立体几何易做易错题汇编(解答题)

1、学习必备欢迎下载立体几何易做易错题汇编( 解答题)湖南 周友良1. 由平面G外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC O为ABC的外心，求证：OP丨r 。错解：因为 O为ABC的外心，所以 OA= OB= OC又因为PA= PB= PC, PO公用，所以 POA POB POC都全等，所以.POA= . POB= . POC= RT ，所以 OP _ :。 错解分析：上述解法中 POA= . POB= . POC= RT ，是对的，但它们为什么是直角 呢？这里缺少必要的证明。正 解： 取 BC 的 中 点D , 连PD ,OD ,:PB 二 PC,OB =OC, BC_PD,BC_O

2、D, BC _ 面POD, BC _ PO, 同理 AB _ PO, PO _ ：.2. 一个棱长为6cm的密圭寸正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。错误原因是空间想像力不够。正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：31 4兀 34813 -(13)=8 ，除此之外，8 33在以正方体的棱为一条棱的12个11 4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为1 21 1 4-一(二12) 4 =48-12二。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间3. 如图

3、，在长方体 ABCD-ABCD 中，AB=5, AD=8 AA=4, M为 BQ 上一点，且 B1M=2,点 N 在线段 AD上,AD丄 AN 求： (1) cos(A1 D, AM )；平面A 解: (1) 以 则 D(0,8,0)直线AD与平面ANM所成的角的大小；平面ANM与平面ABCD所成角(锐角)的大小,A (0 , 0, 4) , M(5,2,4)(1) 以A为原点，AB AD AA所在直线为x轴，y轴，z轴.AD 尸(0,8,4)AM =(5,2,4)t AD AM = 0 cosA,D,AM = 0(2) 由(1)知AD丄AM又由已知 AD丄AN, . A _平面AMN垂足为N

4、.因此AD与平面所成的角即是 DAN.易知乙 DANAAiD = arcta n2(3) / A _ 平面 ABCD AN平面 AMN AA和NAi分别成为平面 ABCD平面AMN勺法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角(锐角)为 贝UJ - (AAi, NAiH AAiN二 AAi DJ5=arccos54点0是边长为4的正方形 ABCD的中心，点E , F分别是AD , BC的中点沿 对角线AC把正方形 ABCD折成直二面角 D-AC- B.(I)求.EOF的大小；(n)求二面角E-OF -A的大小.垂足为解法一：(I)如图，过点 E作EG丄ACG,过点F作FH丄AC垂足为 H,则EG

5、 二 FH =、2 , GH =2.2 C因为二面角 D-AC- B为直二面角,.EF2GH 2 EG2 FH 2 -2EG FH cos90=(2、2)2 (切2 ( .2)2 -0 =12.又在 EOF 中，OE =OF =2,/OE2+OF2_EF 2 22 +22 _(2/3)21二 cosEOF =2OE OF2汉2汉22二 NEOF =120 (n)过点 G作GM垂直于FO的延长线于点 M连EM二面角 D-AC- B为直二面角，平面 DA丄平面 BAC交线为 AC,又t EGLACEGL平面BAC GILL OF,由三垂线定理，得 EML OFEMG就是二面角E OF A的平面角.

6、1在 Rr ： EGM中 , . EGM =90：, EG = . 2 , GM OE=1,2eg tanEMG2 EMG = arctan ：/2 .GM所以，二面角 E - OF - A的大小为arctan . 2 .解法二：(I)建立如图所示的直角坐标系O- xyz ,则 OE =(1,一1, .一一), OF =(0,2,0).OE OF.cos ：OE,OF :|OE|OF|(n)设平面OEF的法向量为ni= (1y,z). EOF =120、.由 n；O.0,n：OF.0,得、一z 二21v + 7一z = 01 y0,解得 y=0,2y =0,所以，=(1,0,-又因为平面 AO

7、F勺法向量为n2 =(0,0,1),cos ： ： m, n2 =. = arccosg II n?|3所以，二面角E-OF-A的大小为昨嗚Ci5 .斜三棱柱 ABC-A1B1C的底面是边长为 a的正三角形，侧棱长等于b, 条侧棱 AA与底面相邻两边 AB AC都成45角，求这个三棱柱的侧面积。解：过点 B 作 BM AA 于 M,连结。皿在厶 ABMOA ACM中, v AB=AC / MABM MAC=45, MA为公用边，ABMA ACMAMCM AMB=90, AA丄面 BHC 即平面 BMC为直j272-截面，又 BM=CM=ABsinAa , BMC周长为 2x 一 a+a=(1+

8、2 )a ,且棱长为 b, S 22侧=（1+ J2 ）ab点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当， 即“过 BC作平面与 AAi垂直于 M;三是由条件“/ AiAB=/ AiAJ / AA在底面 ABC上的射影是/ BAC的平分线”不给出论证。6 如图在三棱柱 ABC-ABC中，已知底面 ABC是底角等于30 ,底边AC=4 3的等腰三AB与AB交于点E。角形，且 BC _ AC,BC = 2 2，面 BAC与面 ABC成45 ,1）求证：AC _ BA;2）求异面直线AC与BA的距离；3）求三棱锥B-BEC的体积。正解：证：取AC中点D,连ED,-E是A

9、B的中点，ED/ BC = 22BC _ AC, DE _ AC又 ABC是底角等于30的等腰.: , BD_AC,BN DE二DAC _ 面BDE, AC _ BE,即卩 AC _ BA解：由知 EDB是二面角B-AC-B的一个平面角，J3 ZEDB = 45 , ED = 2BD = ADtan30 =2 3 =23在=2DBE 中：EB2 二 ED2 BD2 2ED BD cos45 = 2 4 - 2 一 2 :EB2, ABDE是等腰Rt：ED BE, ED是异面直线 AC与BA的距离,为. 2连 AD,ED = EAED 二2,. AD _ BD,又AC _ 面BED ,AD 面B

10、ED, AD _ AC, AD _ 面ABC且AD = 2VB /BC3S ABC AD =3 2（BD AC） AD =3,33323VB -BEC=Vq -BEBVc JBB2=1VB-ABC23误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。7 .如图，在正三棱柱 ABC-ABC中，AB=3 AA=4,M为AA的中点，P是BC上一点，且由 P沿棱柱侧面经过棱CG到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与 OC的交点为N。求4)5)6)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；PC和NC的长；平面NMF和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）正解：正三棱柱ABC-ABCi的侧面展开图是一个长为 9,宽为4的矩形，其对角线长为.9?4 97如图1,将侧面BC旋转120使其与侧面AC在同一平面上，点P运动到点Pi的位置，连接MP，则MP就是由点P沿 棱柱侧面经过 CG到点M的最短路线。设 PC= x，贝U PiC= x ,在 Rt MAPi中，（3+ x）222 = 29,x=2MCMAP1CNC =4P1A 5连接PP（如图2），则PP就是NMP与平面ABC的交线，作