空间直角坐标系空间向量,高考历年真题

1、学习好资料欢迎下载温馨提示:高考题库为 Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点25】空间直角坐标系、空间向量2009年考题1. （ 2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（ 1，0，2），B（1，-3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则 M的坐标是 【解析】设M （0, y,0）由122 2y 41( 3 y) 1 可得 y1 故 M(0, 1,0)答案：（0,-1， 0） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. （ 2009安徽高考）如图，四棱锥 F ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2 ,

2、BD= 2 , AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1 , CF=2.（I）求二面角B AF D的大小；（II ）求四棱锥E ABCD与四棱锥F ABCD公共部分的体积.【解析】（1）（综合法）连结AC、BD交于菱形的中心O,过0作OG AF ,G为垂足。连接BG、DG。由BD AC , BD CF得BD 平面ACF，故BD AF。于是AF 平面BGD，所以BGAF, DG AF,BGD为二面角 B AF D的平面角。由FCAC , FC AC 2，得 FAC,OG4由OBOG,OB OD2，得 BGD22 BGO（向量法）以A为坐标原点,ULUV UUU UUIVBD、AC、AE方向

3、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）学习好资料欢迎下载uv设平面ABF的法向量n1(x, y,z)，则由uv uuv n1?AB uv uuuv n1?AF戶y 02y 2z 0x72u-l令 z 1,得,ni(2, 1,1)y1同理，可求得平面uuADF的法向量n2(2 1,1)。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1,).ir uu由n1 n2 0知，平面 ABF与平面ADF垂直，二面角 B-AF-D的大小等于 一。2（II ）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点 H，则四棱锥 E-ABCD与四棱锥F-ABCD 的公部分为四棱锥 H-ABCD。过H作HP

4、丄平面ABCD , P为垂足。因为EA丄平面ABCD , FC丄平面ABCD ,所以平面 ACFE丄平面ABCD，从而P AC, HP AC.HP HPCF AEAP PCAC AC1,得 HP又因为S菱形abcd 1 AC BD .2,故四棱锥H-ABCD的体积V 1 S菱形ABCD HP233. （ 2009福建高考）如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD , NB 平面ABCD，且MD=NB=1 , E为BC的中点（1）求异面直线 NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点 S,使得ES 平面AMN ?若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.

5、w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz1依题意得 D(0,0,0) A(1,0,0)M (0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1),E(,1,0)。2uuu/1uuuvNE（尹1),AM( 1,0,1)uuv uiuvuuv uuuv NEgAM10Q cosNE, AMuuuvuuuv-| NE| | AM |10所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为10（2）假设在线段 AN上存在点S，使得ES 平面AMN .uuuuiuruuuvQ AN (0,1,1),可设 AS AN (0,),uuv1uuvuu

6、vuuv 1又 EA(,h。)，ESEAAS(2,学习好资料欢迎下载由ES 平面AMN，得LJLJV UUUVESgAMLJLJV UUIVESgAN0,即0,2(i)0,0.1 uuv故 ，此时线段AS2i i(0,2,2)uuv,1 AS|经检验，当AS孑时,ES 平面AMN .故线段AN上存在点S，使得ES 平面AMN，此时线段 AS 24. ( 2009广东高考)如图 6,已知正方体 ABCD AiBiCiDi的棱长为2,占八、E是正方形BCCiBi的中心,点F、G分别是棱CiDi,AA的中点设点Ei,Gi分别是点E , G在平面DCCiDi内的正投影.(1)求以E为顶点，以四边形FG

7、AE在平面DCCiDi内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2) 证明：直线FGi 平面FEEi ；(3) 求异面直线 EiGi与EA所成角的正弦值【解析】(i)依题作点E、G在平面DCCiDi内的正投影Ei、Gi, 则 Ei、Gi 分别为 CCi、DDi 的中点，连结 EEi、EGi、ED、DEi , 则所求为四棱锥 E DEiFGi的体积，其底面 DEiFGi面积为SDEiFGiSRt EiFGiSRt DGiEiA.22- i 22,22又EEi面 DEiFGi,EEii, VE DEiFGi3 SDE-FGiEEi i-(2) 以D为坐标原点，DA、DC、DDi所在直线分别作x轴，y轴，

8、z轴,得 Ei(0,2,i)、Gi(0,0,i)，又 G(2,0,i), F(0,i,2), E(i,2,i)，则 FGi (0, i, i), FE (i,i, i),FEi (0,i, i),二 FGi FE0 ( i) i0 , FGi FEi0 ( i) i 0,即 FGiFE , FGiFEi,又FEi FEF，二 FGi平面 FEE E G ea 2(3) EiGi(0, 2,0) , EA (i, 2, i),则 cos EiGi, EAi Hr ,设异面直线 EiG与 EAEiG eA 和6所成角为，则sin5. （ 2009海南宁夏高考）如图，四棱锥 S-ABCD的底面是正方

9、形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点。（I）求证： AC丄 SD; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（n）若 SD丄平面PAC，求二面角 P-AC-D的大小（川）在（n）的条件下，侧棱SC上是否存在一点 E , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m使得BE /平面PAC。若存在，求 SE: EC的值;【解析】方法一：（I）连BD，设AC交BD于O,由题意知 SO AC。在正方形 ABCD中,若不存在，试说明理由。平面 SBD,贝y AC SD.AC BD，所以 AC（n ）设正方形边长a，则SD 、2a。 又OD辽a，所以2SDO 60,连 OP，由（I）知 AC

10、平面 SBD ,所以 AC OP , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m且AC OD,所以 POD是二面角P AC D的平面角。由SD 平面PAC,知SD OP,所以 POD 30，即二面角P AC D的大小为30。（川）在棱 SC上存在一点E,使BE/平面PAC由（n）可得 PD故可在SP上取一点N，使PNPD ,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在VBDN中知BN / PO ,又由于NE/PC,故平面BEN /平面PAC ,得BE/平面PAC ,由于 SN: NP 21，故 SE: EC 21 .uuur uur uuu 方法二：（I）;连BD ,设AC交于BD于O,由题意

11、知SO 平面ABCD .以 O为坐标原点，OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O xyz如图。设底面边长为a，则高 SO 6 a。2于是S(0da),D(2c(0a,0)uuurOC(0,迈a,0)2uuuSD(2,0,2叵)2uur uuuOC SD 0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m故OC SD，从而AC SD学习好资料欢迎下载30且uuur DS(二a,0,uuua),CS(0,2品)a,a)2222设uuuCEuuu tCS,则uuu BEuuuBCuuuCEuuu BCuur tCS(厶厶(1t), 6at)2 22uuuuuu1uuu uuu而BEDC 0

12、t1即当SE:EC2:1 时，BE DS w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(川)在棱SC上存在一点E使BE /平面PAC .(n)由题设知，平面uuuPAC的一个法向量DSa,o, a)，平面DAC的一个法向量OS (0,0, 6 a)，设所求二面角为2，则 cosuuu OS1 11 inuuu DS1 I IlfUUUOSDS所求二面角的大小为uuu由(n)知DS是平面PAC的一个法向量,22而BE不在平面PAC内，故BE / 平面 PAC6. ( 2009山东高考)如图，在直四棱柱ABCD-A 1B1C1D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD , AB=4, BC=CD=2

13、, AA 1 =2,E、E1、F分别是棱AD、AA 1、AB的中点。(1) 证明：直线EE1/平面FCC1 ；(2) 求二面角 B-FC 1-C 的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】方法一：(1)在直四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1中，取A1B1的中点F1,连结 A1D ,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CDA 1F1, A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D ,又因为E、E1分别是棱AD、AA 1的中点，所以 EE1/A1D,所以CF 1/EE 1，又因为EE1平面FCC 1 , CF1 平面FCC 1，所以直线 EE1/

14、平面FCC 1.(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF, BCF为正三角形，取CF的中点O,则OB丄CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1B1C1D1中,CC 1丄平面ABCD,所以CC1丄BO,所以OB丄平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP丄C1F，垂足为P连接BP则/ OPB为二面角B-FC 1-C的一个平面角，在正三角_1_，22 22jop of形厶 BCF 中,OB 、3，在 Rt CC1F 中， OPF CC1F,v/. OPCC1 C1Fw.w.w.k.s.5.u.c.o.m学习好资料欢迎下载所以二面角B-FC 1 -C的余弦值为+方

15、法二：(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F所以BF=BC=CF, BCF为正三角形,132在 Rt OPF 中，BP 一 OP2OB2是棱AB,cos OPB2的中点，因为ABCD为等腰梯形,所以/ BAD= / ABC=60取AF的中点M,连接DM,贝U DM丄AB,所以DM丄CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD i为z轴建立空间直角坐标系，则 D (0,0,0) ,A (3 ,-1,0),F (3,1,0) ,C ( 0,2,0),Ci (0,2,2),E (1-,0)2,E1 ( 3-1,1),uuur所以EE1uuu2J),cFuuuuuuuu(3, 1,0) ,CG(0,0,

16、2) FC1n (x,y,z)则r uuur n CF r uuuu n CC10所以0z叮0取n 5,则nuurEE1 ,所以直线EE/平面FCC 1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)uuuFB (0,2,0),设平面BFC1的法向量为ir取n1 r ir(2,0, .3),Un n1OPBPirun1n （人，,乙）,则un13 2,2一1477. 3,1,2)设平面CCiF的法向量为uuurEE1uuuFBuuuuFC10所以0y1-3x1 y100,所2Z101 ( 3)2 2,|壯r ir r irn n所以 cos n,R|-r_tir|n|m |n|22 0 (.

17、3)2272 .77由图可知二面角B-FC 1-C为锐角，所以二面角7. （ 2009上海高考）如图，在直三棱柱 ABCAB BC ,求二面角B1 AC C1的大小。【解析】如图，建立空间直角坐标系则 A （ 2 ,A1 (2, 0, 2) , B1 ( 0, 0, 2)、C1 ( 0 ,7 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m亠77B-FC 1 -C 的余弦值为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA1B1C1 中，AA1BC AB 2,0, 0)、 C (0, 2,0)v , uuuv设法向量n与BM的夹角为，二面角B1AC G的大小为，显然为锐角Q coscosv uuuv n

18、BM v|iuuv |n |BM1丄,解得2.i分设AC的中点为M BM丄AC, BM丄CCi；uuuv BM丄平面AiCiC,即BM =(1,1,0)是平面AiCiC的一个法向量。5分设平面ARC的一个法向量是rn (x, y, z)UUJVumivAC = (-2, 2, -2), AfBi = (-2, 0, 0)7 分v uuuvv uuuvn AiBi2x 0,n AC2x 2y 2z 0,令z i,解得x 0,y irn (0,i,i)i分二面角B AC G的大小为.38. （ 2009天津高考）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE1AB AD

19、, M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（II）证明平面AMD 平面CDE ;(III )求二面角 A-CD-E 的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】方法一：（I）由题设知，BF/CE，所以/ CED （或其补角）为异面直线 BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结 EP, PC。因为FE / AP，所以FA/ EP，同理AB / PC。又FA丄平面ABCD , 所以EP丄平面 ABCD。而PC , AD都在平面 ABCD 内，故EP丄PC , EP丄AD。由AB丄AD，可

20、得PC丄AD设FA=a，贝U EP=PC=PD= a,CD=DE=EC= 2a，故/ CED=60。所以异面直线 BF与DE所成的角的大小为60（II ）因为DC DE且M为CE的中点，所以 DM CE连结MP，则MP CE.又MP DM M，故CE 平面AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE.（ iii ）（解）设Q为CD的中点，连结PQ, EQ.因为CE DE，所以EQ CD.因为PC PD,所以 PQ CD，故EQP为二面角A CD E的平面角.由（I）可得，EP PQ，EQa，PQ 2a.2 2于是在Rt EPQ中，cos EQPPQ -3，w.w.w.k.s.5.

21、u.c.o.mEQ 3方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设 AB 1依题意得B 1,0,0 ,C 1,1,0 ,D 0,2,0, E 0,1,1 , F 0,0,1 , M 1,1,1(I)解：BF1,0,1 , DE 0, 1,1 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m于是 cos BF,DEBF?DE 0 0 1bF DE 运？ V22所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60. 1 1 (II )由 AM -,1, , CE1,0,1 , AD0,2,0，可得 CE?AM 0,CE?AD 0因此,CE AM , CE AD.又AM AD A,故 CE 平面 AMD

22、 .而CE 平面 CDE ,所以平面 AMD 平面 CDE. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(解：设平面CDE的法向量为u (x , y , z),则U?CEwu?dE 0.x z 0于是令x 1,可得u (1 ,1 , 1).y z 0.又由题设，平面ACD的一个法向量为v (0, 0,1).u?v 0 0 13所以 cos(u, v) f= 一.|u|v| V3?139.(2009天津高考)如图，在四棱锥P ABCD中，PD 平面ABCD , AD CD ,且DB平分 ADC ,E 为 PC 的中点，AD CD 1,DB 2、2(I)证明 PA/ 平面 BDE w.w.w(H)证明

23、AC 平面PBD(川)求直线 BC与平面PBD所成的角的正切值【解析】设AC BD H ,连结EH ,在 ADC中，因为AD=CD ,且DB平分 ADC ,所以H为AC的中点，又由题设知，E为PC的中点，故EH/PA,又HE 平面BDE,PA 平面BDE ,所以PA/平面BDE(2)因为PD 平面ABCD , AC 平面ABCD ,所以PD AC由(1)知，BD AC,PD BD D,故 AC 平面 PBD由AC 平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以 CBH为直线与平面PBD所成的角。CH丄BH乙22 2由 AD CD, AD CD 1, DB 2 2、可得 DH在 Rt BH

24、C 中，tan CBHCHBHj所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为3B10.( 2009浙江高考)如图，平面 PAC 平面ABC， ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E, F,O分别为PA，PB，AC 的中点，AC 16，PA PC 10.(I)设G是OC的中点，证明：FG/平面BOE ;(II )证明：在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE ,并求点M到OA, OB的距离.【解析】(I)如图，连结 OP,以O为坐标原点，分别以 OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴,L Z建立空间直角坐标系 O xyz,则 O 0,0,0 ,A(0, 8,0), B(8,0,0),C(

25、0,8,0),P(0,0,6), E(0, 4,3), F 4,0,3，由题意得，G 0,4,0 ,uuuuuur因 OB (8,0,0), OE (0, 4,3)，因此平面 BOE 的法向量为 n (0,3, 4),uuur murFG ( 4,4, 3得n FG0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG/平面BOEuuuu(II )设点M的坐标为x0,y0,0，则FM(冷4,y0, 3),uuuu r9因为FM 平面BOE，所以有FM / n ,因此有x0 4, y0-,4x 09即点M的坐标为 4 - 0 ，在平面直角坐标系 xoy中，AOB的内部区域满足不等式组y 04 x y 8经检

26、验，点 M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO内存在一点 M，使FM 平面BOE ,9w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由点M的坐标得点M到OA, OB的距离分别为4,9411. (2009浙江高考)如图， DC 平面ABC , EB/DC ,AC BC EB 2DC 2, ACB 120o, P,Q 分别为 AE,AB 的中点.(I)证明：PQ/平面ACD ;(II )求AD与平面ABE所成角的正弦值.【解析】(I)连结DP,CQ，在 ABE中，P,Q分别是AE, AB的中点，所11以 PQ BE ,又 DC/ BE，所以 PQ/DC，又 PQ 平面 ACD22DC 平面ACD ,所以P

27、Q /平面ACD(H)在 ABC 中，AC BC 2,AQ BQ，所以 CQ AB而DC 平面ABC , EB/ DC，所以EB 平面ABC而EB 平面ABE ,所以平面 ABE 平面ABC , 所以CQ 平面ABE由(I)知四边形 DCQP是平行四边形，所以 DP /CQ所以DP 平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是 AP，所以直线AD与平面ABE所成角是 DAP在 Rt APD 中，AD . AC2 DC222 125，DP CQ 2sin CAQ 1所以sin DAPDP 1_5AD 512.( 2007辽宁高考)如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M，N分

28、别为AB，DF的中点(I)若平面 ABCD丄平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;(II )用反证法证明：直线 ME与BN是两条异面直线。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】(I)方法一：取 CD的中点G,连接MG , NG。 设正方形ABCD , DCEF的边长为2,则 MG 丄 CD , MG=2 , NG= 2因为平面 ABCD丄平面 DCED , MG 平面 ABCD ,平面 ABCD I DCEF=CD.所以MG丄平面 DCEF ,可得/ MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为 MN= . 6,所以 sin / MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值

29、方法二：设正方形ABCD , DCEF的边长为2，以D为坐标原点,分别以射线 DC, DF , DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图iuuu则 M (1,0,2) ,N(0,1,0),可得 MN =( 1,1,2).又da = (0, 0, 2)为平面 DCEF的法向量,uuur uuu uuur uuu MN DA 可得 cos( MN DA)=uuu-| MN |DA|所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为(n )假设直线ME与BN共面,则AB 平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB 平面DCEF。又AB/CD，所以 AB/平面D

30、CEF。EN为平面 MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENA EF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线12分13. (2009全国n)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC, D、E分别为 AA1、EC 的中点，DE 平面 BCC1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(I)证明：AB AC(II )设二面角A BD C为60求B1C与平面BCD所成的角的大小。【解析】(I)连结BE , Q ABC A1B1C1为直三棱柱，B1BC 90 ,Q E为BiC的中点，BE EC。又DE 平面BCC1,BDDC

31、(射影相等的两条斜线段相等)而DA 平面ABC,ABAC(相等的斜线段的射影相等)。(II )作 AGBD 于 G，连 GC，则 GC BD ,AGC为二面角A BD C的平面角，AGC 60 .不妨设AC 2 3，则AG 2,GC 4 .在RtVABD 中，由 AD AB BD AG，易得 AD . 6 .设点B到面BDC的距离为h ,B1C与平面BCD所成的角为。利用1 S b1BC3DE1S BCD h3，可求得h2-3，又可求得B1C 4 3sinh130 .B,C2即BiC与平面BCD所成的角为30 .14. (2009北京高考)如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形，PD 底面A

32、BCD，点E在棱PB上.(I)求证：平面 AEC 平面 PDB ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(H)当PD x 2AB且E为PB的中点时，求 AE与平面PDB所成的角的大小.【解析】 方法一：(I)：四边形 ABCD是正方形， AC丄BD , PD 底面 ABCDPD 丄 AC , AC 丄平面 PDB ,平面AEC 平面PDB .(H)设 AS BD=O，连接 OE，由(I)知 AC丄平面PDB于O,/ AEO 为 AE OE/PD ,OEtpD，又：2PD 底面ABCD , OE丄底面ABCDOE 丄 AO ,在 Rt AOE中,OE 丄 PD2子 AB A。， AOE45，即

33、AE与平面PDB所成的角的大小与平面PDB所的角， O, E分别为DB、PB的中点,为45 .方法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz,乙BX设 AB a, PD h,则 A a,0,0 , B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0, h ,umrujuuuu(I)： AC a,a,0 , DP 0,0,h , DB a,a,0 ,uuir umruuur umr AC DP 0, AC DB 0 , AC 丄 DP, AC 丄 DB , AC 丄平面 PDB ,平面AEC 平面PDB .(n)当PD 迈AB且E为PB的中点时，P 0,0,、.2a ,E丄

34、aa,上2a ,2 2 2设 AS BD=O，连接 OE ,由(I)知 AC丄平面PDB于O,/ AEO为AE与平面PDB所的角,uuu1172uuuuuu uuur一-EA EOEAa,a,a,EO0,0,a ,-cos AEO Tttur-i uur2222|EAlEOl2AOE 45，即AE与平面PDB所成的角的大小为4515. (2009湖南高考)如图3,在正三棱柱 ABC AiBG中，CAB =4, AA J7,点D是BC的中点，点E在AC上,且DEA,E.尸C(I)证明：平面 ADE 平面ACC1A1 ;JV(n)求直线 AD和平面ADE所成角的正弦值。B【解析】(I)如图所示，由

35、正三棱柱 ABC ABG的性质知AAl平面ABC.又 DE 平面 ABC，所以 DE AA,.而 DE AE, AA1 I A,E A1,所以DE丄平面ACC1A1.又DE 平面ADE ,故平面A1DE丄平面ACC1A1 .(H)方法一：过点A作AF垂直A(E于点F ,连接DF.由(I)知，平面AiDE丄平面ACCiA，所以AF 平面ADE ,故 ADF是直线AD和平面ADE所成的角。因为 DE 平面ACC1A1，所以DEAC.而 ABC是边长为4的正三角形，于是 AD = 2-2 ,1AE=4_CE=4-CD =3.2又因为 AA7，所以 AEAE2, ( 7)2 32 = 4,AF 31

36、空A1E4sin ADFAF .21AD 8即直线AD和平面A“DE所成角的正弦值为21方法二：如图所示，设 O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), A(2,0,7), D(-1,3,0),E(-1,0,0).uuuD厂 y uuur厂uuur厂易知 AD=(-3, V3 ,-丁7 ), DE= (0, - J3, 0) , AD= (-3 , V3, 0)设n (x,y,z)是平面ADE的一个法向量，则r uuun DE 、3y 0,r uuun A|D3x 一3y 7z 0.J7解得x乙y 0.3故可取n ( . 7,0,3).于是r uu

37、ucos n, ADr uuu n AD-FhuenAD.21由此即知，直线 AD和平面ADE所成角的正弦值为218DE BD 2a, AE a . 2216.(2009湖北高考)如图，四棱锥 S ABCD的底面是正方形，SD 平面ABCD，BD=2a，AD2a点E是SD上的点，且 DE a(02)(I)求证：对任意的(0, 2，都有AC BE(n)设二面角 C AE D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tan gtan 1，求 的值【解析】(I)方法一：如图1，连接BE、BD ,由面ABCD是正方形可得 AC丄BD。QSD丄平面 ABCD , BD是BE在平面 ABCD 上的射影

38、，AC丄BE(n)如图 1,由SD丄平面ABCD知，/ DBE= ,Q SD 丄平面 ABCD , CD 平面 ABCD,SD丄 CD。又底面 ABCD 是正方形，CD丄AD，而SD AD=D , CD丄平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF丄AE于F，连接CF，贝U CF丄AE ,故/ CFD是二面角 C-AE-D的平面角，即/ CFD=在 Rt BDE 中，Q BD=2a , DE= a tan在 Rt ADE 中，Q AD . 2a,DE从而DFAD DE .2 aAE在RtCDF 中，tanCDDF2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由tantan1，得2? 12

39、2 2.(0, 2,解得2，即为所求.方法二(I):以D为原点,uuu uuir uuuDA, DC, DS的方向分别作为z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系,D( 0,0, 0) , A ( 2a ,0), B ( 2a , 2a ,0)，C( 0,辰,0), E (0,a)，uurAC uuu(2a, 2a,0), BE(2a,2a,a)uurACuuu 22BE 2a2 2a2 0a 0 , w 即 ACBE 。(n)由uuu -(I)得 EA (. 2a,0,luu-a),EC (0,. 2a,uuua), BE (.2a,2a, a).设平面ACE的法向量为n =(x ,y,r

40、 uuu r uuirz),则由 nEA,n EC 得r uuu n EA r uuu n EC0,即0,0,取z , 2,得匸，2) o0,易知平面ADE的一个法向量分别为uuuuuu-DS (0,0,2a)与DC ( 0 , , 2a,0 ).sin-uuu-uuu-DSBE与平面ABCDuuuDSuuuBE=,cos4uuir DC nuutrDC n、2 2.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2Q 0tantansincos.2 2 2由于(0,2，解得 2即为所求。17. (2009湖南高考)如图4,在正三棱柱 ABC ABQ!中，AB 2AA,D是A1B1的中点，点E在A1C1

41、上，且DEAE。(I)证明平面 ADE 平面ACC1A1(n)求直线 AD和平面ABC,所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】(I)如图所示，由正三棱柱的性质知 AA1平面A1B1C1又DE 平面AiBiC 1，所以DE AA、.而DE AE oAA 1 AE=A,所以DE 平面AC C 1 A1，又DE 平面ADE，故平面ADE 平面AC C 1A1。(2)方法1如图所示，设F是AB的中点，连接DF、DC 1、C1F，由正三棱柱 ABC- A 1B1C 1的性质及 D 是 A 1B1 的中点知 A 1B1 C1D, A1B1 DF w.w.w.k.s.5.u.c.o.

42、m又 C1 D DF=D，所以 A1B1 平面 C1 DF，而 AB / A1B ,所以AB 平面C pF，又AB 平面ABC 1 ,故平面AB C 1 平面C1DF o过点 D 做 DH 垂直 C 1 F 于点 H，贝V DH 平面 AB C 1 .w.w.k.s.5.u.c.o.m连接AH，贝U HAD是AD和平面ABC 1所成的角。由已知 AB= . 2 A A 1，不妨设 A A 1= . 2，则 AB=2 , DF= .2 , D C 1 = . 3 ,C1F= .5 ,AD= JaA A D2 =y3 , DH=DF DC12 - 3 ；*305C1F所以 sinHAD=DH 10

43、=oAD 5即直线AD和平面AB C 1所成角的正弦值为.10o5方法2如图所示,O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)B（並,0, 0）, C131_（。，1,2），D （于，-，2 ）o易知 AB =（ 、3 ,1, 0）, AC1 =（0, 2,、2）, AD=（于,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设平面ABC 1的法向量为n= (x, y, z),则有r uuurr AB . 3x y 0,r uuuu_rr AC1 2y , 2z 0,解得x=J, 故可取 n =（i , - . 3 ， : 6）。所以,cos(n

44、AD)=r uuu rr AD-r-tutr-nAD2 晅=10.1035PBECD由此即知，直线 AD和平面AB C 1所成角的正弦值为2008年考题1. （2008山东高考）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面ABCD为菱形,PA丄平面ABCD , ABC 60 E , F分别是BC, PC的中点.（I）证明：AE丄PD;（H）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值 为一6 ,求二面角E AF C的余弦值.2【解析】（I）证明：由四边形 ABCD为菱形，/ ABC=60可得 ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以 AE丄BC.又BC / AD，因此 AE丄AD.因为PA

45、丄平面 ABCD , AE 平面ABCD，所以 PA丄AE.而 PA 平面 PAD, AD 平面 PAD 且 PA PAD =A ,所以AE丄平面 PAD，又PD 平面PAD.所以AE丄PD.（H）设 AB=2, H为PD上任意一点，连接 AH , EH .由（I）知AE丄平面PAD,则/ EHA为EH与平面PAD所成的角.在 Rt EAH 中，AE = 3 ,所以当AH最短时，/ EHA最大,即 当AH丄PD时，/ EHA最大.此时 tan / EHA =-AB36AH AH 2 因此 AH = 2 .又 AD=2，所以/ ADH =45 ,所以PA=2.解法一：因为 PA丄平面 ABCD

46、, PA 平面PAC，所以平面 PAC丄平面 ABCD .过E作EO丄AC于0,贝U EO丄平面PAC,过O作OS丄AF于S,连接ES，则/ ESO为二面角 E-AF-C的平面角，在 Rt AOE 中,EO=AE sin303AO=AE cos30=-52又F是PC的中点，在Rt ASO 中,3近SO=AO si n45 =-又 SEEO2 SO2在 Rt ESO 中，cos/ ESO= SOSE3、2_工、3054即所求二面角的余弦值为ir设平面AEF的一法向量为m （%,%,召）,学习好资料欢迎下载ir uuir0,、：3xi0,则mgAEir uuir mgAF0,因此3TX112y1Z

47、|0.ir取召1,则m(0,2, 1),因为BD 丄 AC , BD 丄 PA, PA AAC=A ,所以 BD 丄平面 AFC ,uuuuuur=(-/3,3,0 ),故BD为平面AFC的一法向量.又BD :ir uuir3.15所以 cosvir uur m, BDmgBD -u utur2|mgBD| 、5、125因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为2. ( 2008海南宁夏高考)如图，已知点 P在正方体ABCD-ABC D的对角线BD上,PDA 60 .(I)求DP与CC所成角的大小；L(n)求DP与平面AAD D所成角的大小60.2【解析】如图，以D为原点,DA为单

48、位长建立空间直角坐标系D xyz。uuun uuuDH , DA2。2可得2m 2m2 1 。解得muunuuuU则 DA (1,0,0), CC (0,0,1).连结BD, BD。在平面BB DD中，延长DP交BD于H。uuuruurn uuu设 DH (m,m,1)(m 0)，由已知DH ,DA 60o,uuuu uuu uuuu uur 由 DH DA |DH | DA | cosuuuJ2 J2所以 DH (-,-,1).2 2-uum ujua_2 ,所以 DH ,CC45)因为uuuu山巴cos DH ,CC-2 c2c0 01 12 2 _1逅即DP与CC所成的角为45。uuir(n)平面 AADD的一个法向量是 DC (0,1,0).因为cosuuuu uuirDH , DC21 21,所以2uulu uur DH , DC学习好资料欢迎下载可得DP与平面aadd所成的角为30.2007年考题 1.(2007山东高考)如图，在直四棱柱 ABCD ABGDi中，已知CC1DC DD1 2AD 2AB , AD DC , AB / DC .(I) 设E是DC的中点，求证：DiE/平面A,BD;(II) 求二面角 A BD Ci的余弦值.【解析】(I)连结BE,则四边形 D