《电路分析基础第三版》第5章一阶动态电路分析

1、电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 1 第五章 一阶动态电路分析 v 5.1 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 v 5.2 换路定律及初始值的确定换路定律及初始值的确定 v 5.3 零零 输输 入入 响响 应应 v 5.4 零零 状状 态态 响响 应应 v 5.5 全全 响响 应应 v 5.6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 2 动态元件电感、电容的特性。 初始值的求法、动态电路方程的建立及求解。 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应的含义及其它们的分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。 【本章

2、重点本章重点】 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应分析计算方法。 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。 【本章难点本章难点】 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 3 5.1 电容元件和电感元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电 容器的理想化模型。 斜率为R 0 q u 图5-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线 当电容上电压与电荷为 关联参考方向时，电荷q与u 关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即 特性曲线的斜率。当u、i为 关联方向时,据电流强度定义 有： i=C dq/dt 非关联时： i= -C dq/dt + - u C i

3、 +q -q 电容元件电容元件 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 4 电容的伏安还可写成： di C di C tu t )( 1 )( 1 )( 0 0 t di C u 0 )( 1 )0( 式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为 初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压， 它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻 的电流 i 有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。 因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电 流的作用。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 5 当电容电压和电流为关联方向时

4、，电容吸 收的瞬时功率为： dt tdu tCutitutp )( )()()()( 瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在 吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁 场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场 能量。 对上式从-到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的 储能为： )()( 2 1 )()()()( 22 )( )( itiL diLidptw tti i L 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 10 因为 0)(i 所以)( 2 1 )( 2 tLitwL 由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅 取决于此时刻的电流值

5、，而与电压无关，只要 有电流存在，就有储能，且储能 。 和电容元件一样电感也是一种无源元件。 0)(twL 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 11 5.2 换路定律及初始值的确定换路定律及初始值的确定 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突 然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电 压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能 掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 、 iL不能 不能 跃变，即换路前后一瞬间的跃变，即换路前后一瞬间的uC 、 、iL是相等

6、的，可表达为： 是相等的，可表达为： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必须注意：只有必须注意：只有uC 、 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路 受换路定律的约束而保持不变，电路 中其他电压、电流都可能发生跃变。中其他电压、电流都可能发生跃变。 换路定律换路定律 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 12 初初 始始 值值 的确的确 定定 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路 确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+) 的值。 电路中其他变量如 iR

7、、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路 定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体具体 求法是：求法是： 画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容 用一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代替。 若iL(0+)= iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0 则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 13 例例5-1 在图5-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭 合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、 iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、

8、ic(0+) 和uL(0+)。 图 5-3 例 5-1 图 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 14 解解 : (1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流 的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状 态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路 中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于 开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电 感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如图5-3(b)） 所示，由该图可知： Ai Vu L c 2 23 10 )0( 4 23 2 10)0( （2）由换路定理

9、得 Aii Vuu LL cc 2)0()0( 4)0()0( 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 15 因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的 电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此 画出t=0+ 时刻的等效电路，如图5-3 (C) 所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即 Ai Ai 1 4 4 )0( 2 2 4 )0( 2 1 iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-32-4=0 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 16 例例5-2 电路如图5-4 (a)所示，开关S闭合前电路

10、无储能， 开关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初 始值。 图 5-4 例5-2 图 解解（1）由题意知： 0)0()0( 0)0( 3 L C ii u （2）由换路定理得 0)0()0( 0)0()0( LL CC ii uu 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 17 因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替， 电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图5-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方 法求得 通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如 下：下： (1) 根据t=

11、0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。 Aii3 . 0 2010 9 )0()0( 21 i3(0+)=0 uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 18 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电 流和电压,称为动态电路的零输入响应. 图5-5 RC电路的零输入响应 1i + - UC IS R0 R 2 C (a) uR + - + - uC C i (b) 5.3 零零 输输 入入 响响 应应 图5-5

12、 (a) 所示的电路中，在t0后，电路 中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生， 故属于零输入响应。 RC电路的零输入响应电路的零输入响应 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 19 -uR+uc=0 而uR=i R, dt du Ci C ，代入上式可得 0 C C u dt du RC 上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 uc=Aept t0式 式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为 式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征 方程为 RCP+1=0 式 换路后由图（b）可知，根据KVL有 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 20 从而解出特征根为

13、RC p 1 则通解 RC t AeuC 式 将初始条件 uc(0+)=R0IS 代入3式，求出积分常数A为 SC IRAu 0 )0( 将 代入上式，得到满足初始值的微分方程 的通解为 )0( c u RC t S RC t CC eIReuu 0 )0( 放电电流为 RC t RC t SC eie R IR dt du Ci )0( 0 t0 式 t0 式 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 21 令=RC，它具有时间的量纲，即 秒 秒库仑 库仑 伏特 库仑 安培 伏特 / .RC 故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 t CC euu )0( t0 t eii )0(t0 R

14、C p 1 由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， 它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及 R IR i S0 )0( ,当t时，uc和 i 衰减到零。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 22 图5-6 RC 电路零输入响应电压、电流波形图 画出uc及i的波形如图5-所示。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 23 电路的零输入响应电路的零输入响应 一阶RL电路如图5-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t0时，电感L储存的磁能将通

15、过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-7 (b)所示。由于t0后，放电回 路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以 为零输入响应。 图5-7 RL电路的零输入响应 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 24 由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0 LR L L Riu dt di Lu及 将代入上式得 0 L L Ri dt di L 1式 iL=Ae pt t0 上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式 将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0 故特征根为 L R p 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 25 则通解为 t L R L Aei

16、若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时 间量纲，上式可写为 R L t L Aei t0 3式 t0 将初始条件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分 常数A为 iL (0+)=A=I0 这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 tt LL eIeii 0 )0( t0 4式 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 26 t LR eRIRiu 0 t RL eRIuu 0 电阻及电感的电压分别是 t0 t0 分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图5-8(a)、(b) 所示。 由图5-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大 值）分别为iL(0+)=I0、 uR(

17、0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它 们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律 逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这 与一阶RC零输入电路情况相同。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 27 图5-8 RL 电路零输入响应iL、uR和 uL 的波形 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 28 从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分 析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路， 不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零 输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。 且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。 若用f (t)表示零输入响应，用

18、f (0+)表示其初始值，则 零输入响应可用以下通式表示为 t eftf )0()( t0 应该注意的是应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数 是不同的，前者=RC，后者=L/R。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 29 例例5-3：如图5-9 (a)所示 电路，t=0- 时电路已处 于稳态，t=0时开关S打 开。求t0时的电压uc、 uR和电流ic。 解解 由于在t=0- 时电路 已处于稳态，在直流电 源作用下，电容相当于 开路。所以 图 5-9 例 3 图 VU RR R u SC 4 24 122 )0( 21 2 由换路定律，得 Vuu cC 4)0()0( 作出t=0

19、+等效电路如 图(b)所示， 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 30 电容用4V电压源代替，由图(b)可知 Vu RR R u CR 6 . 1 32 42 )0()0( 32 2 A RR u i C C 8 .0 32 4)0( )0( 32 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C) 所示，为： 523 23 RRR SRC1 5 1 5 时间常数为 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 31 t t RR eeuu 6 . 1)0( t t CC eeii 8 . 0)0( A V t0 t0 也可以由 dt du Ci C C 求出 i C = -0.8e -t A

20、 t0 t t CC eeuu 4)0( V t0 计算零输入响应，得 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 32 5.4 零 状 态 响 应 电路的零状态响应电路的零状态响应 图5-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭 合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。 图5-10 (a) R C电路的零状态响应 在k闭合瞬间，电容电 压不会跃变，由换路定律 uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电 容相当于短路，uR(0+)=US， 故 电容开始充电。随着时 间的推移，uC将逐渐升高， R U R u i SR R )0( )0( 电路分析基础第三版第5章

21、一 阶动态电路分析 33 uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时， 电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。 由kVL uR+uc=US 而 uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc 为变量的微分方程 t0 1式 初始条件为 uC(0+)=0 dt du RC C SC C Uu dt du RC 1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成： 一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次 解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 34

22、RC tt ch AeAeu 将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故 S RC t cpchC UAeuuu RC t SS RC t SC eUUeUu1 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式 完全相同, 因此其通解应为 式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励 为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得 1式的解（完全解）为 ucp =k=US 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 35 t0 2式 由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时， uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电 压上升到稳

23、态值uc=()=US 的63.2%所需的时间是。而当 t=45时，u c上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认 为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为 )1)( t CC euu t SC C e R U dt du Ci t S CR e R U ii t SRR eURiu t0 t0 t0 由于稳态值 ，故上式可写成 sc Uu)( 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 36 根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如 5-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过 程一致。 图5-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及

24、uR波形图 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 37 电路的零状态响应电路的零状态响应 图5-11 (a) 一阶RL电路 的零状态响应 对于图5-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源， t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与 激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有 iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有： uL+uR=US 将 , uR=RiL , 代入上式，可得 初始条件为 iL (0+)=0 dt di Lu L L SL L URi dt di L1式 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 38 t L

25、 Rt Lh AeAei R U Ki S Lp R U Aei S t L 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次 方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp 其齐次方程的通解也应为 式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程 的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故 特解 iLP为常量，令iLP =K，代入1式得 因此完全解为 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 39 代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得 R U A S 于是 由于iL的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 )1 ( t SS

26、 t S L e R U R U e R U i t LL eii1)( t S L L eU at di Lu R U i S L )( 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 40 t SRR eURiu1 t S LR e R U ii1 它们的波形如图5-11 (b)、(c)所示。 t0 t0 图5-11 (b) (C) 一阶RL电路的零状态响应波形图 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 41 其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值 零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降， 而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到 稳态，这时L相当于

27、短路，iL()=USR， uL()= 0，uR()= US。从波形图上可以直观地 看出各响应的变化规律。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 42 单位阶跃响应单位阶跃响应 单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下： (t) = 0 t 0- 1 t 0+ (t)的波形如图5-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发 生了单位阶跃。 图 5-12 单位阶跃函数 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 43 单位阶跃函数可以用来描述图5-12 (b)所示的开关动 作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时u(t)的值，即： u (t)= (t) V 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于

28、单位直流源接入电 路的时间推迟到 t=t0，其波形如图5-13所示，它是延迟的 单位阶跃函数，可表示为 (t-t0) = 0 tt 0- 1 tt 0+ 图 5-13 延迟的单位阶跃函数 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 44 )()1 ( 0 0 tteu tt C 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应 称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图5-12所示电 路的单位阶跃响应，只要令US=(t)就能得到，例如电容 电压为 若图5-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据 线性电路的性质，电路中的零状态响应 )(1teu t C 如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻

29、t0时加上的， 则只要把上述表达式中的t改为t-t0，就行了。例如这种情 况下的uC为 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 45 均应扩大K倍，对于电容有 )()1 (teKu t C 例例5-4 求图5-14 (a)电路的阶跃响应 uC。 解解 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化 简， 得 图5-14(b)所示电路。由图 (a)可得 图 5-14 例 4 图 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 46 )(2)( 2 1 443 111 ttuuuU oc 3u1+u1=0 u1=0 则 A t I SC 1 1 )( 2 1 2 0 SC oc I U R 于是 )()1

30、(2)1 (teeUu tt ocC 式中 =R0C=210-6S 将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b） 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 47 5.5 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的 响应，叫全响应。 如图5-15所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合， 显然电路中的响应属于全响应。 图5-15 RC电路的全响应 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 48 对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述 电路的微分方程为 0 )0(Uu Uu dt du RC C SC C 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅 只有初始条件不同

31、，因此，其解答必具有类似的 形式，即 S t C UKeu 代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US 1式 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 49 从而得到 S t SC UeUUu )( 0 通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电 路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微 分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是 全响应的一种特殊情况。 上式的全响应公式可以有以下两种分解方式: 1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第 一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称 暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US

32、= uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的 形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量 。 2式 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 50 2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。 将2 式改写后可得： )1 ( 0 t S t C eUeUu 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零 状态响应。 因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号 ，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加 性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加 ，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式 这样有：全响应=暂态响应+稳态响应 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 51 5.

33、6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流 的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间 常数，则电路的响应可表示为： 0)()0()()( teffftf t 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、 电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素 公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊 情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一 种响应，具有普遍适用性。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 52 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的

34、响应， 其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的 数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样 的。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或 iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此 时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。 (1) 作t=0+ 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定 各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0- )=I0，在此电路中C用电压源U0代替， L用电流源 0 I 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 53 图5-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型 代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路 线代替，L视为开路。可用图5-16说明。作t=0+ 电路后， 即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。 电路分析基础第三版第5章一 阶动态电路分析 54 二、