1-2复变函数的极限[上课课堂]

1、 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 第二讲第二讲 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性 学习要点学习要点 掌握复变函数的概念掌握复变函数的概念 掌握复变函数的极限与连续性掌握复变函数的极限与连续性 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 0 0 00 ,0 |(0), (, ) z zz zU z 复复平平面面上上以以 为为心心为为半半径径的的圆圆: : 所所确确定定的的平平面面点点集集， 称称为为 的的邻邻域域，记记作作 邻邻域域： 一一、复平面上的点集与区域复

2、平面上的点集与区域 0 0 0 0|(0) (, ). zz z Uz 由由所所 确确定定的的平平面面点点集集，称称为为 的的去去心心邻邻域域， 记记为为 0 z 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 内点内点:对任意对任意z0属于点集属于点集E，若存在，若存在(z0,)， 使该邻域内的所有点都属于使该邻域内的所有点都属于E，则称，则称z0 是点集 是点集E的内点。的内点。 开集开集:若若E内的所有点都是内的所有点都是 它的内点，则称它的内点，则称E是是 开集。开集。 边界与边界点边界与边界点:设有点设有点P，若点，若点P的任何邻域的任何邻域 中既有

3、属于都包含中既有属于都包含E中的点又有不属于中的点又有不属于 E的点，则称的点，则称P是是E的边界点；点集的边界点；点集E的的 所有边界点的集合称为所有边界点的集合称为E的边界的边界 0 z 内点内点 外点外点 P 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 , . D D 区区域域 与与它它的的边边界界一一起起称称闭闭为为D D的的闭闭包包 记记为为 包包： 00 0 ,zEz EzE ：若若 属属于于点点集集但但存存在在 的的某某个个去去心心邻邻 域域内内无无 中中的的点点，则则 孤孤立立点点 称称 为为 的的孤孤立立点点 ( ):PU PE PE 若

4、若点点 的的任任意意邻邻域域内内都都包包含含有有 中中的的无无限限个个点点，则则称称 聚聚 为为 点点 的的聚聚点点. . 点集点集E 的聚点的聚点P 可能属于可能属于E 也可能不属于也可能不属于E 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 区域区域设设D是一个开集，且是一个开集，且D连通，即连通，即D中任中任 任意两点均可用完全属于任意两点均可用完全属于D的连线连起的连线连起 来，称来，称D是一个区域。是一个区域。 , . D D 区区域域 与与它它的的边边界界一一起起构构成成闭闭区区域域闭闭 记记为为 区区域域 有界区域与无界区域有界区域与无界区域

5、0 0 0, | RDz zRD 若若存存在在使使区区域域 内内每每一一点点 都都满满足足 ，则则称称 为为有有界界区区域域； 否否则则为为无无界界区区域域. . 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 区域的例子区域的例子: 1( , )U a r例例圆圆盘盘有有界界开开区区域域 |zzar其其边边界界为为点点集集 ： 102 2,z rzzr例例点点集集是是一一有有界界区区域域 0102 ,.zzr zzr其其边边界界由由两两个个圆圆周周构构成成 , , 如如果果在在圆圆环环内内去去掉掉若若干干个个点点 它它仍仍是是区区域域 但但边边界界有有变变化

6、化 是是两两个个圆圆周周及及其其若若干干个个孤孤 立立点点所所构构成成. . 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 ( ) (), ( ) ( )( ) xx t t yy t x ty t 平平面面上上一一条条可可表表示示为为： 其其中中、是是连连续续的的实实 连连续续曲曲线线 变变函函数数。 二、简单曲线（或二、简单曲线（或Jardan曲线曲线) ( )( )( ), ( )() z tx tiy tt zz tt 令令则则平平面面曲曲线线的的 复复数数表表示示式式为为. . ( ), ()zz称称为为曲曲线线的的端端点点。 22 ( )( )

7、, ( ) ( )0 . xty tC a bxty t 若若、且且 则则称称曲曲线线为为光光滑滑的的该该 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 ( )() zz：除除端端点点和和外外, , 本本身身不不自自 简简单单曲曲线线（J J 交交的的连连续续曲曲线线 ordanordan曲曲线线） 称称为为简简单单曲曲线线。 ( )()zz 的的简简单单曲曲线线，称称为为 或或 简简单单闭闭曲曲线线, , 约约当当闭闭曲曲线线. . ( )()zz ( )()zz 简单闭曲线简单闭曲线不是简单闭曲线不是简单闭曲线 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学

8、复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 z(a)=z(b) 约当定理约当定理（简单闭曲线的性质）简单闭曲线的性质） 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线C：z=z(t)，ta，b， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 内部内部 外部外部 边界边界 C是它们的公共边界。是它们的公共边界。 C z(a)=z(b) 一个是有界区域，称为一个是有界区域，称为C的内部；的内部； 一个是无界区域，称为一个是无界区域，称为C的外部的外部. 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 复平面上的一

9、个区域复平面上的一个区域D，如果，如果D内的任何简单内的任何简单 闭曲线的内部总在闭曲线的内部总在D内，就称内，就称D为单连通域；为单连通域； 非单连通域称为多连通域。非单连通域称为多连通域。 多连通域多连通域 单连通域单连通域 例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 三、复变函数三、复变函数 ( ). GG zxiyf wuiv wGz wf z 设设为为给给定定的的平平面面点点集集，若若对对于于 中中每每一一个个 复复数数，按按着着某某一一确确定定的的法法则则 ，总

10、总 有有确确定定的的一一个个或或几几个个复复数数与与之之对对应应， 则则称称 是是 上上的的关关于于 的的复复变变函函数数，简简称称复复变变 函函数数，记记作作 . zwG其其中中 称称为为自自变变量量，称称为为因因变变量量，点点集集称称为为 函函数数的的定定义义域域 zGw 若若每每个个，有有且且仅仅有有一一个个 与与之之 对对应应，称称此此函函数数为为单单 单单值值函函数数 值值函函数数。 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 ( ), ( , ),( , ) wf z uu x y vv x y 定定义义一一个个复复变变函函数数相相当当于于定定

11、义义两两个个 二二元元实实函函数数 2 wz 考考察察函函数数 222 ()2wuivxiyxyxyi 222 ,2wzuxyvxy因因此此对对应应 22 2222 0 4 2 . xy uvxy xyxy 将将定定义义在在全全平平面面除除原原点点区区域域上上的的一一对对 二二元元实实变变函函数数 ， 化化为为一一个个复复变变函函数数 例例 例例3 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 解解,zxiy wuiv设设 22 2xiy wuiv xy 则则 22 11 ()() 22 xzzyzzxyzz i 因因为为 ， 31 (0) 22 wz zz

12、 所所以以 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 ( )wf z 函函数数在在几几何何上上，可可以以看看成成 四、映射四、映射复变函数的几何表示复变函数的几何表示 ,.wzzw称称为为 的的象象称称为为 的的原原象象 o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) ( )* ()(). wf z zGzwGw 平平面面平平面面 的的映映射射 定义域定义域函数值集合函数值集合 z w=f(z) w 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义

13、是一个映射（变换） F函数，映射，变换都是一种对应关系的函数，映射，变换都是一种对应关系的 反映，是同一概念。反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；几何中，两个变量之间的对应关系称为映射； 代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；代数中，两个变量之间的对应关系称为变换； 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 F实变量的实函数的性质往往可以通过它们实变量的实函数的性质往往可以通过它们

14、的图形表示出来。但当的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，是复变量时， 就不容易找出方便的图形，这是因为就不容易找出方便的图形，这是因为z和和w 在一个平面上，而不是一条直线上在一个平面上，而不是一条直线上, 因此，分别在两个平面上画出它们。因此，分别在两个平面上画出它们。 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 .wz 研研究究所所构构成成的的映映射射 (cossin) i zrire 设设 例例5 解解 关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射 o x y (z) u v (w) o i zre 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学

15、复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 x、u y、v (z)、(w) o (. i we z 研研究究实实常常数数）所所构构成成的的映映射射例例6 , i zre 设设 解解 ()iiii we ze rere 有有 (cossin)()wuivixiy ( cossin) ( sinsin) xy i xy ， cossin sinsin uxy vxy 即即 旋转变换旋转变换(映射映射) 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 2 wz 已已知知映映射射，求求例例7 3)1,2zxyw平平面面上上直直线线映映成成 平平面面上上怎怎 样样的的曲曲线

16、线？ 22 2) 2 ; xya zw xyb 平平面面上上曲曲线线映映成成 平平面面上上 怎怎样样的的曲曲线线 123 1)1,1 ; zzzi ziw 平平面面上上的的点点在在 平平面面上上的的象象 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 2 1 1)()( 1)1,w z 22 3 2 ()(1) 2cossin 44 22 ( 2) cos()sin()2 44 w zii ii 解解 2 , , ArgwArgzArg w z zz 由由乘乘法法的的辐辐角角公公式式： 通通过过映映射射的的辐辐角角增增大大一一倍倍, , 2 . z w 因因此

17、此， 平平面面上上与与正正实实轴轴夹夹角角为为 的的角角形形域域 映映成成 平平面面上上与与正正实实轴轴夹夹角角为为的的角角形形域域 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 2) 2222 ()2wzxiyxyixy 因因为为 22 ,uxya 于于是是有有2vxyb 所以所以z平面的曲线映成平面的曲线映成w平面的直线平面的直线 2 11,2xuyvy 2 1 4 v u 3) 2222 ()2wzxiyxyixy 因因为为 2 24,4yuxvx 2 4 16 v u 所以所以z平面的直线映成平面的直线映成w平面的抛物线平面的抛物线 课堂节课 哈尔滨

18、工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 o x y (z) o u v (w) 2 o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 4 22 yx 2 zw 2 zw 2 zw 2 zw 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 * ( )( ) ( ) wf zzw wf z GG 若若和和其其反反函函数数都都是是单单值值函函数数， 则则称称是是一一一一映映射射. . 也也称称 和和是是一一一一对对应应的的. . ( ) ( )( ) ( ) wf z zwwf z wf z 确确定定了了一一个个单单值值或或多多值值函

19、函数数 称称为为的的反反函函数数, , 也也称称 为为映映射射的的逆逆映映射射. . 反函数反函数 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 五、复变函数的极限五、复变函数的极限 0 0 0 0 0 ( ) 00,0 ( ) ( ) lim( )( )() zz f zz zz f zA Af zzz f zAf zAzz 设设函函数数在在 的的某某去去心心邻邻域域内内有有定定义义，若若对对 ，当当时时恒恒有有 则则称称 为为函函数数当当 趋趋于于 时时的的极极限限，记记作作 或或 注意：注意： 0 0 ( ) zz z zf zA 这这里里， 趋趋于于

20、 的的方方式式是是任任意意的的，即即若若 极极限限存存在在是是指指 沿沿着着任任意意方方向向，以以任任意意 方方式式趋趋于于 时时，都都要要趋趋于于同同一一值值 。 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 0 0 000 00 1( )( , )( , ) lim( ) : zz f zu x yiv x yz zxiy f zAuiv 定定理理设设，在在 的的某某空空心心 邻邻域域内内有有定定义义，其其中中，则则 的的充充分分必必要要条条件件为为 00 00 00 lim ( , )lim ( , ) xxxx yyyy u x yuv x yv ，

21、 例例1试求下列函数的极限试求下列函数的极限. 11 1 1.lim2.lim 1 ziz zzzzz zz 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 ,zxiy设设zxiy zxiy zxiy 于于是是 22 2222 2xyxy i xyxy 1 lim zi z z 11 22 2222 11 2 limlim yy xx xyxy ii xyxy 解解 解法解法2 1 lim zi z z 1 1 lim 1 lim1 zi zi z i i zi 1 1.lim zi z z 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函

22、数与积分变换 zxiyzxiy设设， 1 1 lim 1 z zzzz z 则则 1 (1)(1) lim 1 z zz z 1 lim(1)2 z z 1 1 2.lim 1 z zzzz z 解：解： 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 例例2( )0. z f zz z 证证明明函函数数在在时时极极限限不不存存在在 证证,zxiy设设 22 2222 2xyxy i xyxy ( , )( , ) 0 u x yx yykx k 考考虑虑二二元元实实函函数数，当当沿沿着着 （ 为为任任意意实实数数）趋趋于于 ，即即 ( ) z f z z 2

23、2 22 ( , ) xy u x y xy 令令， 22 2 ( , ) xy v x y xy 2 2 ( , )(0,0)0 () 1 lim( , )lim( , ) 1 x yx y kx k u x yu x y k 不存在不存在 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 复变函数的极限四则运算法则：复变函数的极限四则运算法则： 00 lim( ),lim ( ) zzzz f zg z 设设都都存存在在，则则 000 1. lim ( )( )lim( )lim ( ) zzzzzz f zg zf zg z 000 2. lim( ) (

24、 )lim( ) lim ( ) zzzzzz f z g zf zg z 0 00 0 lim( ) ( ) 3. lim(lim ( )0) ( )lim ( ) zz zzzz zz f z f z g z g zg z 课堂节课 哈尔滨工程大学 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 复变函数与积分变换 0 00 lim( )()( ) ( ( ) ) , zz f zz f zG f zf z f zG 在在 处处连连续续如如果果则则称称 如如果果在在区区域域 内内每每一一点点均均连连续续， . . 称称 在在 则则 内内连连续续。 000 00 3 ( )( , )( ( , ) , ) , ( , )(,). f zu x yiv x yzx u x y v x y iy xy 定定理理在在点点 处处连连续续的的充充分分必必要要条