数字信号处理DFT性质

1、DFTDFT性质性质 讨论课目的：讨论课目的： 让我们加深对数字信号处理知识的理解，提高我们综合运 用课本知识去分析解决问题的能力，引导我们主动去思考、 学习，同时锻炼自己的语言表达能力与团队合作能力。 目 录 模拟信号产生时域离散信号 线性时不变系统的输入输出关系 离散傅里叶变换DFT DFT的性质 利用DFT进行谱分析 线性卷积与循环卷积 如何由模拟信号产生时域离散信号：如何由模拟信号产生时域离散信号： 实际中遇到的信号一般都是模拟信号，对它进行实际中遇到的信号一般都是模拟信号，对它进行等间隔采等间隔采 样样便可以得到时域离散信号。设模拟信号为便可以得到时域离散信号。设模拟信号为Xa(t)

2、,Xa(t),以采样以采样 间隔间隔T T对它进行等间隔采样，得到：对它进行等间隔采样，得到： x(n)x(n)称为时域离散信号称为时域离散信号。n n取整数，将取整数，将n=.,0,1,2,3,.n=.,0,1,2,3,. 代入上式，得：代入上式，得： 可见，可见，x(n)x(n)是一串有序的数字集合，因此时域离散信号也是一串有序的数字集合，因此时域离散信号也 称为称为序列序列。 举例：举例： 对对正弦信号等间隔采样正弦信号等间隔采样得到的时域离散信号如图得到的时域离散信号如图： 正正 弦弦 序序 列列 线性时不变系统输入和输出之间的关系：线性时不变系统输入和输出之间的关系： LTI LTI

3、系统：用系统：用卷积求和卷积求和的方法，表示系统的输入与输出之的方法，表示系统的输入与输出之 间的关系。间的关系。 h(n) h(n)是单位冲击冲击响应，已知是单位冲击冲击响应，已知x(n),x(n),求求y(n)y(n) =x(n)=x(n)h(n)h(n) 即输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应即输出等于输入序列和该系统的单位脉冲响应 的的卷积和卷积和。 LTI系统系统 x(n) y(n) 离散傅里叶变换：离散傅里叶变换： 有限长序列有限长序列x(n)x(n)的傅里叶变换成为的傅里叶变换成为离散傅里叶变换离散傅里叶变换，即，即 DFTDFT。 N N是是DFTDFT变换区间的长度，变换区

4、间的长度，N=MN=M。 DFT DFT性质：性质： 一、线性一、线性 如果如果x1(n)x1(n)与与x2(n)x2(n)是两个有限长序列，长度分别是是两个有限长序列，长度分别是N1N1和和N2N2， 且设且设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，则：，则： 其中其中a a和和b b都是常数，都是常数，N=maxN1,N2N=maxN1,N2。 二、循环移位：二、循环移位： 步骤：步骤： 1 1、将、将x(n)x(n)延拓延拓成周期为成周期为N N周期序列周期序列 。 2 2、将、将 移位移位得到得到 。 3 3、取、取 得得主值序列主值序列。 循环移

5、位过程：循环移位过程： 可见，循环移位就是可见，循环移位就是 将将x(n)x(n)左移左移m m位，而移位，而移 出主值区间的序列值出主值区间的序列值 又依次从右侧进入主又依次从右侧进入主 值区。即值区。即主值区间内主值区间内 的信息没有丢失的信息没有丢失，只，只 不过序号发生变化，不过序号发生变化， 原来的原来的0 0点点值移动后变值移动后变 到到N-2N-2位置。位置。 循环移位定理：循环移位定理： 时域：时域： 时域移动时域移动mT,mT,对应频域相位发生变化。对应频域相位发生变化。 频域：频域： 频域移动频域移动L L的频偏，对应时域相位发生变化。的频偏，对应时域相位发生变化。 三、循

6、环卷积三、循环卷积: : 步骤： 1、不够补零，周期延拓 2、反转 3、移位并取主值0-N-1 4、循环相乘加和 循环卷积定理：循环卷积定理： x1(n)x1(n)长度是长度是N1N1，x2(n)x2(n)长度是长度是N2N2，N NN1N1，N2N2。 循环卷积之后序列的长度没有发生变化为循环卷积之后序列的长度没有发生变化为N N。 IDFT DFT DFT x1(n) x2(n) X1(K) X2(K) x1(n)x2(n) 四、复共轭序列的四、复共轭序列的DFT:DFT: 五、五、DFTDFT的隐含周期性的隐含周期性: : X(k+mN)=X(k)X(k+mN)=X(k) 周期性延拓周期

7、性延拓 主值序列主值序列 六、六、DFTDFT共轭对称性：共轭对称性： 1 1、 x x(n)=(n)=x xr r(n)+j(n)+jx xi i(n) (n) 2 2、 x(n)=x x(n)=xepep(n)+x(n)+xopop(n)(n) X(K)=XX(K)=XR R(K)+jX(K)+jXZ Z(K)(K) 实信号实信号的共轭对称性：的共轭对称性： 1、实序列 x(n) X(K)=x(n) X(K)= 2、实偶对称序列 X(K)=DFTx(n)=X(N-K)X(K)=DFTx(n)=X(N-K) 3、实奇对称序列 X(K)=DFTx(n)=-X(N-K)X(K)=DFTx(n)=

8、-X(N-K) 可见，实序列中可见，实序列中X(K)X(K)= =X(N-K)X(N-K)，要计算 X(K)X(K)的值时，只需计算前N/2点，后一半对称即可。 谱分析：谱分析： 误差误差： 由由FTFT可知，若时间有限则频谱无限宽；若信号的频谱有限可知，若时间有限则频谱无限宽；若信号的频谱有限 宽，则其持续时间必然为无限长。所以时间有限，频带有界宽，则其持续时间必然为无限长。所以时间有限，频带有界 的信号是不存在的。所以用的信号是不存在的。所以用DFTDFT必然存在误差必然存在误差。 那么误差要怎么解决呢？那么误差要怎么解决呢？ 误差分析及改进方法： 1 1、截断效应：截取、截断效应：截取T

9、 TP P变成有限长，相应的频域会有一个卷变成有限长，相应的频域会有一个卷 积积 ，与原来的频谱必然有一定的差别，所以要，与原来的频谱必然有一定的差别，所以要选择合适的选择合适的 窗函数窗函数截取，截取，增加增加N N也可以减弱截断效应。也可以减弱截断效应。 2 2、混叠现象：前置预滤波器采样频率、混叠现象：前置预滤波器采样频率fsfs满足采样定理，否则满足采样定理，否则 就会产生混叠现象，即就会产生混叠现象，即fs/2fs/2fcfc, ,并使滤波器尽可能的并使滤波器尽可能的接近接近 理想滤波器理想滤波器。 3 3、栅栏效应：对时域频谱进行等间隔采样时，采样点之间的、栅栏效应：对时域频谱进行

10、等间隔采样时，采样点之间的 频谱可能看不见，所以可能会漏掉大的频谱分量。为了将频谱可能看不见，所以可能会漏掉大的频谱分量。为了将 被挡住的频谱信号检测出来可以在原序列的被挡住的频谱信号检测出来可以在原序列的尾部进行补零尾部进行补零， 变成高密度谱，减弱栅栏效应，但分辨率变成高密度谱，减弱栅栏效应，但分辨率F F不变。不变。 利用利用DFTDFT进行谱分析：进行谱分析： 由公式可导出：由公式可导出： 可见，连续时间信号的频谱可以由采样后的有限可见，连续时间信号的频谱可以由采样后的有限 长信号长信号x(n)x(n)的的DFTx(n)DFTx(n)即即X(K)X(K)来逼近。来逼近。 逼近过程逼近过

11、程： 时域抽样时域抽样 fs2fc 时域截取时域截取 Tp 频域抽样频域抽样 F=1/Tp 其中时域抽样有其中时域抽样有N N个个抽样点抽样点, ,时域截取时域截取Tp=NTTp=NT, ,频域频域 抽样即在抽样即在0-fs0-fs上采样上采样N N点，采样间隔点，采样间隔F,F,F=fs/NF=fs/N。 1 1、F: F: 频率分辨率频率分辨率 F=1/Tp=1/NT=Fs/N F=1/Tp=1/NT=Fs/N 可见：可见：FsFs一定，一定，T T一定，当一定，当N N时，时，TpTp，最终导致，最终导致FF， 分辨率升高分辨率升高。 2 2、谱分析范围、谱分析范围:0-Fs/2:0-F

12、s/2 DFTDFT的高分辨率频谱与高密度频谱之间的区别：的高分辨率频谱与高密度频谱之间的区别： 高分辨率频谱高分辨率频谱：仅取决于截取连续信号仅取决于截取连续信号T TP P的长度，的长度，采采 样频率不变样频率不变时，通过改变采样点数时，通过改变采样点数N N可以改变可以改变DFTDFT 的分辨率。的分辨率。(N(N,F,F,分辨率升高分辨率升高) ) 高密度频谱高密度频谱：信号的时间长度不变，在频域内提高采样频信号的时间长度不变，在频域内提高采样频 率，率，尾部补零尾部补零可以得到高密度频可以得到高密度频谱，但谱，但不能改变分辨不能改变分辨 率率。 线性卷积和圆周卷积的关系：线性卷积和圆周卷积的关系： 线性卷积： 循环卷积： 圆周卷积是线性卷积圆周卷积是线性卷积 以以L为周期进行的周期为周期进行的周期 延拓的主值序列。延拓的主值序列。 LM+N-1时圆周卷积时圆周卷积 可以替代循环卷积可以替代循环卷积 如何利用圆周卷积求系统响应：如何利用圆周卷积求系统响应： 步骤：步骤： 1 1、已知、已知x(n)x(n)为为M M点，点，h(n)h(n)为为N N点，取点，取L LM+N-1M+N-1。 2 2、将、将x(n)x(n)、H(n)H(n)补零补