三重积分的概念及其计算法

1、三重积分的概念及其计算法 三重积分的概念及其计算法三重积分的概念及其计算法 第四节第四节 三重积分的概念及其计算法 复习复习 二重积分的概念二重积分的概念 设函数设函数 f (x,y) 在平面有界闭区域在平面有界闭区域D上有界，上有界， 将将 D 任意分成任意分成 n 个无公共内点的小区域个无公共内点的小区域， i 每个小区域的面积记作每个小区域的面积记作 i ，), 2 , 1(ni 在每个小区域上任意取一点在每个小区域上任意取一点， iiii yxP ),( 作和式作和式， n i iii yxf 1 ),( ，的的直直径径令令0max 1 i ni 如果上述和式的极限存在，如果上述和式的

2、极限存在， 点点Pi 的取法无关，的取法无关， 并且与区域并且与区域 D 的分法及的分法及 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x,y) 在在 区域区域 D 上的上的二重积分二重积分，记作 记作.),( dyxf D 此时也称函数此时也称函数 f(x, y) 在区域在区域 D 上是可积的上是可积的 即即.),(lim),( 1 0 n i iii D yxfdyxf 三重积分的概念及其计算法 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 1. 定义定义 设函数设函数 f (x,y,z)在空间有界闭区域在空间有界闭区域上有界，上有界， 将将 任意任意 分成分成 n个无公共内点的小区域个无公共内点

3、的小区域 每个小区域的体积记作每个小区域的体积记作 i v ，), 2 , 1(ni 在每个小区域上任意在每个小区域上任意 取一点取一点， iiiii vzyxP ),( ， n i iiii vzyxf 1 ),( ，的的直直径径令令0max 1 i ni v 如果上述和式的极限存在，如果上述和式的极限存在， 并且与区域并且与区域的分法及的分法及 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x,y,z) 在在 记作记作.),(dvzyxf 此时也称函数此时也称函数 f(x,y,z) 在区域在区域 上是可积的上是可积的 ， i v 作和式作和式 点点Pi 的取法无关，的取法无关， 区域区域上的

4、三重积分，上的三重积分， 三重积分的概念及其计算法 dvzyxf),(由定义由定义 iii n i i vzyxf ),(lim 1 0 其中：其中： f (x,y,z) 称为被积函数，称为被积函数， 称为积分区域，称为积分区域， f (x,y,z)dv 称为被积表达式，称为被积表达式， dv 称为体积元素，称为体积元素， 称为称为 iii n i i vzyxf ),( 1 积分和积分和 2. 函数可积的条件函数可积的条件 可以证明：如果可以证明：如果 f (x,y,z) 闭区域闭区域 上连续，上连续， 则则 f (x,y,z) 在在上可积上可积 特别地：如果特别地：如果 f (x,y,z)

5、 1， 则有则有 . Vdv)(的体积的体积为为其中其中 V 三重积分有与二重积分完全类似三重积分有与二重积分完全类似 的性质的性质 三重积分的概念及其计算法 如如果果用用平平行行于于坐坐标标面面在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中， 二、三重积分的直角坐标计算法二、三重积分的直角坐标计算法 . lkji zyxv 则则 故在空间直角坐标系下体积元素为：故在空间直角坐标系下体积元素为： dxdydzdv 从而在直角坐标系下三重积分可表示为从而在直角坐标系下三重积分可表示为 .),(),(dzdxdyzyxfdvzyxf 与二重积分类似，与二重积分类似， 三重积分可化为三次积分三重积分可化为三次

6、积分 ，的平面来划分的平面来划分 进行计算进行计算 三重积分的概念及其计算法 x y z o D 1 z 2 z ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx 面面上上的的投投影影区区域域为为在在设设xoy ，：),( 11 yxzzS 轴的直线，轴的直线，作平行于作平行于过点过点zyx),( ，则则穿穿入入点点的的竖竖坐坐标标为为),( 1 yxz .),(dvzyxf 计算计算 如图如图其中积分区域其中积分区域 ，：bxaD ，)()( 21 xyyxy 设区域设区域 的下、上边界曲面的下、上边界曲面 方程为方程为 ，：),( 22 y

7、xzzS ，上上任任取取一一点点在在),(yxD ，轴正向穿过区域轴正向穿过区域沿沿 z ，穿出点的竖坐标为穿出点的竖坐标为),( 2 yxz 的的函函数数，看看作作看看作作定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, 求积分求积分 ),( ),( 2 1 ),( yxz yxz dzzyxf ),(yxF 三重积分的概念及其计算法 x y z o D 1 z 2 z ),( 1 yxzz ),( 2 yxzz a b )( 1 xyy )( 2 xyy ),(yx .),(dvzyxf 计算计算 ，：bxaD ，)()( 21 xyyxy ),( ),( 2 1 ),(),( yxz yxz

8、 dzzyxfyxF 的的上求上求然后在区域然后在区域),(yxFD 二重积分，二重积分， dvzyxf),(即即 dydxyxF D ),( D yxz yxz dydxdzzyxf ),( ),( 2 1 ),( ),( ),( 2 1 ),( yxz yxz D dzzyxfdydx .),( ),( ),( )( )( 2 1 2 1 yxz yxz b a xy xy dzzyxfdydx 三次积分三次积分 注意积分区域注意积分区域 的特点的特点 三重积分的概念及其计算法 .和和各部分区域上的积分之各部分区域上的积分之 分等于分等于域满足相应条件，原积域满足相应条件，原积若干个区域，

9、使每个区若干个区域，使每个区 分成分成的交点多于两点，可将的交点多于两点，可将的边界曲面的边界曲面区域区域 内部的直线与内部的直线与轴，且穿过区域轴，且穿过区域如果平行于如果平行于 S z 先关于先关于面面投影到投影到可将可将有时，为了方便起见也有时，为了方便起见也(yoz . )()求求积积分分先先关关于于面面或或求求积积分分yzoxx 例如例如 ),( ),( 2 1 ),( zyx zyx D dxzyxfdzdy yz dvzyxf ),( .),( ),( ),( 2 1 xzy xzy D dyzyxfdxdz zx 三重积分的概念及其计算法 例例 1 计算三重积分计算三重积分 z

10、dxdydz, 其中其中为三坐标面为三坐标面 及平面及平面1 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解（一一） x o z y 1 1 1 先关于先关于z 积分积分 为为面上的投影区域面上的投影区域在在 xy Dxoy dzzdxdy xy D dxdyyx xy D 2 )1( 2 1 dyyxdx x 1 0 2 1 0 )1( 2 1 1 0 3 )1( 6 1 dxx. 24 1 dxdydzz 故故 0 yx 1 三重积分的概念及其计算法 解解（二二） z dyzyzdz 1 0 1 0 )1( x o z y 1 1 1 先关于先关于x 积分积分 dxdydzz 为为面面上上的的

11、投投影影区区域域在在 yz Dyoz 故故 dxzdydz zy Dyz 1 0 dydzzyz yz D )1( 1 0 2 )1( 2 1 dzzz. 24 1 三重积分的概念及其计算法 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 x 0 z y zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y=0 , z=0

12、， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y 4 2 zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 6 6 4 2 6 x 0 z y zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y

13、=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 6 6 6 x 0 z y zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 4 2 6 6 6 yx D zzyxfyxI 6 0 )d,(dd . D 0 y x 6 24 D yx y y z

14、zyxfxyI 6 0 3 2 4 3 2 6 0 d),(dd . x 0 z y x+y+z=6 zyxzyxfIddd ),( ：平面平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域. 例例2 将将 化为三次积分，化为三次积分， 三重积分的概念及其计算法 y2=x x y z o 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy 2 0 0 : zyxzyxfIddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 三重积分的概念及其计算法 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 z

15、x,z,yxy 2 0 0 : zx 2 2 2 y2=x x y z o zyxzyxfIddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分 三重积分的概念及其计算法 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy 2 0 0 : zyxzyxfIddd),( 例例3 将将 化为三次积分化为三次积分, z = 0 y=0 2 2 x y z o zzyxfyxI xx d ),(dd 2 00 2 0 。 。 D x zzyxfyxI 2 0 )d,(dd 0 y x 2 xy y2=x D 三重积分的概念及其计算法 例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分

16、， zyxzyxfIddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 三重积分的概念及其计算法 例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， zyxzyxfIddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 三重积分的概念及其计算法 例例4 4 将将 化为三次积分，化为三次积分， zyxzyxfIddd),( 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz 1 1 z =0o z x x+ y=1 y D xy zzyxfyxI 0 )d,(d

17、d zzyxfyx xyx d ),(dd 0 1 0 1 0 z=xy . 三重积分的概念及其计算法 z 三重积分的截面计算法三重积分的截面计算法 )(zFdxdyzyxf z D ),( 即即 .),(),( 2 1 z D c c dxdyzyxfdzdvzyxf 向某轴作投影向某轴作投影把积分区域把积分区域 )1(，轴轴例如例如)(z ；得得投投影影区区间间, 21 cc ，任任取取,)2( 21 ccz 面，面，作平面平行于作平面平行于过点过点xoyz ；得得截截面面截截区区域域 z D 上上计计算算二二重重积积分分在在 z D)3( 2 1 )(,)4( 21 c c dzzFcc

18、上上计计算算定定积积分分最最后后在在 三重积分的概念及其计算法 例例 1 计算三重积分计算三重积分 zdxdydz, 其中其中为三坐标面为三坐标面 及平面及平面1 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域. x o z y 1 1 1 解解（三三） ，轴轴上上任任取取点点在在1 , 0 zz 得得区区域域面面，截截作作平平面面平平行行 xoy ，0, 0,1| ),( yxzyxyxDz z D dxdydzz dzzz 2 1 0 )1( 2 1 z D dxdydzz 1 0 . 24 1 三重积分的概念及其计算法 例例 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2 ，其中是，其中是由由 椭球

19、面椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所成的空间闭区域所成的空间闭区域. x y z o z D 解解 1,| ),( 2 2 2 2 2 2 c z b y a x czczyx c c dzz c z ba 2 2 2 )1( . 15 4 3 abc 三重积分的概念及其计算法 三、三重积分的柱面坐标计算法三、三重积分的柱面坐标计算法 0 x z y M(x,y,z) r N(x,y,0) x y z 设点设点 M(x, y, z) 是空间任一点，是空间任一点， . 故点故点 M(x, y, z) ， r0， 20 . z 且有：且有： r 由图可知直角坐标与柱面坐标

20、的关系：由图可知直角坐标与柱面坐标的关系： 柱面坐标柱面坐标，记作，记作 ,sin cos zz ry rx 可以证明柱面坐标系下的体积元素为：可以证明柱面坐标系下的体积元素为： dzdrdrdv 为常数为常数r 圆柱面；圆柱面； 为常数为常数 半平面；半平面； 为常数为常数z平平 面面 ),(zr 的的称为点称为点有序数组有序数组Mzr),( ),(zrM 三重积分的概念及其计算法 由前面的讨论可知：由前面的讨论可知： 在柱面坐标系下三重积分可表示为在柱面坐标系下三重积分可表示为 .),sin,cos(),(dzdrdrzrrfdvzyxf .),sin,cos( ),( ),( 2 1 d

21、zzrrfrdrd Dxy rz rz ，计计算算例例dvyx )(6 22 . | 222 hz Ryx ：其中其中 解解 dzyxdxdy h h Dxy )( 22 原原式式 dzdrdr h h Dxy 3 h h R dzdrrd 0 3 2 0 . 4 hR 三重积分的概念及其计算法 1 0 x z y Dxy 1 .017 222 zzyxzdxdydzI，：其其中中，例例 解解 ，： 22 10yxz . 1 22 yxDxy： zzyxI xy D yx ddd 22 1 0 zzrr r ddd 2 1 0 1 0 2 0 . 4 三重积分的概念及其计算法 0 x z y

22、1 Dxy 1 zyx yx Iddd 1 1 8 22 例例 所围成所围成及及由由其中其中1 22 zyxz 1 解解 ，：1 22 zyx . 1 22 yxDxy： z r rrI xy D r d 1 1 dd 1 2 1 1 0 2 2 0 dd 1 d r zr r r 1 0 2 2 d 1 2r r rr 1 0 2 )d1 1 1 (2r r r ). 2 22(ln 三重积分的概念及其计算法 解解 ，zyx2 22 所围立体所围立体1在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域D1为：为： ，16 22 yx 82 22 zzyx与与平平面面曲曲面面 1 )( 22 1 dv

23、yxI 1 2 8 2 3 D r dzdrdr ， 3 45 积分区域积分区域 如图，如图， 三重积分的概念及其计算法 ，4 22 yx 2 D 1 D 2 2 2 2 3 D r dzdrdr ， 6 25 21 III 22 22 zzyx与与平平面面曲曲面面 所围立体所围立体2在在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域 D2为：为： 2 )( 22 2 dvyxI .336 6 2 3 4 55 三重积分的概念及其计算法 四、三重积分的球面坐标计算法四、三重积分的球面坐标计算法 0 x z y M(r, , ) r N y x z 空间任一点空间任一点 M 还可用还可用 球面坐标球面坐

24、标 由图可知直角坐标与由图可知直角坐标与 为常数为常数r 为常数为常数 为常数为常数 圆锥面；圆锥面； 球球 面；面； 半平面半平面 ， r0 .20 ， 0且且 ， ， cos sinsin cossin rz ry rx 球面坐标的关系球面坐标的关系: 来来表表示示有有序序数数组组),( r 的的也也称称为为点点 Mr),( 三重积分的概念及其计算法 可以证明球面坐标系下的体积元素为可以证明球面坐标系下的体积元素为: dddrrdvsin 2 从而在球面坐标系下三重积分可表示为从而在球面坐标系下三重积分可表示为 ddrdrrrrf sin)cos,sinsin,cossin( 2 dvzy

25、xf),( .sin),( 2 ddrdrrF ).cos,sinsin,cossin(),( rrrfrF 其其中中 三重积分的概念及其计算法 为三次积分，为三次积分，化三重积分化三重积分例例dvzyxfI ),(10 . 2222 Rzyx ：其其中中 解解一、直角坐标系下一、直角坐标系下 .),( 222 222 22 22 yxR yxR xR xR R R dzzyxfdydxI 二、柱面坐标系下二、柱面坐标系下 .),sin,cos( 22 22 0 2 0 rR rR R dzzrrfdrrdI 三、球面坐标系下三、球面坐标系下 .)cos,sinsin,cossin(sin 0

26、 2 0 2 0 R drrrrrfddI 三重积分的概念及其计算法 例例 11 计计算算 dxdydzyxI)( 22 , 其其中中 是是圆圆锥锥面面 222 zyx 与与平平面面 az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采用球面坐标采用球面坐标 az ， cos a r 222 zyx ， 4 ，： cos 0 4 020 a r dxdydzyxI)( 22 drrdd a 4 0 cos 0 34 2 0 sin . 10 5 a 三重积分的概念及其计算法 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 dxdydzyxI)( 22 a r a dzrrdrd 2 0 2 0 a drr

27、ar 0 3 )(2 54 2 54 aa a . 10 5 a 222 zyx ，rz ，azrar 020: 三重积分的概念及其计算法 例例 12 求求曲曲面面 2222 2azyx 与与 22 yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积. 解解 ，ar2 ， 4 ，ar20 4 020: dxdydzV a drrdd 2 0 2 0 2 0 sin 4 4 0 3 3 )2( sin2 d a .)12( 3 4 3 a 三重积分的概念及其计算法 例例13 连连续续且且大大于于零零，且且设设函函数数)(xf ， )( 22 )( 222 )( )( )( tD t dyxf dvzyx

28、f tF ， t t tD dxxf dyxf tG )( )( )( 2 )( 22 ：，：其其中中 2222222 )()(tyxtDtzyxt 内内的的单单调调性性在在讨讨论论), 0()()1( tF )2003()( 2 )(0)2(时时，证证明明当当tGtFt 解解 (1) t t drrfrd drrfrdd tF 0 2 2 0 0 22 0 2 0 )( )(sin )( ， t t drrfr drrfr 0 2 0 22 )( )(2 2 0 2 0 222 0 222 )( )()()()( 2)( t tt drrfr drrfrttfdrrrftft tF 2 0

29、2 0 22 )( )()()( 2 t t drrfr drrfrtrttf ，内内所所以以在在0)(), 0( tF内内的的单单调调增增加加在在), 0()( tF 三重积分的概念及其计算法 例例13 连连续续且且大大于于零零，且且设设函函数数)(xf ， )( 22 )( 222 )( )( )( tD t dyxf dvzyxf tF ， t t tD dxxf dyxf tG )( )( )( 2 )( 22 ：，：其其中中 2222222 )()(tyxtDtzyxt 内内的的单单调调性性在在讨讨论论), 0()()1( tF )2003()( 2 )(0)2(时时，证证明明当当t

30、GtFt 解解 (2) ， t t drrfr drrfr tF 0 2 0 22 )( )(2 )(， t t drrf drrrf tG 0 2 0 2 )( )( )( ，时时要要证证当当)( 2 )(0tGtFt ，只只需需证证0)( 2 )( tGtF 即即要要证证0)()()( 2 0 2 0 2 0 22 ttt drrrfdrrfdrrfr 三重积分的概念及其计算法 即即要要证证0)()()( 2 0 2 0 2 0 22 ttt drrrfdrrfdrrfr 2 0 2 0 2 0 22 )()()()( ttt drrrfdrrfdrrfrtg令令 tt drrfrtfdrrftfttg 0 222 0 222 )()()()()(则则 t dr