立体几何(知识点总结,解题方法总结)

1、数学必修（二）知识梳理与解题方法分析第一章 空间几何体、本章总知识结构各节内容分析1.1空间几何体的结构1.本节知识结构聞单纽合体网甘拘抽社1.2空间几何体三视图和直观图1、本节知识结构1.3空间几何体的表面积与体积1、本节知识结构空阿几何佯的我面积与体积1註休*锥臥 伶体的表面积与侔积球的休积与表面机O三、高考考点解析本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容：1多面体的体积（表面积）问题；2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离） 问题一“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题R1.在四棱锥P ABCD中，底面是边长为2的菱形，/ DAB = 60 ?,对角线A

2、C与BD 相交于点O, P0丄平面ABCD , PB与平面ABCD所成的角为60 :.（1）求四棱锥P ABCD的体积； 【解】（1）在四棱锥P-ABCD中，由P0丄平面ABCD,得/ PB0是PB与平面 ABCD所成的角，/PBO=60 .在 Rt A0B 中 B0=ABsin30 =1,由 P0丄 B0,于是， P0=B0tan60 = J3 ,而底面菱形的面积为 2.3.1四棱锥 P-ABCD 的体积 V= X2.3 X 3=2.32.如图，长方体ABCD- A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD!的中点，AD=AA 1 =a,AB=2a,（川）求三

3、棱锥 P DEN的体积。 【解】（出）_ 1 _S矩形 ECD1P -21 BC4CD1a2 4a2作 DQ _CD1，交 CD1 于 Q，由 AD1 _ 面 CDDG得 AC1 _ DQ DQ _ 面 BCD1A1在 Rt ：CDD1 中,DQCD DD1CD12a a 2VP _DENVD _ENPEPDQ_7（二）点到平面的距离问题一“等体积代换法”1如图，四面体 ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA =CB =CD =BD =2, AB = AD2.（III ）求点E到平面ACD的距离。【解】（山）设点E到平面ACD的距离为h.Q Ve 4CD - Va-cde , 113

4、hgS ACD = gAOgS CDE .33EC在 ACD 中， CA =CD =2, AD2AO.S cde.21S ACD.点E到平面ACD的距离为2.如图，已知正三棱柱 ABC - AB,G的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC!上的点，且CN = 2C1N 。(n)求点b1到平面AMN的距离。【解】(n)过B1在面BCG3内作直线EH _MN , H为垂足。又AM _平面BCC1B1，所以AM _ B1H。于是BjH _平面AMN ,为1。故BH即为B到平面AMN的距离。在R/DHM中，B1H =13如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂 直，且

5、 0A=1 , OB=OC=2 , E是0C的中点。(1)求O点到面ABC的距离；1MH 甘- =1。故点B1到平面AMN的距离【解】(1)取BC的中点D，连AD、OD。QOB =OC，则 OD _ BC、AD _ BC, BC丄面OAD。过 O点作OH丄AD于H , 则OH丄面ABC , OH的长就是所要求的距离。BC =2 2 , ODOC2 -CD2 二 2。AD = OAOD . 3，在直角三角形OAD 中，有 oh=OA2d=三二。AD 一 3 一 3（另解：由Vo _ abc1=3 S ABC OH=10A OB-知：OH 二一6)633第二章点、直线、平面之间的位置关系、本章的知

6、识结构単丽与孚邢的地娄皋才均与盲堆罩廿LT血聂与罕啊，1宰幽占馨匾亦_ p 丁匚厂ralL住冋唱熬关麻龙间fi?种优亘理1T盘規垂H.建与呼整宜- - ；T沪平mrM二、各节内容分析2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系1、本节知识结构耶砌營理I*独瑁2.住理戈七齐射11 11復歿与il型的捡关皐a總与平昭的悅豎羞霁|*筒与牡祁的位？!舅皋2.内容归纳总结（1 ）四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号语言：A三丨，B三丨，且A三工，B = l 。公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。三个推论：它给出了确定一个平面的依据。公理3 :如果两个

7、不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线（两个平面的交线）。符号语言：P -.,且P I 2 =丨，P丨。公理4:（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。符号语言：a/l,且 b/l= a/b。（2）空间中直线与直线之间的位置关系1概念 异面直线及夹角|：把不在任何一个平面内的两条直线叫做|异面直线。已知两条异面直线 a, b，经过空间任意一点 0作直线a7/a,b7/b，我们把a与b所成的角（或直角）叫 异面直线a,b所成的夹角|。（易知：夹角范围0日兰90*） 定理:空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相 等或互补。（注意：会

8、画两个角互补的图形）相交直线：；丨共面直线2位置关系：I平行直线：;.异面直线：.（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线在平面内：丨“直线与平面的位置关系有三种：+八亠十=q2.直线与平面相交：丨I= A直线在平面外3直线与平面平行：I/G（4）空间中平面与平面之间的位置关系1.两个平面平行：? / - 平面与平面之间的位置关系有两种：人、12.两个平面相交：G I2.2直线、平面平行的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结(1 )四个定理定理定理内容付号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直 线与平面内的一条直 线平行，则该直线与 此平面平行。aot,bua,且

9、 a/b二 act在已知平面内“找出” 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行，则这两个 平面平行。au B,bu P,a I b = P,a/M, b/a n P /a判定的关键：在一个已 知平面内“找出”两条相交 直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面 平行的性质一条直线与一个 平面平行，则过这条 直线的任一平面与此 平面的交线与该直线 平行。a/c(,auP,c(l B=b二 a/b平面与平面平行的性质如果两个平行平 面同时和第三个平面 相交，那

10、么它们的交 线平行。a E,a 1 Y = a, B 1 Y =bn a/b(2)定理之间的关系及其转化两平面平行问题常转化为直线与直线平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化 为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题” 。乍口、f；札活:的转出rca jt is干圏耳平nt平rt-2.3直线、平面平垂直的判定及其性质1、本节知识结构2.内容归纳总结（一）基本概念1. 直线与平面垂直：如果直线I与平面内的任意一条直线都 垂直，我们就说直线I与平面:垂直，记作I -。直线I叫做平面: 的垂线，平面叫做直线I

11、的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂 足。2. 直线与平面所成的角：角的取值范围：o二:90。3二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的 面。二面角的记法：二面角的取值范围：0二180两个平面垂直：直二面角。（二）四个定理定理定理内容付号表示分析解决问题的常用方法直线与平面垂直的判疋一条直线与一个 平面内的两条相交直 线垂直，则该直线与 此平面垂直。m、n壬 a,ml n = P, 且a丄m, a丄n二a丄o在已知平面内“找出”厂两条相交直线与已知直线 垂直就可以判疋直线与平 面垂直。即将线面垂直 转化为“线线垂直”平面与平面

12、垂直的判疋一个平面过另一 平面的垂线，则这两 个平面垂直。auB,a丄ctn B 丄ct（满足条件与G垂直 的平面P有无数个）判定的关键：在一个已 知平面内“找出”两条相交 直线与另一平面平行。即将 “面面平行问题”转化为“线面平行问题直线与平面 垂直的性质冋垂直与一个平 面的两条直线平行。a 丄 a,b 丄 an a/b平面与平面垂直的性质两个平面垂直， 则一个平面内垂直与 交线的直线与另一个平面垂直。g 丄0=l,au 月a丄丨n a丄a,解决问题时，常添加的辅助线是在一个平面内作 两平面交线的垂线（三）定理之间的关系及其转化：两平面垂直问题常转化为直线与直线垂直， 而直线与平面垂直又可转

13、化为直线与直线垂 直，所以在解题时应注意从“高维”到“低维” 的转化，即“空间问题”至平面问题” 的转化。和叭兀聒之制的牺化二tlhl li. E-lt - If- =t Il半曲Lj屮-曲H三、高考考点解析第一部分、三类角（异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角、二面角）的求解问题（一）异面直线所成的夹角与异面直线的公垂线1 .异面直线所成的夹角是本部分的重点和难点更是高考的考点。异面直线所成的角的大小是刻划空间两条异面直线的相关位置的一个量，掌握好概念是解题的关键，其思维方法是把两条异面直线所成的角通过“平移法”转化为“平面角”，然后证明这个角就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（简言之

14、：“转化角”、“证明”、“求角”）。以上三个步骤“转化角”是求解的关键，因为转化的过程往往就是求解 的过程一一其目的就是将“空间问题”转化为“平面问题（角问题）”。1.如图所示，AF、DE分别是eO、e O的直径，AD =8. BC是e O的直径， AB =AC =6,OE/AD。（II）求直线BD与EF所成的角。【解】（II）第一步：将“问题”转化为求“平面角”问题根据定义和题设，我们只能从两条异面直线的四个顶 点出发作其中一条直线的平行线，此题我们只能从点 D作符合条件的直线。连结DO,则/ ODB即为所求的角。第二步：证明/ ODB就是所求的角在平面 ADEF中，DE/AF，且 DE=A

15、F，所以四边形ODEF为平行四边形所以DO/EF所以根据定义，/ ODB就是所求的角。 第三步：求角由题设可知：底面 ABCD为正方形/ DA丄平面ABCD又/ AF丄BC DO 丄 BCBC 二平面 ABCDBC丄平面ADO DOB为直角三角形DA 丄 BC在 Rt ODB , BD =10DO =8210（或用反三角函数表示为:10在正 ABD 和正 PBD 中，DE=DF= 3 .cos/ FED=EF2.6DE=4一 .3.2异面直线DE与PA所成角的大小是2arccos43. 如图，四面体 ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点,CA 二 CB 二 CD 二 BD =2,AB 二

16、AD = .2.（II）求异面直线 AB与CD所成角的大小；【解】本小题主要考查直线与平面的位置关 系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算 能力。方法一 ：（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、 OE,由 E 为 BC 的中点知 ME / AB,OE/ DC 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线 AB与 CD所成的角2. 在四棱锥P ABCD中，底面是边长为 2的菱形，/ DAB = 60 对角线AC与BD 相交于点O, PO丄平面ABCD , PB与平面ABCD所成的角为 60（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的 大小（结果

17、用反三角函数值表示）.【解】（2）取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF/ PA,/ FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在 Rt AOB 中 AO=ABcos30 = . 3 =OP,于是,在等腰Rt POA中，PA= , 6，则EF=62在QME中,EM1 AB21,OE DC =1,2QOM是直角 AOC斜边AC上的中线，.OM =1AC =1,2cos._ OEM =4-异面直线AB与CD所成角的大小为a4. 如图，已知三棱锥 O - ABC的侧棱OA、OB OC两两垂直，且OA=1 ,OB=OC=2 ,E是OC的中点。(2)求异面直线BE与AC所成的角;

18、【解】(2)取OA的中点M,连EM、BM，贝U EM / AC ,Z BEM是异面直线BE与AC所1成的角。求得:EMBE 二 OB2 OE2一5 , BM 二.OM 2 OB2 = -172cos _ BEMBE2 ME2 _BM 222BE ME5二 BEM2=arccos。52.异面直线的公垂线问题异面直线的公垂线问题也是高考的考点之一。与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.1 如图，在直三棱柱 ABC -AEG中，AB =BC,D、E分别为BB“、AG的中点。(I)证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；1【解】(I)设

19、O为AC中点，连接EO, BO,则EOl 2C1C,又CqZ B1B，所以Eo! DB , EOBD为平行四边形，ED / OB ./AB = BC,. BO丄AC,DB,1EFCAjALZ又平面ABC丄平面ACC1A1,BO 面ABC,故B0丄平面ACCiAi, ED丄平面 ED 丄 BBi,2如图,已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC ,等边 AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且/ ACB=90，设AC = 2a, BC = a(I)求证直线 B, C1是异面直线 AB1与A G的公垂线;【解】解法i ： (I)证明：平面 A3G 平面ABC ,.BiCiBC,ACi

20、ACQ BC _ ACBQ, _ AGC又平面ABiC丄平面ABC，平面ABiC门平面ABC = AC BC 丄平面 AB,C ,BC _ Ab,EG ABi ,又Q AG - BiCi = Ci , BG ABi = B .EG为ABi与AiCi的公垂线.(二) 直线与平面所成夹角i.如图，在四棱锥P -ABCD中，底面为直角梯形,AD / BC ,BAD =90, PA -底面 ABCD ,且 PA = AD = AB = 2BC ,M、N分别为PC、PB的中点。(n)求CD与平面ADMN所成的角。【解】(II )取AD的中点G，连结BG、NG则 BG/CD ,所以BG与平面ADMN所成的

21、角和CD与平面 成的角相等ADMN 所ACCiAi,ED 丄ACi,ED丄 CCi,ED为异面直线 ACi与BBi的公垂线.AD =8. BC是e O的直径,AC、BC 边上的点，满足 AE:EB = CF:FA = CP:PB = 1:2（如图 1 ）。将厶 AEF 沿 EF折起到.:A,EF的位置，使二面角 Ai EF- B成直二面角，连结 AiB、AiP (如图2)(H)求直线 AiE与平面AiBP所成角的大小；【解】不妨设正三角形的边长为 3,则(II)在图2中，T AiE不垂直于 AiB,. AiE是面AiBP的斜线，又 AiE丄面BEP,二AiE丄BP,. BP垂直于AiE在面Ai

22、BP内的射影(三垂线定理的逆定理)设AiE在面AiBP内的射影为 AiQ，且AiQ交BP于Q,则/ EAiQ就是AiE与面AiBP所成的角，且 BP丄AiQ。在厶 EBP 中，T BE=BP=2，/ EBP=60 , EBP 为正三角形，二 BE=EP。又 AiE丄面 BEP, AiB=AiP,. Q 为 BP 的中点，且 EQ=3，而 AiE=i ,在Rt AiEQ中，tanAEQ二旦3，即直线AiE与面AiBP所成角为60。AiE(三) 二面角与二面角的平面角问题i 如图所示，AF、DE分别是eO、e O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直,AB =AC =6,OE AD。(I)求二面角B

23、-AD-F的大小；【解】(I)v AD与两圆所在的平面均垂直， AD 丄AB , AD 丄AF,故/ BAF是二面角 B AD F的平面角， 依题意可知，ABFC是正方形，所以/ BAF = 45. 即二面角B AD F的大小为45;2.如图，P是边长为i的正六边形 ABCDEF所 在平面外一点，PA=i , P在平面ABC内的射影为 BF的中点0。(n)求面 APB与面DPB所成二面角的大小。【解】连结AD，则易知AD与BF的交点为0。(II )设M为PB的中点，连结AM , MD。Q 在 ABP中 PA=AB, PB_AM,Q斜线PB在平面ABC内的射影为OB, BF AD。由三垂线定理得

24、PB AD.又Q AM - AD 二 A,. PB _ 平面 AMD .Q MD 平面AMD,. PR_ MD.因此，.AMD为所求二面角的平面角。在正六边形 ABCDEF 中，BD =BF =20B = ,jAD =2.1在 Rt . AOP中，PA=1,0A,2.PO hPA2 OA23.2在 Rr BOP中，PB 二.PO2 OB，贝U BM =- PB2 2AM-ABn沪呼 MD.42在AMD中，由余弦定理得cosAMD =2 2 2MA2 MD2 - AD22 MA MD-0535因此，所求二面角的大小为同理 FO 是 ADC 的中位线3. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P - A

25、BCD中，AB_AC， PA _平面ABCD，且PA二AB，点E是PD的中点.（川）求二面角 E -AC -B的大小.【解】（川）如图，取AD的中点F,连EF, FO,则EF是厶PAD的中位线， .EF/PA又 PA _ 平面 ABCD，. EF_平面 ABCD.FO/AB. FOJC由三垂线定理可知. EOF是1二面角E-AC D的平面角.又FO = AB21=-PA= EF。2/EOF = 45而二面角E-AC-B与二面角E AC D互补，故所求二面角 E - AC - B的大小为135 .4.如图，已知四棱锥 P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形， AB / DC ,AC BD,AC与B

26、D相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO =2, PO二2, PB _ PD .（H）求二面角 P - AB - C的大小；【解】 Q PO 平面ABCD，PO BD又 PB _ PD,BO =2,P0 =由平面几何知识得：OD =1,PD二.3, PB二.6(n)连结OE，由(i)及三垂线定理知，.PEO为二面角P_AB_C的平面角po V20.sin . PEO，. . PEO =45PE 2面角P - AB -C的大小为455. 如图,a3 ,aA3 =l , A a , B，点A在直线l上的射影为 Ai,点B在I的射影为 Bi,已知 AB=2,AA i=1, BBi= .2

27、,求：(II)二面角Ai-AB Bi的大小。【解】 (n)v BBi丄a ,平面ABB i丄a。在平面a内过 Ai作AiE丄ABi交AB i于E,贝U AiE 丄平面 ABiB。过E作EF AB交AB于F，连接 AiF, 则由三垂线定理得 AiF丄AB ,/ AiFE就是所求二面角的平面角AB i=BiB= ;2. Rt AA iB 中，AiB= AB2 AA i2 = 4 i =3。由 AAi AiB=AiF AB 得AA i AiF= AbAiB _ i X ;3 _ ,3= 2 =2在 Rt AiEF 中,sin / AiFE =AiE .6AF= T.面角Ai AB Bi的大小为arc

28、sinf在 Rt ABB i 中，/ BAB i=45 ,第二部分空间直线、平面的平行问题将“空间问题”转化为“平面问题”的“转化思想”(一) “线线平行”与“线面平行”的转化问题I 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P- ABCD 中，AB_AC , PA_ 平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点.(n)求证：PB/平面AEC ;【解】 证明本题的关键：在平面 EAC中“找” 一条与 PB平行的直线，由于点 E在平面PBD中，所以可以在 平面PBD中过点E “找”(显然，要“找”的直线就是 平面PBD与平面EAC的交线)。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。(n)连接 BD，与

29、AC相交与0,连接EO,QABCD是平行四边形.0是BD的中点又E是PD的中点，.EO/PB.又PB二平面AEC，E0二平面AEC，.PB 平面 AEC。2如图，在五面体 ABCDEF中，点0是矩形ABCD的对角线的交点，面 CDE是等1边三角形，棱EF / BC =2(1) 证明F0平面CDE ;(2) 设 BC 二 3CD，证明 E0 _ 平面 CDF 【解】分析通上题。(I)证明：取 CD中点M ,连结0M.1在矩形ABCD 中。0M / BC，又21EF BC ,2则EF/0M，连结EM，于是四边形EF0M为平行四边形.F0/EM 又Q F0二平面CDE，且EM二平面CDE , v F

30、0/平面CDE(二) “线面平行”与“面面平行”的转化问题BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、2. 如图,长方体ABCD- A1B1C1D1中，E、P分别是CD1 的中点，AD=AA 1 =a,AB=2a,(I)求证：MN / 平面 ADD1A1 ;【证明】本题如果利用“线线平行”找“线”比较复 杂(不是不可以)，所以我们可以考虑利用 “面面平行” 来将问题转化。关键是：考虑到点M、N都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点K(0C的中点)，将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。1a(I)取CD的中点K，连结MK , NKv M , N,K分别为AK,CD1,CD的中点v

31、 MK /AD,NK /DD1 MK /面 ADD1A1 , NK/面 ADD1A1面 MNK / 面 ADD1A1 MN / 面 ADD1A1BD、BC的中点,第三部分 空间直线、平面的垂直问题将“空间问题”转化为“平面问题”转化思想。(一) “线线垂直”到“线面垂直”1 如图，ABCD -ABGDi是正四棱柱。(I)求证：BD丄平面ACC1A ；【解】 根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条 相交的直线AC、AiA与BD垂直。(I)： ABCD -A1B1C1 D1 是正四棱柱，二 CC1 丄平面 ABCD , BD 丄 CC1 ,/ ABCD是正方形， BD丄AC又/ AC , CC

32、1 二平面 ACGA，且 AC n CC1=C , BD丄平面AC&A,。2. 如图，四面体 ABCD中，0、E分别是CA =CB =CD =BD =2, AB =AD 二 2.(I)求证：AO _平面BCD ;【解】(I)证明：连结OCQ BO =D0,AB =AD, AO _ BD.Q BO 二 DO, BC =CD, CO _ BD.在AAOC中，由已知可得 AO =1,CO =*3.而 AC =2,. AO2 CO AC2,AOC =90,即 AO OC.Q BD I OC =O,AO 平面3 .女口图 4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q - ABCD的高分别为1和2, AB = 4

33、。(I)证明：PQ _平面ABCD ；【解】(I)取AD的中点M，连接PM、QM。因为P-ABCD与Q- ABCD都是正四棱锥，所以 AD _ PM , AD _ QM。 从而AD _平面PQM。又PQ二平面PQM，所以PQ丄AD。同理PQ丄AB，所以PQ丄平面ABCD 。9.在正三角形 ABC中，E、F、P分别是 AB、AC、BC边上的点，满足 AE:EB = CF:FA=CP:PB = 1:2 (如图1)。将厶AEF沿EF折起到 M.EF的位置，使二面角 Ai-EF-B成直图1二面角，连结 AiB、AiP(如图2)(I)求证：AiE丄平面BEP;【解】不妨设正三角形的边长为3,则(I)在图1