MATLAB的符号运算-符号对象的创建

1、MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 第5章 MATLABMATLAB的符号运算 5.1 5.1 符号对象的创建符号对象的创建 5.2 5.2 基本的符号运算基本的符号运算 5.3 5.3 符号微积分符号微积分 5.4 5.4 符号方程的求解符号方程的求解 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 5.1 5.1 符号对象的创建（定义）符号对象的创建（定义） MATLAB提供了一种数据类型提供了一种数据类型: 符号型数符号型数 据据, 可以进行符号运算，是符号运算的对象，可以进行符号运算，是符号运算的对象， 因此也把符号数据称为符号对象。因此也把符号数据称为符号对象。 符号对象可以是符号变

2、量、符号常量、符符号对象可以是符号变量、符号常量、符 号表达式或符号矩阵。号表达式或符号矩阵。 符号对象要先定义，后引用。符号对象要先定义，后引用。 如何定义符号变量、符号常量、符号表达如何定义符号变量、符号常量、符号表达 式或符号矩阵？式或符号矩阵？ MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 用用sym函数、函数、syms函数可以将运算量定义函数可以将运算量定义 为符号型数据。为符号型数据。 sym函数函数 syms函数函数 （一）建立符号变量和符号常数（一）建立符号变量和符号常数 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 1、sym函数函数 主要功能：创建单个符号变量。主要功能：创建单个符

3、号变量。 调用形式：调用形式： 符号变量名符号变量名 = sym(= sym(符号字符串符号字符串) ) 将符号字符串创建为一个符号变量，符号变量的将符号字符串创建为一个符号变量，符号变量的 值就是该符号字符串，值就是该符号字符串，符号字符串符号字符串 可以是常量、可以是常量、 变量、函数或表达式。变量、函数或表达式。 注意：每次调用该函数，只能定义一个符号变量。注意：每次调用该函数，只能定义一个符号变量。 使用方法举例使用方法举例 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 a=sym(a=sym(a a) ) % %将将aa创建为符号变量，以创建为符号变量，以a a作为作为输出变量名输出变量

4、名 a=a= a a b=sym(b=sym(b b) ) x=sym(x=sym(x x) ) y=sym(y=sym(y y) ) 符号变量的名字不一定和字符串中的字母相同符号变量的名字不一定和字符串中的字母相同 例如：例如： m=sym(m=sym(y y) ) SymSym函数可以定义符号常数：函数可以定义符号常数： k1=sym(9);k2=sym(3); k1=sym(9);k2=sym(3); % %定义符号变量定义符号变量 r1=9;r2=3; r1=9;r2=3; % %定义数值变量定义数值变量 k1+sqrt(k2) k1+sqrt(k2) % %符号计算（精确的数学表达式

5、）符号计算（精确的数学表达式） ans = 9+3(1/2)ans = 9+3(1/2) r1+sqrt(r2) r1+sqrt(r2) % %数值计算（近似为一个有限小数）数值计算（近似为一个有限小数） ans = 10.7321 ans = 10.7321 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 2、syms函数函数 syms函数的功能与函数的功能与sym函数类似。但函数类似。但syms函数可以在一个函数可以在一个 语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为：语句中同时定义多个符号变量，其一般格式为： syms arg1 arg2 argN 将将 arg1, arg2, argN 定义为符

6、号变量。定义为符号变量。 例如：例如： syms a b c d x y 使用方便、书写简洁、意义清楚，一般提倡使用使用方便、书写简洁、意义清楚，一般提倡使用syms创建创建 符号变量。符号变量。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 （二）（二） 定义符号表达式定义符号表达式 符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等 组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。组成。符号表达式的书写格式与数值表达式相同。 有三种定义方法：有三种定义方法： 用用symsym函数定义函数定义 用用symssyms函数定义函数定义( (用已定义的符号变量组用已定义的符号

7、变量组 成符号表达式成符号表达式) ) 1.1. 用单引号定义用单引号定义 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 f1=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6) f1 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 syms x y （必须先定义（必须先定义 x y ) f2=3*x2-5*y+2*x*y+6 f2 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 f3=3*x2-5*y+2*x*y+6 f3 = 3*x2-5*y+2*x*y+6 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 例如，将数学表达式例如，将数学表达式 定义为符号表达式定义为符号表达式 y= 1+sqrt(5*x)/2 y = 1+sq

8、r(5*x)/2 f=sym(1+sqrt(5*x)/2) f = 1+sqrt(5*x)/2 syms x v=1+sqrt(5*x)/2 v = 1+1/2*5(1/2)*x(1/2) 2 51x MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 （三）定义符号矩阵（三）定义符号矩阵 使用使用symsym和和symssyms函数可以创建符号矩阵，可以函数可以创建符号矩阵，可以 直接输入或从数值矩阵转换。直接输入或从数值矩阵转换。 例例2：创建一个符号矩阵两种方法：创建一个符号矩阵两种方法 m=sym(a,b;c ,d) m = a, b c, d syms a b c d n= a, b ;c ,

9、d n = a, b c, d 注意：注意： 符号矩阵与普通矩阵的区别：符号矩阵与普通矩阵的区别： 命令窗口的显示形式不同；命令窗口的显示形式不同； 工作空间窗口显示的变量图标不工作空间窗口显示的变量图标不 同。同。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 建立符号矩阵建立符号矩阵 Z=sym( a3-b3,sin(alp)2+cos(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78); Z = a3-b3, sin(alp)2+cos(alp)2 (15*x*y-3*x2)/(x-5*y), 78 syms a b x y alp Z1= a3-b3,sin(alp)2+cos

10、(alp)2;(15*x*y-3*x2)/(x-5*y),78 Z1 = a3-b3, sin(alp)2+cos(alp)2 (15*x*y-3*x2)/(x-5*y), 78 78 5 315 cossin 2 2233 yx xxy ba z MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 （四）符号表达式中符号（四）符号表达式中符号变量变量的确定的确定 在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表前面的字母在数学表达式中，一般习惯于使用排在字母表前面的字母 作为变量的系数（常数），而用排在后面的字母（如作为变量的系数（常数），而用排在后面的字母（如x,y,zx,y,z） 表示变量。例如：表示变量

11、。例如： f=axf=ax2 2+bx+c+bx+c 表达式中，将表达式中，将x x看作自变量，看作自变量，a,b,ca,b,c通常被认为是常数，用通常被认为是常数，用 作变量的系数。作变量的系数。 i,j 通常表示虚数单位，在符号运算中不能用作自变量通常表示虚数单位，在符号运算中不能用作自变量 在在MATLABMATLAB中中引用符号表达式时，有符号常量和符号变量，如何确定谁引用符号表达式时，有符号常量和符号变量，如何确定谁 是符号自变量呢？可以由用户可以指定；若用户没有指定符号变量，则自是符号自变量呢？可以由用户可以指定；若用户没有指定符号变量，则自 动使用动使用findsym函数默认的变

12、量作为函数的变量参数。函数默认的变量作为函数的变量参数。 findsym函数的函数的原则为：自变量为在字母顺序排列的位置上最接近原则为：自变量为在字母顺序排列的位置上最接近x的的小写小写 字母（除了字母（除了i和和j之外）。如果式子中没有上述字母，则之外）。如果式子中没有上述字母，则x会被视为默认的自会被视为默认的自 变量。如下表：变量。如下表： MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 符号表达式符号表达式 默认自变量默认自变量 a*x2+b*x+c x 1/(4+cos(t) t 4*x/y x 2*a+b b 2*i+4*j x MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 查询符号表达式的

13、默认自变量查询符号表达式的默认自变量 findsym函数可以查询表达式中使用的符号变量个数及变函数可以查询表达式中使用的符号变量个数及变 量名。量名。 引用格式为：引用格式为： findsym（ f, n） 说明：说明：f 为用户定义的符号函数，为用户定义的符号函数， n为正整数，表示查询变量的个数。为正整数，表示查询变量的个数。 n值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。值省略时表示查询符号函数中全部系统默认变量。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例例3 】查询符号函数】查询符号函数 中的系统默认变量。中的系统默认变量。 syms a b n t x % 定义符号变量定义符号

14、变量 f=a*xn+b*t; % 给定符号表达式给定符号表达式 findsym(f,1) % 在在f函数中查询函数中查询1个系统默认变量个系统默认变量 ans= x 表示表示f函数中查询的函数中查询的1个系统默认变量为个系统默认变量为x。 findsym(f,2) ans= x, t findsym(f,5) ans= x, t,n,b,a 以最接近以最接近x顺序排列的顺序排列的5个默认自变量个默认自变量 findsym(f) ans= a,b,n,t,x 返回返回 f表达式中按字母顺序排列的全部自变量表达式中按字母顺序排列的全部自变量 btaxf n MATLAB的符号运算-符号对象的 创建

15、 5.2 基本的符号运算基本的符号运算 符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算 2. 2. 符号表达式的因式分解、展开、分式符号表达式的因式分解、展开、分式 通分通分 3. 3. 符号表达式的化简符号表达式的化简 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 1. 1. 符号表达式的四则运算符号表达式的四则运算 symadd（f1,f2) f1+f2 symsub （f1,f2) f1-f2 symmul （f1,f2) f1*f2 symdiv （f1,f2) f1/f2 sympow （f1,f2) f1f2 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 f=2*x2+3*x-5 g=x2-x+

16、7 symadd(f,g) ans = 3*x2+2*x+2 symsub(f,g) ans = x2+4*x-12 symmul(f,g) ans = (2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f,g) ans = (2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) sympow(f,3*x) ans =(2*x2+3*x-5)(3*x) MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 2. 2. 符号表达式的因式分解、展开、分式通分符号表达式的因式分解、展开、分式通分 因式分解函数为因式分解函数为 factorfactor 调用格式为：调用格式为： factor(s) factor(s)

17、 举例举例 符号表达式的展开符号表达式的展开 函数为函数为 expand 调用格式为：调用格式为：expand (s) 举例举例 同类项合并函数为同类项合并函数为 collect 调用格式为：调用格式为： collect(s,n) 举例举例 S为符号表达式，为符号表达式，n为要合并系数的自变量为要合并系数的自变量 符号表达式的分式通分函数为符号表达式的分式通分函数为 numden 调用格式为：调用格式为： n,d=numden(s) 举例举例 n 为通分后的分子，为通分后的分子，d为分母为分母 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 3. 3. 符号表达式的化简符号表达式的化简 表达式的化简

18、函数为表达式的化简函数为 simple、simplify 调用格式为调用格式为： simplify (s) 使用使用Maple的化简规则化简函数的化简规则化简函数 r,how=simple (s) 用多种方法寻找符号表达式用多种方法寻找符号表达式s 的最简型，的最简型， r为返回的化简形式，为返回的化简形式， how为化简过程使用的主要为化简过程使用的主要 方法方法 举例举例 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例例1】 对表达式对表达式 进行因式分解进行因式分解 syms x f=factor(x9-1) f= (x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1) pretty(f) %

19、按照类似书写习惯的方式显示按照类似书写习惯的方式显示 (x-1) (x2+x+1) (x6+x3+1) 【例例2】 对大整数对大整数123456789进行因式分解进行因式分解 factor(sym (123456789) 1 9 xf MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例例3】 展开表达式展开表达式 和和 syms x y f=(x+1)5; expand(f) ans= x5+5*x4+10*x3+10*x2+5*x+1 f=sin(x+y); expand(f) ans= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) 5 ) 1( xf)sin(yxf MATLAB的符

20、号运算-符号对象的 创建 【例例4】 对表达式对表达式 分别将分别将 自变量自变量x和和t的同类项合并的同类项合并 syms x t f=x*(x*(x-6)+12)*t; collect(f) ans= t*x3-6*t*x2+12*t*x collect(f,t) ans= x*(x*(x-6)+12)*t txxxf)12)6( MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例例5】 对表达式对表达式 进行通分进行通分 syms x y f=x/y+y/x; n,d=numden(f) n= x2+y2 d= y*x x y y x f MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例6

21、 6】对表达式对表达式 进行化简进行化简 syms x f=sin(x)2+cos(x)2; simplify(f) simplify(f) ans= ans= 1 1 【例【例7 7】将表达式将表达式 用嵌套形式表示。用嵌套形式表示。 syms x horner(x3-6*x2+11*x-6) ans = -6+(11+(-6+x)*x)*x )(cos)(sin 22 xxf 6116 23 xxxf MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 2. 2. 符号表达式的替换符号表达式的替换 通过符号替换使表达式的输出形式简化，得到一个简单通过符号替换使表达式的输出形式简化，得到一个简单 的表

22、达式的表达式 符号表达式的替换函数有：符号表达式的替换函数有：subexpr subexpr 、 subssubs 调用格式：调用格式： y,sigma=subexpr(s,sigma)y,sigma=subexpr(s,sigma) 用变量用变量sigmasigma的值替换表达式的值替换表达式s s中重复出现的字符串，中重复出现的字符串，y y 返回替换后的结果。返回替换后的结果。 调用格式：调用格式： r=subs(s,old,new) r=subs(s,old,new) 举例举例 用新的符号变量用新的符号变量newnew代替表达式代替表达式s s中的变量中的变量oldold，r r为返回

23、为返回 替换后的结果。替换后的结果。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例8 8】分别用新变量替换表达式】分别用新变量替换表达式 a+b a+b 和表达式和表达式 中的变量中的变量 syms a b subs(a+b,a,5) ans= 5+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) ans= cos(alpha)+sin(2) )sin()cos(baf MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 1. 符号极限符号极限 函数函数limit用于求符号函数用于求符号函数f的极限。系统可以的极限。系统可以 根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值

24、根据用户要求，计算变量从不同方向趋近于指定值 的极限值。该函数的格式及功能：的极限值。该函数的格式及功能： 5.3 符号微积分符号微积分 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 limit(f,x,a)：求符号函数求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量的极限值。即计算当变量x 趋近于常数趋近于常数a时，时， f(x)函数的极限值。函数的极限值。 limit(f,a)：求符号函数求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符的极限值。由于没有指定符 号函数号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为的变量为 函数函数findsym(f)确定的

25、默认自变量，即变量确定的默认自变量，即变量x趋近于趋近于a。 limit(f)：求符号函数求符号函数f(x)的极限值。符号函数的极限值。符号函数f(x)的变量的变量 为函数为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，确定的默认变量；没有指定变量的目标值时， 系统默认变量趋近于系统默认变量趋近于0，即，即a=0的情况。的情况。 limit(f,x,a,right)：求符号函数求符号函数f的极限值。的极限值。right表表 示变量示变量x从右边趋近于从右边趋近于a。 limit(f,x,a,left)：求符号函数求符号函数f的极限值。的极限值。left表示变表示变 量量x从左

26、边趋近于从左边趋近于a。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例1 1】求极限求极限 syms xsyms x； % %定义符号变量定义符号变量 f=(xf=(x* *(exp(sin(x)+1)-2(exp(sin(x)+1)-2* *(exp(tan(x)-1)/sin(x)3(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； % %确定符号表达式确定符号表达式 w=limit(f) %w=limit(f) %求函数的极限求函数的极限 x eex tgxx x 3 sin 0 sin ) 1(2) 1( lim w = -1/2w = -1/2 MATLAB的符号运算-符号对象的

27、创建 符号微分符号微分 diff函数用于对符号表达式求微分。该函数的一般引用格式函数用于对符号表达式求微分。该函数的一般引用格式 为：为： diff(s,v,n) 其中：其中：s s为符号表达式，为符号表达式，n n为正整数，为正整数，v v为变量为变量。 说明：说明： diff（s，v，n）或）或diff（s，n，v）求符号表达式）求符号表达式s对于自变对于自变 量量v求求n阶微分。阶微分。 diff（s）求符号表达式）求符号表达式s对于默认自变量的一阶微分。对于默认自变量的一阶微分。 diff（s，v）求符号表达式）求符号表达式s对于自变量对于自变量v的一阶微分。的一阶微分。 diff（s

28、，n）求符号表达式）求符号表达式s对于默认自变量求对于默认自变量求n阶微分。阶微分。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例2】求下列函数：】求下列函数： f=xx的导数和的导数和3次导数次导数 syms x %定义符号变量定义符号变量 f=xx diff(f) diff(f,3) MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 3符号积分符号积分 函数函数int可以实现符号表达式的积分。其引可以实现符号表达式的积分。其引 用格式为：用格式为： int（s ，v，a，b) a、b表示定积分运算的下限和上限表示定积分运算的下限和上限。 int（s,v,a,b）求符号表达式）求符号表达式s对

29、于自变量对于自变量v从从a到到b的定积分。的定积分。 int（s,a,b） 求符号表达式求符号表达式s对于默认自变量从对于默认自变量从a到到b的定积分。的定积分。 int（s） 求符号表达式求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。对于默认自变量的不定积分。 int（s,v） 求符号表达式求符号表达式s对于自变量对于自变量v 的不定积分。的不定积分。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例3 3】求下述积分。】求下述积分。 求积分：求积分： syms x int(1/(1+x2) ans = atan(x) dx x 2 1 1 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例4

30、4】定义一个符号函数定义一个符号函数 fxy=fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分别求，分别求 该函数对该函数对x、y的导数和对的导数和对x的积分。的积分。 syms a b c x y %定义符号变量定义符号变量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2； %生成符号函数生成符号函数 diff(fxy，x) %符号函数符号函数fxy对对x求导数求导数 ans =2*a*x/c2 diff(fxy， y) %符号函数符号函数fxy对对y求导数求导数 ans =2*b*y/c2 int(fxy， x) %符号函数符号函数fxy对对x求积分求积分 ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2

31、*x) MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 4. 符号求和符号求和(级数求和级数求和) 表达式求和（级数求和）运算是数学中常见的一表达式求和（级数求和）运算是数学中常见的一 种运算。种运算。 函数函数symsum可以实现表达式求和。该函数的引用时，应可以实现表达式求和。该函数的引用时，应 确定级数的通项式确定级数的通项式s，变量的变化范围，变量的变化范围a和和b。该函数的引用格。该函数的引用格 式为：式为： symsum(s, a,b) MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例5 5】求级数的和】求级数的和: : 1/1 12 2+1/2+1/22 2+1/3+1/32 2+1

32、/4+1/42 2+ + 找出通项式：找出通项式： syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值为值为1到无穷大到无穷大 ans = 1/6*pi2 其结果为：其结果为：1/1 12 2+1/2+1/22 2+1/3+1/32 2+1/4+1/42 2+ =+ = 2/6 1 2 1 k k 思考： 1k k 10 0 2 1 k k MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 5. Taylor级数展开级数展开 Taylor级数展开由函数级数展开由函数taylor实现。其调用格式为：实现。其调用格式为： taylor(f): 计算表达式计算表达式f在默认自变量等于在默认自变量等于

33、0处的处的5阶阶Taylor级级 数展开式。数展开式。 taylor(f,n,v): 计算表达式计算表达式f在默认自变量在默认自变量v=0处的处的n-1阶阶Taylor 级数展开式。级数展开式。 taylor(f,n,v,a): 计算表达式计算表达式f在默认自变量在默认自变量v=a处的处的n-1阶阶 Taylor级数展开式。级数展开式。 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例6 6】求表达式】求表达式 的的5 5阶阶 TaylorTaylor级数展开式级数展开式 syms xsyms x f=1/(5+cos(x)f=1/(5+cos(x) r=taylor(f)r=taylor(

34、f) r=r= 1/6+1/721/6+1/72* *x2x2 )cos(5 1 x f MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 解代数方程（组）的函数为解代数方程（组）的函数为solvesolve 格式为：格式为： solve(expr) solve(expr) solve(expr,var) solve(expr,var) solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) solve(expr1,expr2,.,exprN) solve(expr1,expr2,.,e

35、xprN) expr1,expr2,.,exprNexpr1,expr2,.,exprN为代数方程组，为代数方程组，var1,var2,.varNvar1,var2,.varN为未知数（自变为未知数（自变 量）。量）。 说明：说明： 若不指明符号表达式若不指明符号表达式expr1,expr2,.,exprNexpr1,expr2,.,exprN的值，系统默认为的值，系统默认为0 0。例如给。例如给 出一个表达式出一个表达式x2-3x2-3* *x-8,x-8,则系统将按则系统将按x2-3x2-3* *x-8=0 x-8=0进行运算；故应将等号右进行运算；故应将等号右 侧的数值移过来。侧的数值移

36、过来。 5.4 符号方程的求解 1. 1. 代数方程求解代数方程求解 MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例7 7】解代数方程：】解代数方程：a a* *x x2 2-b-b* *x-6=0 x-6=0 syms a b xsyms a b x solve(asolve(a* *x2-bx2-b* *x-6) x-6) solve(asolve(a* *x2-bx2-b* *x x6) 6) ans =ans = 1/2/a 1/2/a* *(b+(b2+24(b+(b2+24* *a)(1/2)a)(1/2) 1/2/a 1/2/a* *(b-(b2+24(b-(b2+24* *a)(1/2)a)(1/2) 即该方程有两个根即该方程有两个根: : x x1 1=1/2/a=1/2/a* *(b+(b2+24(b+(b2+24* *a)(1/2)a)(1/2)； x x2 2=1/2/a=1/2/a* *(b-(b2+24(b-(b2+24* *a)(1/2) a)(1/2) MATLAB的符号运算-符号对象的 创建 【例【例8 8】求解代数方程组求解代数方程组 042