2-4三次样条函数系数的求解[上课课堂]

1、课题二、船体型线的数值表示课题二、船体型线的数值表示 （四）三次样条函数系数求解（四）三次样条函数系数求解 一、概述一、概述 这里有这里有4n-4个待定系数，求解这些系数需要的方程个数为：个待定系数，求解这些系数需要的方程个数为： 4n-4个。个。 3 i 2 iii )(xdxcxbaxs ) 1, 2 , 1,( 1ii nixxx 这里这里n是插值点的个数，当是插值点的个数，当n比较小时，可以采用上次课的比较小时，可以采用上次课的 方法进行求解。但是，当方法进行求解。但是，当n的取值较大时，求解过程必然的取值较大时，求解过程必然 非常复杂且繁琐。非常复杂且繁琐。 二、二、系数用系数用 表

2、示的三次样条函数表示的三次样条函数 i c 3 ii 2 iiiiii )()()()(xxdxxcxxbaxs ) 1, 2 , 1( 1ii nixxx； 3 i 2 iii )(xdxcxbaxs ) 1, 2 , 1,( 1ii nixxx 为了讨论的方便，我们设三次插值多项式为：为了讨论的方便，我们设三次插值多项式为： 由于这里的待定系数的个数较多，求解起来很不方便，我们 设想可不可以将未知数的个数减少，这样势必可以大大降低 计算的难度。 4n-4个待定系数个待定系数 545 052 yx yx 解方程组：解方程组： yx 2 5 545 2 5 yy 33 10 yyx 2 5 3

3、3 25 x 这种解方程的方法称为消元法。这种解方程的方法称为消元法。 三次样条函数的系数有三次样条函数的系数有4组，我们在求解时也采用消元的组，我们在求解时也采用消元的 方法，将其中的三组用一组表示，那么只需要求出这一组方法，将其中的三组用一组表示，那么只需要求出这一组 的值就可以了。的值就可以了。 这样必然可以减少计算量，降低计算难度！这样必然可以减少计算量，降低计算难度！ 1、 iii 2)(cxs 的函数表达式的函数表达式 根据三次样条函数自身的特点：根据三次样条函数自身的特点： ) 1, 2 , 1()() 1 ( ii niyxs （2 2）插值区间上一阶、二阶导数及函数连续）插值

4、区间上一阶、二阶导数及函数连续 根据条件（根据条件（1）得：）得： 3 ii 2 iiiiii )()()()(xxdxxcxxbaxs ii ya 3 ii 2 iiiiii )()()()(xxdxxcxxbaxs iiii 求得一组待定系数！求得一组待定系数！ 函数及二阶导数在函数及二阶导数在 1i x点处连续，于是有：点处连续，于是有： 1i x i x 2i x 第第i段段 第第i+1段段 )()( )()( 1i1i1ii 1i1i1ii xsxs xsxs 1i 3 i1ii 2 i1iii1iii )()()( yxxdxxcxxby 3 i1i 2 i1ii1ii1i )()

5、()()(xxdxxcxxbaxs iiii 3 1i11i 2 1i11i1i11i1i11i )()()()( xxdxxcxxbaxs iiii 注意下标的变化及表示的不同含义。注意下标的变化及表示的不同含义。 根据根据i+1点处函数连续：点处函数连续： 根据根据i+1点处二阶导数连续：点处二阶导数连续： 1i x i x 2i x 第第i段段 第第i+1段段)()( 1i1i1ii xsxs )(62)( iii xxdcxsi 3 ii 2 iiiiii )()()()(xxdxxcxxbaxs 1ii1iii 2)(62 cxxdc )(62)( 1i1i1i1 xxdcxsi将将

6、x=xi+1代入代入 1i 3 i1ii 2 i1iii1iii )()()( yxxdxxcxxby 1ii1iii 2)(62 cxxdc )(3 i1i i1i i xx cc d )( 3 2 3 1 ( i1ii1i i1i i1i i xxcc xx yy b 这样就将所有的这样就将所有的bi和和di用用ci表示了，只要能够求出表示了，只要能够求出 ci就可以了。就可以了。 2、 iii 6)(cxs 的函数表达式的函数表达式 )(3 i1i i1i i xx cc d )( 3 2 3 1 ( i1ii1i i1i i1i i xxcc xx yy b 在实际的应用中，为了使表达

7、式简单，常令在实际的应用中，为了使表达式简单，常令 iii 6)(cxs 1i1i1i1ii 6)()( cxsxs 了。的就是原来 3 1 ii cc i1i i1i i1i i1i i )(3 )(3 xx cc xx cc d )(2( i1ii1i i1i i1i i xxcc xx yy b 3 i i1i i1i2 ii ii1ii1i i1i i1i ii )()( )()(2()( xx xx cc xxc xxxxcc xx yy yxs 3 ii 2 iiiiii )()()()(xxdxxcxxbaxs 三、求解三、求解系数系数 的方程的方程 i c 1、一阶导数连续法、

8、一阶导数连续法 根据三次样条函数的特点，前面已经使用了函数、二阶导根据三次样条函数的特点，前面已经使用了函数、二阶导 数连续，还剩余一阶导数连续的条件没有使用。数连续，还剩余一阶导数连续的条件没有使用。 3 i i1i i1i2 ii ii1ii1i i1i i1i ii )()( )()(2()( xx xx cc xxc xxxxcc xx yy yxs 3 1- i 1- ii 1- ii2 1- i1- i 1- i1- ii1- ii 1- ii 1- ii 1- i1- i )()( )()(2()( xx xx cc xxc xxxxcc xx yy yxs i x 1 - i

9、x 1i x 第第i-1段段 第第i段段 一阶导数在一阶导数在i点连续点连续 )()( iii1i xsxs )2)( x )2)( x 1iii1i 1i 1 1ii1ii 1i 1 ccxx x yy ccxx x yy i ii i ii )(2()( i1i1ii 1 1 i xxcc xx yy xs ii ii i 2 1 1 1 111 - iii1 - i 1 1 i1 )(3)(2)(2()( ii ii ii iii ii ii i xx xx cc xxcxxcc xx yy xs )(2 ()( i1i1ii 1 1 i1 xxcc xx yy xs ii ii i 整

10、理得：整理得： )2)( x )2)( x 1iii1i 1i 1 1ii1ii 1i 1 ccxx x yy ccxx x yy i ii i ii 整理：整理： 1 1 1 1 1ii1ii1i1i1i1ii )()( 2)( ii ii ii ii xx yy xx yy cxxcxxcxx i x 1 - i x 1i x 第第i-1段段 第第i段段 1 -n x n x 第第n-1段段 只有只有n-1个个ci i+1=n-1 i=n-2 1 1 1 1 1ii1ii1i1i1i1ii )()( 2)( ii ii ii ii xx yy xx yy cxxcxxcxx )2, 3 ,

11、 2(ni 这是关于这是关于ci的的n-3个方程，未知数的个数为个方程，未知数的个数为n-1个。个。 2、三弯矩算法、三弯矩算法 3 i 2 iiii )(xdxcxbaxs 1ii xxx) 1, 1(ni iii 26cxds 1ii xxx) 1, 1(ni )( )( 1 xM x EJ 2 2 )( 1 dx yd x )( 2 2 xM dx yd EJ 二阶导数可以表示某处的弯矩二阶导数可以表示某处的弯矩 ii 26)(cxdxM ii 26)(cxdxM ii 记某点的弯矩值为记某点的弯矩值为 i M i M 1i M 1i M 将相邻两点用直线段连接将相邻两点用直线段连接 采用分段线性插值采用分段线性插值 )(xM i1i i 1i 1ii 1i xx xx M xx xx M i ) 1, 1( 1ii nixxx i1i i 1i 1ii 1i )( xx xx M xx xx Mxs i 对上式进行不定积分二次，可以得到三次样条插值对上式进行不定积分二次，可以得到三次样条插值 多项式：多项式： i1i i 1i 1ii 1i )( xx xx M xx xx Mxs i )(xs i i i i 1i i i 3 i 1i i