岸成多大角度?距离最短距离最短 ? min s u cosu cos o B A D 设设 则则lOB sin D l s