第四章 图形知识

1、第四章第四章 图形知识图形知识 第十六届华罗庚少年数学邀请赛第十六届华罗庚少年数学邀请赛 第第1 1节节 简单平面图形简单平面图形 1.基本图形及其表示基本图形及其表示 基本基本 图形图形 图例图例 表示表示 方法方法 点点直线直线射线射线线段线段圆弧圆弧圆圆 A AB a BA AB A B A 2.简单的平面图形简单的平面图形 1.角角 2.平行直线平行直线 3.三角形三角形 4.四边形四边形 5.多边形多边形 6.扇形扇形 （1）（）（2）（）（3） 例例1 、下面是、下面是4个结论：个结论： 其中不正确结论的编号是（其中不正确结论的编号是（ ） （）两条直线平行，则分别位于这两条直线上

2、的任意两（）两条直线平行，则分别位于这两条直线上的任意两 条线段平行。条线段平行。 （1）平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角；）平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角； 角有顶点，直线无顶点，所以直线不是角角有顶点，直线无顶点，所以直线不是角 （）周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角；（）周角的两条边在一条射线上，所以射线是一个周角； 周角是两条重合的射线，所以射线不是周角周角是两条重合的射线，所以射线不是周角 （）两条线段不相交，就一定是平行的线段；（）两条线段不相交，就一定是平行的线段； 两条线段不相交但其所在直线有可能相交两条线段不相交但其所在直线有可能相交 正确

3、正确 0个交点个交点 1个交点个交点3个交点个交点 4个交点个交点5个交点个交点6个交点个交点 例例3、下面的表情中，没有对称轴的个数为（、下面的表情中，没有对称轴的个数为（ ） 例、下图例、下图a是一个六个侧面分别标记字母的正方体，图是一个六个侧面分别标记字母的正方体，图b是这个正是这个正 方体的侧面展开图，其中阴影的侧面标记的字母应当是（方体的侧面展开图，其中阴影的侧面标记的字母应当是（ ） fbd b fb c a (a) a 例例5、图是一个五角星切去、图是一个五角星切去5个星角后得到的图形，个星角后得到的图形， 共有共有10个内角个内角a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，它，它

4、们的度数和是（们的度数和是（ ）度。）度。 ab c d e f g h i j A B CD E A B CD E 10180+180-5180=6180=1080（度）（度） 例例5 下图是一个五角星切去下图是一个五角星切去5个星角后得到的图形，共有个星角后得到的图形，共有 10个内角个内角a,b,c,d,e,f,g,h,I,j,它们的度数是（它们的度数是（ ）多少度？）多少度？ ab c d e f g h i j 图中五个四边形的内角和：图中五个四边形的内角和： 3605=1800 中间五边形的内角和：中间五边形的内角和： 180（5-2）=540 图中标注的五角的和：图中标注的五角的

5、和： 1805-540=360 10个内角的和个内角的和= 1800-3602=1080 例例 为长方形外一点，并且已知长方形为长方形外一点，并且已知长方形 的面积为平方厘米，问：灰色三角形的面的面积为平方厘米，问：灰色三角形的面 积是多少平方厘米？积是多少平方厘米？ P A BC D P A BC D 灰色灰色APD的面积的面积=灰色灰色ADE的面积的面积 E =20084=502（平方厘米）（平方厘米） 例、两条直线相交，四个交角中的一例、两条直线相交，四个交角中的一 个锐角或一个直角称为这两条直线的个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹夹 角角”。现在平面上有若干条直线，它们两两。现在平面

6、上有若干条直线，它们两两 相交，并且相交，并且“夹角夹角”只能是只能是30度，或者度，或者60度，度， 或者或者90度时，问：平面上最多有多少条直线？度时，问：平面上最多有多少条直线？ 当直线条数最多时，所有当直线条数最多时，所有“夹角夹角”的和是多的和是多 少？少？ 平面上最多平面上最多6条直线条直线 l l 二二 三三 四四 五五 六六 逆向第二六条与逆向第二六条与 l l 的的“夹角夹角”和为：和为： 30 + 60 + 90 + 60 + 30 = 270 逆向第三六条与第二条的逆向第三六条与第二条的“夹角夹角”和为：和为： 30 + 60 + 90 + 60 = 240 逆向第四六条

7、与第三条的逆向第四六条与第三条的“夹角夹角”和为：和为： 30 + 60 + 90 = 180 逆向第五、六条与第四条的逆向第五、六条与第四条的“夹角夹角”和为：和为：30 + 60 = 90 第六条与第五条的第六条与第五条的“夹角夹角”为：为：30 最多六条的所有夹角和为：最多六条的所有夹角和为：270 + 240 + 180 + 90 + 30 = 810 例、下图中小正方形的面积都是，例、下图中小正方形的面积都是， 问图中共有多少个三角形？它们的总面积是问图中共有多少个三角形？它们的总面积是 多少？多少？ 面积面积个数个数 面积合计 面积合计 2 1 2 9 7236 3737 3060

8、 416 1045 216 155210总计总计 例图中的小正方形的面积都是，问图中共有多少个例图中的小正方形的面积都是，问图中共有多少个 三角形？它们的面积是多少？三角形？它们的面积是多少？ 72个个 1 2个个 面积面积 个数个数 2 1 37个个 230个个 44个个 2 9 10个个 8 三角形总个数三角形总个数= 三角形总面积三角形总面积=2102810 2 9 4430237172 2 1 72+37+30+4+10+2=155（个）（个） 例例9、 以直线以直线a为对称轴，为对称轴，ABAP，ABPAPB 70度，度，APA10度，以度，以A、A、B、B、P为顶点的三为顶点的三

9、角形中，有多少个锐角三角形？角形中，有多少个锐角三角形？ A B P A B l 例例10、对于某些自然数、对于某些自然数n,可以用可以用n个大小相同的等边三角形拼个大小相同的等边三角形拼 成内角都为成内角都为120度的六边形度的六边形.例如例如, n=10时就可以拼出这样的六边形时就可以拼出这样的六边形, 见图见图(1).请从小到大请从小到大,求出前求出前10个这样的个这样的n. 610182226 . 101316192225 14 . 24 第四章第四章 图形知识图形知识 第十六届华罗庚少年数学邀请赛第十六届华罗庚少年数学邀请赛 第第2 2节节 平面几何图形的度量平面几何图形的度量 例例

10、1、下图是一个面积等于平方厘米的正方形，、下图是一个面积等于平方厘米的正方形， 线段线段AB和和CD平行于正方形的对角线，并且将正方形平分平行于正方形的对角线，并且将正方形平分 为三部分，为三部分，AB等于（等于（ ）厘米。）厘米。 A B C D 483=16（平方厘米） 64=88 8 164=64（平方厘米） 例例2、下图三角形、下图三角形ABC中，点中，点D在在BC上，且上，且 ABC=ACB，ADC=DAC， DAB=21度，则度，则 ABC的度数是（的度数是（ ）。）。 A B C D 解：设ABC=x度， x+21+21+x+x=180 x=46 46 例例3、下图是一个正十二边

11、形，每条边长为、下图是一个正十二边形，每条边长为1厘米，厘米， 图中白色部分是图中白色部分是12个边长等于个边长等于1的等边三角形，则图中阴的等边三角形，则图中阴 影部分的面积是多少平方厘米？影部分的面积是多少平方厘米？ (有误有误) 思考：思考： 下图中下图中AB=CD，ABC=40度，度，BAC=30度度 求求BDA的大小。的大小。 A BCD B 四边形四边形ABCD是等腰梯形是等腰梯形 BDA= CAD BDA =70 CDA =40 例例4、下图中，正方形的面积是、下图中，正方形的面积是18，则图中阴影图形，则图中阴影图形 的周长等于（的周长等于（ ）（取）（取=3.14） 阴影的周

12、长等于：阴影的周长等于： 3.146+3.14624+62 =40.26 40.26 正方形的对角线长正方形的对角线长= 6 AB 例、如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线例、如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线 上，弦上，弦AB与小半圆相切，且与直径平行，弦与小半圆相切，且与直径平行，弦AB长长12厘米。厘米。 求图中阴影部分的面积（圆周率求图中阴影部分的面积（圆周率3.14）。）。 A B O Rr 阴影面积阴影面积=3.14（R2-r2）2 =3.14（122）22 =56.52（平方厘米）（平方厘米） 例例6、在下图中，正方形的面积是，是、在下图中，正方形的面积是，是 的中点。

13、求图中阴影部分的面积。的中点。求图中阴影部分的面积。 与与的面积比是的面积比是2 1。 阴影部分的面积是：阴影部分的面积是： 3 1 2 3 2 4 1 思考：思考： A B D C E F 下图中下图中CE=2EA，AF=FD，三角形，三角形ABC的面积是的面积是12 平方厘米，求四边形平方厘米，求四边形DCEF的面积。的面积。 连接，设三角形连接，设三角形AEF的面积为的面积为“1”. 1 2 3 x x x+2+3=(x+1) 2 x=3 四边形四边形DCEF的面积的面积=5 例例7、下图为一个长方形，其中、下图为一个长方形，其中AE ED=9 5， BF FC=7 4，问涂红色的两个图

14、形的面积和涂蓝色的，问涂红色的两个图形的面积和涂蓝色的 两块的面积相比较，哪个大？说明理由。两块的面积相比较，哪个大？说明理由。 A B C D E F 14 9 11 7 红色的两个图形的面积大。红色的两个图形的面积大。 例例8、下图中，为三角形、下图中，为三角形ABC边上的点，边上的点，CE 与与BF相交与相交与P。已知三角形。已知三角形PBC的面积为的面积为12，且三角形，且三角形 EBP，三角形，三角形FPC及四边形及四边形AEPF的面积都相同，求三角的面积都相同，求三角 形形EBP的面积。的面积。 A B C E F P 解：连接解：连接AP，设，设EBP的面的面 积为积为x，APF

15、的面积为的面积为y, 则有则有x y=(12+x) 2x =x （x-y） 解之得解之得 x=2y那么（那么（12+x） 2x=x y=2 1 得得 x=4 即即x y=x （x-y） 由（由（12+x） 2x=2 1 例、下图中，三角形ABC是等腰直角三 角形，面积为1，BE垂直于AC，AD、BE、CF 交于点O，BOAC，求四边形BDOF的面积。 4 1 三角形ABC是等腰直角三角形， 解：因为BO= 4 1 AC， BE垂直于AC， 所以，BO=OE。 ABO, AOE, BOC, COE面积均为 。 4 1 BD DC=三角形ABO的面积 三角形AOC的面积 =1 2 四边形BDOF

16、的面积是： 6 1 2 3 1 4 1 例例10、下图中的三角形都是等边三角形，、下图中的三角形都是等边三角形， 红色三角形的边长是红色三角形的边长是19，蓝色三角形的边长是，蓝色三角形的边长是 多少？多少？ 解：设最小的等边三角形的边长为x, 第二小 的等边三角形的边长为y,则有 1号边长：xy 号边长：2xy 3号边长：3xy 4号边长：4xy 5号边长：4x或x2y 所以有：4xx2y，即y=1.5x 6号边长：3x2y=6x 红色边长：8xy=9.5x=19, 蓝色边长：10 x=20 所以，x=2 第四章第四章 图形知识图形知识 第十六届华罗庚少年数学邀请赛第十六届华罗庚少年数学邀请

17、赛 第第3 3节节 简单立体图形简单立体图形 表面积体积 长方体S=2(ab+bc+ac)V=abc 正方体S=V= 圆柱S=V= 圆锥S=V = 圆球S=V= 2 6a 3 a rhr22 2 hr 2 rlr 2 2 1 3 r h 2 4 r 3 4 3 r 例例1、用一个平面去截一个长方体，把这个长方体分、用一个平面去截一个长方体，把这个长方体分 为个多面体，其中一个多面体最多有（）个表面。为个多面体，其中一个多面体最多有（）个表面。 例、将一个长、宽、高分别为例、将一个长、宽、高分别为100厘米，厘米，60厘米和厘米和 40厘米的长方体切割为一些体积相等的正方体，最少切厘米的长方体切

18、割为一些体积相等的正方体，最少切 割（割（ ）个正方体。）个正方体。 小正方体的棱长为小正方体的棱长为100，60，40的最大公约数。的最大公约数。 （100，60，40）=20 （10020）（6020）（4020）=30（个）（个） 例例3、下图给出了一个立体图形的正视图，左视图和、下图给出了一个立体图形的正视图，左视图和 俯视图，图中单位为厘米，立体图形的体积为（俯视图，图中单位为厘米，立体图形的体积为（ ） 立方厘米。（立方厘米。（取取3.14） 2 左视图左视图 2 2 1 正视图正视图 6.28 俯视图俯视图 2 3.1412（1+2）- 3.141222 =6.28（立方厘米）（

19、立方厘米） 例例4、空心圆柱底面圆环的外径和内径之比为、空心圆柱底面圆环的外径和内径之比为2 1， 若保持内径不变，外径扩大成内径的若保持内径不变，外径扩大成内径的3倍，则扩大后的倍，则扩大后的 空心圆柱的体积是原来体积的（空心圆柱的体积是原来体积的（ ）倍。）倍。 2 4 6 2 扩大前体积扩大前体积=hh3)12( 22 扩大后体积扩大后体积=hh8)13( 22 3 8 体积的扩大前体积是倍扩大后 例例5、一个直圆柱形状的玻璃杯如图所示，一个长为、一个直圆柱形状的玻璃杯如图所示，一个长为 12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯 内

20、。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可 露出上底面边缘露出上底面边缘2厘米，最多能露出厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃厘米。则这个玻璃 杯的容积为（）立方厘米。（杯的容积为（）立方厘米。（取取3.14） 玻璃杯高玻璃杯高124=8（厘米）（厘米） 底面直径的平方：（底面直径的平方：（122）8 =36 底面直径：底面直径：6厘米，半径厘米，半径3厘米厘米 容积：容积：3.143 8=226.08（立方厘米）（立方厘米） 2 226.08 例例6、下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和、下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和 两个

21、长方形组成，总面积是两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是，圆柱底面半径是r。用。用a，r 和圆周率和圆周率所表示的这半个圆柱的体积。所表示的这半个圆柱的体积。 解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h，则有，则有 a=r +rh+2rh 2 h= a r r（） 2 a r r（） 2 2 1 r 2 r(a r ) （） 2 例、用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明例、用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明 正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和左视图，如图正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和左视图，如图 所示。所堆的立体的体积最少是多少？所示。所堆的立体的体积最少是多少？ 正视图正

22、视图俯视图俯视图左视图左视图 2 242 2 18个个 思考:用若干块单位正方体积木堆成一个 立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、 俯视图和左视图，如图所示。所堆的立体的体 积最少是多少？ 3 3 3 11 1 11 俯视图正视图左视图 例例8、一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方、一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方 体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正 方体的棱长为方体的棱长为8厘米，侧面上的洞口是边长为厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正厘米的正 方形，上下侧面的洞口是直径为方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆

23、，求图示立体厘米的圆，求图示立体 的表面积和体积。的表面积和体积。 888=512（立方厘米） 448+44（8-4）=192（立方厘米） 42=2（厘米），8-4=4（厘米） 3.142 4=50.24（立方厘米） 2 512-192-50.24=269.76（立方厘米） 原表面积： 挖出物体的表面积： 2416 原物体表面上少的面积： 444+3.14（42）2 2 所求表面积： 384-89.12+185.12=480（平方厘米） 886=384（平方厘米） =185.12（平方厘米） =89.12（平方厘米） +（44-3.1422）2 +3.14422 例例9、下图（、下图（1）与图

24、（）与图（2）分别是立体）分别是立体A和立体和立体B的的 表面展开图，图（表面展开图，图（1）的外层的）的外层的3 个三角形都是等腰直角个三角形都是等腰直角 三角形，直角边边长等于三角形，直角边边长等于a，图（，图（2）是由）是由2个直角梯形，个直角梯形， 3个长方形和个长方形和1个正方形组成，它们的大小如图中所表示，个正方形组成，它们的大小如图中所表示， 求立体求立体A的体积与立体的体积与立体B的体积比。的体积比。 3a 2a a a a a a a (2) a (1) 例例10、棱长为、棱长为1的小正方体的小正方体125个组成棱长为个组成棱长为5的大正的大正 方体，方体，P是正方形是正方形

25、ABCD的中心，用分别经过的中心，用分别经过PEF、PFG、 PGH、PHE四个三角形的四个平面同时切开这个大正方四个三角形的四个平面同时切开这个大正方 体，共切割了多少个小正方体？体，共切割了多少个小正方体？ 2525545(个个) 452-44-1=73(个个) 答答:共切割了共切割了73个小正方体个小正方体. 、如下图，地板由4个同样大小的正六 边形拼成。每个正六边形砖的面积是6。图 中三角形ABC的面积是（）。 、19 B、17C、15D、13 11.在下图中,BC CD=3 2,EA=2DE,三角形ABF 的面积是3,则阴影四边形DEFC的面积是( ). A B C D E F 3

26、2 1.5 19 15 15、如图，阴影正方形的顶点分别是正方 形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的 一半为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形 的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”， 这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米。大正方 形EFGH的面积是多少平方厘米？ 解:如图连接AB，CD相交于O. 容易由勾股定理 和半圆面积公式得，三角形ACH的面积，即三角形 AOC的面积，等于AH，HC上两个“月牙形”的面积之 和. 因此，这8个“月牙形”的总面积等于正方形ACBD 的面积.由于这8个“月牙形”的总面积为5平方厘米， 而正方形EFGH的面积为正方形ACBD的面积的2倍， 所以正方形

27、EFGH的面积等于10平方厘米. a a c a +a =c 222 16、一个正方体的每个顶点都有三条棱，以 其为顶点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方 体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下的 部分的体积和正方体体积的比是多少？ 18、将一些边长是1的小正方体码放成一个 立体，从上面看如图1，从正面看如图2，这个 立体的体积最多是多少？ 图1 图2 2 2 2 2 2 1 1 1 19、如图是由9个等边三角形拼成的六边 形，已知中间最小的等边三角形的边长是1。 这个六边形的周长是多少。 x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 x+3 20.下图中,涂阴影部分的小的正六角星形的面 积是

28、16平方厘米.问大正六角星形的面积是多少平 方厘米? 解:1612(12+46)=48(平方厘米) 21、如图,将圆周十等分,每间隔两个点,用线段连 接两个等分点,共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构 成各种几何图形请回答，图中共有多少个四边形？ 解： 答:图中共有45个四边形. +1010+10 +10 +5 =45 22、下图是正五边形，边长是10厘米， 它的5个顶点分别是图中5个扇形的圆心，问 阴影部分的周长等于多少厘米？（取3.14 精确到0.1厘米） 解:(52) 1805=108(度) 60+60-108=12(度) 310.5(厘米) 答:阴影部分的周长等

29、于10.5厘米. 23、下图是由16个面积为1的等边三角形组成的一 个大的等边三角形，这个大的等边三角形内部及边上 共有15个交叉点. 请回答： （1）以这些交叉点为顶点，可以连成多少个等边 三角形？ （2）所连成的全部等边三角形的面积的总和是多少？ 解:面积是1的等边三角形有16个； 面积是4的等边三角形有7个； 面积是9的等边三角形有3个； 面积是16的等边三角形有1个。 面积是3的等边三角形共有6个; 面积是7的等边三角形共有2个. 连成的等边三角形总计有: 16 + 7 + 3 + 1 + 6 + 2 = 35个. 所连成的全部等边三角形面积的总和等于: 1 164793 16 13

30、672119 . 26、如图ABCD是边长为1的正方形，E、 F、G、H分别是线段AB、BC、CD、DA的中 点，计算图中八边形的面积。 27、如图所示，正方体由125个棱长为1厘米 的小正方体组成，将阴影部分打通。求余下多少 个小正方体，余下的立体的表面积是多少平方厘 米？ 勾股定理 例例1.智能机器猫从平面上的智能机器猫从平面上的O点出发点出发. 按下列规律按下列规律 行走：由行走：由O向东走向东走12cm到到A1，由，由A1向北走向北走24cm到到A2， 由由A2向西走向西走36cm到到A3，由，由A3向南走向南走48cm到到A4，由，由A4 向东走向东走60cm到到A5，问：智能机器猫

31、到达的问：智能机器猫到达的A6点点 与与O点的距离是多少厘米？点的距离是多少厘米？ 解：依规律第六次由解：依规律第六次由A5向北向北 走走72cm到到A6. A6P = 72 ( 4824) = 48， 由勾股定理得由勾股定理得 22222 66 3648OAOPPA 即即 OA6 =60cm. OP = 60 36 12 = 36， 例2.梯形ABCD中,对角线AC垂直于BD,已知AC长6 厘米，上底AD长3厘米,下底BC长7厘米,求BD的长. F 长方形纸片ABCD中，AB=8厘米，将纸片 折叠使顶点D落在边BC的E点上，折痕的一端 G点在边CD上，CG=3厘米，求阴影部分的 面积。 例3

32、 （30平方厘米） 8 3 5 5 4 x 4+x 思考：长方形纸片思考：长方形纸片ABCD，AD=4，AB=3， 将它折叠，使将它折叠，使C点与点与A点重合，求折痕的长度。点重合，求折痕的长度。 0 E F 解解:设设DF长为长为x,则则FC长为长为4-x,依题意得依题意得 x +3 =(4- x) 2 22 解之得解之得,x= 7 8 所以所以,AC=5,OC=2.5 4 +3 =5 , 22 2 因为因为 7 8 OF +2.5 =(4- ) , 22 2 因为因为 所以所以,OF= 15 8 所求折痕长所求折痕长: 15 4 D E 例例4.一个直角三角形两个直角边的平方和等于一个直角三角形两个直角边的平方和等于250 平方厘米，两个直角边的差等于平方厘米，两个直角边的差等于4厘米厘米.求这个直角三角求这个直角三角 形的面积形的面积. 解：一个直角三角形解：一个直角三角形ABC两个直角两个直角 边的平方和等于边的平方和等于250平方厘米平方厘米,如图所示，如图所示， 正方形正方形ACDE的面积是的面积是250平方厘米平方厘米. 所以四个直角三角形的面积等于所以四个直角三角形的面积等于 250 -16 = 234平方厘米平方厘米. 所以红色正方形的面积是所以红色正方形的面积是16平方厘米平方厘米. 因为两个直角边的差等于因为两个直角边的