结构力学虚功原理[优选课堂]

1、第七章第七章 静定结构位移计算静定结构位移计算 虚功原理虚功原理 一、虚功原理一、虚功原理 1虚功的概念虚功的概念 力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如力在自身作用下产生的位移上作功称为（外力）实功，如P 在在11上作功。上作功。 PP 11 21 力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如力在其它因素产生的位移上作功称为（外力）虚功，如 在在 21上作功。上作功。 P 1简易辅导 2虚功原理虚功原理 弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转弹性体在外力作用下产生变形，根据功能原理，外力作功转 换为弹性体的变形能（内力功），储存在弹性体内。换为弹性体的变形能（内

2、力功），储存在弹性体内。 （外力实功）（外力实功）W（内力实功）（内力实功）U，称为，称为实功原理实功原理。 （外力虚功）（外力虚功） （内力虚功）（内力虚功） ，称为，称为虚功原理虚功原理。WU 实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向实功原理只能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载作用方向 的位移，实际应用价值不大。的位移，实际应用价值不大。 虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及虚功原理可求任意荷载下，任意位置、任意方向的位移，及 温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。温度改变、支座移动引起的位移，具有广泛的应用价值。在虚功在虚功 原理中原理中，力是虚拟

3、的力是虚拟的，而位移是真实的而位移是真实的，所以该原理更确切应称所以该原理更确切应称 为为虚力原理虚力原理。 应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算应用虚力原理求结构的位移，与虚拟力的大小无关，为计算 方便虚拟力取单位方便虚拟力取单位1，故这种求位移的方法也称为，故这种求位移的方法也称为单位力（荷载）单位力（荷载） 法法。 2简易辅导 3虚功的计算虚功的计算 外力虚功的计算：外力虚功的计算： 1W 内力虚功的计算：内力虚功的计算： 虚拟力状态虚拟力状态 实际位移状态实际位移状态 3简易辅导 dx NN dx Q dx QMM 虚拟力状态虚拟力状态 实际位移状态实际位移状态 dxd

4、xdxd(l) NPNPQPQP d d 内力虚功：内力虚功： dMdQldNU)( EA dxN N P MPMP GA dxkQ Q P EI dxM M P 4简易辅导 由虚功原理由虚功原理 得位移计算的一般公式得位移计算的一般公式WU dx EI MM dx GA QQk dx EA NN PPP NMQ 、 、 为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩；为单位荷载下的轴力、剪力和弯矩； NP、QP、MP 为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。为实际荷载下的轴力、剪力和弯矩。 二、静定梁、刚架的位移计算二、静定梁、刚架的位移计算 1积分法积分法 以弯曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚以弯

5、曲变形为主的杆件，如梁、刚架等，只计弯曲变形的虚 功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理功，略去剪切、拉压变形的虚功，于是虚功原理 可简化为：可简化为： dx EI MM P 等截面杆可写作：等截面杆可写作： dxMM EI P 1 5简易辅导 【例例71】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向 位移位移Cy和转角和转角C 。 x1x2x1x2 1P MP(x1) MP(x2) MP(x1)=0 MP(x2)= 2 2 2 1 qx )( 1 xM 11) (xxM )( 2 xM lxxM 22) ( dxMM EI PCy 1 2

6、2 0 2 2 )( 2 11 dxlxqx EI l EI ql 24 7 4 6简易辅导 【例例71】应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端应用虚功原理（积分法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向 位移位移Cy和转角和转角C 。 x1x2x1x2 MP(x1) MP(x2) MP(x1)=0 MP(x2)= 2 2 2 1 qx )( 1 xM1)( 1 xM )( 2 xM 1)( 2 xM dxMM EI PC 1 m=1 2 0 2 2 2 11 dxqx EI l EI ql 6 3 7简易辅导 2图乘法图乘法 积分积分 可用几何法（图乘法）求之。可用几何法（图乘法）求之。 dxM

7、M P B A Pdx MM B A Pdx Mxtg C xAtg C yA A MP图的面积图的面积 yC MP图形心所对图形心所对 图的竖距图的竖距M 于是虚功原理于是虚功原理 可写作：可写作： C yA EI 1 x dx MP M xC C yC 8简易辅导 注意注意*： 两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。两图在杆同侧，图乘为正；在杆两侧，图乘为负。 yC所在的弯矩图必须为同一直线所在的弯矩图必须为同一直线，不是同一直线不是同一直线，需需 分段图乘分段图乘，并取和。并取和。 C1 C2 C3 A1 A2 A3 y1 y2 y3 C yA EI 1 )( 1 2211 yAy

8、A EI 常用图形的面积和形心位置：常用图形的面积和形心位置： C l/2l/2 h A=lh h C l/32l/3 A=lh/2 l/2l/2 A=2lh/3 8 2 ql h C 9简易辅导 【例例72】计算下列各对弯矩图的图乘结果。计算下列各对弯矩图的图乘结果。 C1 C2 y1 y2 （a）（b） C yC （a） 123222 1 222 1 2 lhhhl h hl （b） 2 4 3 2 3 2 1 lh h lh 10简易辅导 3虚拟力状态虚拟力状态 求求Cx 1P 1P 求求Cy求求C 求求DE 1P 1P 求求B BC求求B B求求Ex 1P 1m 1m1m1m 11简易

9、辅导 4解题步骤：解题步骤： 画荷载下的弯矩画荷载下的弯矩MP图；图； 在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画在所求位移处，沿所求位移方向加单位荷载，并画 图；图；M 由图乘由图乘 求位移。求位移。 C yA EI 1 【例例73】应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端应用虚功原理（图乘法）求图示悬臂梁自由端C的竖向的竖向 位移位移Cy和转角和转角C 。 12简易辅导 MP图图 M图图 M图图 ) 2 3 83 2 3 5 22 ( 1 22 lqlllqll EI Cy EI ql 24 7 4 1) 83 2 22 ( 1 22 qllqll EI C EI ql 6 3 13简易

10、辅导 【例例74】用虚功原理求图示刚架用虚功原理求图示刚架C端的水平位移端的水平位移Cx和转角和转角C 。 EI qllqlllqll EI Cx 8 3 ) 283 2 2 3 2 22 ( 1 422 EI qlqll EI C 12 ) 3 1 22 ( 1 32 14简易辅导 三、静定桁架的位移计算三、静定桁架的位移计算 桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为：桁架各杆只有轴力，计算位移的虚功原理公式为： EA lNN P 为单位荷载下各杆轴力，为单位荷载下各杆轴力，NP为实际荷载下各杆轴力，为实际荷载下各杆轴力，l为杆长。为杆长。N 桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。桁架所受荷载都是作用在结点上，单位荷载也必须加在结点上。 图示桁架图示桁架 求求Cx求求Dy 求求BC 1P 1P a P 2 1 a P 2 1 15简易辅导 【例例75】用虚功原理求图示桁架用虚功原理求图示桁架BC杆转角杆转角C ，各杆，各杆EA为常数。为常数。 a 1 a 1 杆件杆件 P 2 2 DEEFADA