5.6余弦三角函数的图像和性质[上课课堂]

1、5.6 三角函数的图像及性质三角函数的图像及性质 1课程章节 5.6.25.6.2余弦函数的图像和性质余弦函数的图像和性质 一、表达式：一、表达式： 1、形如：、形如：y = cosx 的函数叫余弦函数的函数叫余弦函数.其中其中x是自变量是自变量. 当当x是是角度制时可取一切角度，当角度制时可取一切角度，当x代表弧度制是可取一切实数，代表弧度制是可取一切实数，xR 二、余弦函数的图像及画法：二、余弦函数的图像及画法： 1、因为、因为cos(+2k) = cos, 所以所以 y = cosx 是周期函数，是周期函数， 且周期是且周期是2。 2、只需要作出【、只需要作出【0，2】上的图像，然后根据

2、周期性，】上的图像，然后根据周期性， 扩展到一切实数扩展到一切实数R范围。范围。 3、作函数图像的步骤：在函数定义域内、作函数图像的步骤：在函数定义域内:（代数作图法）（代数作图法） 书书P128 列表（算值）列表（算值） 描点（建立坐标系）描点（建立坐标系） 连线连线 2课程章节 4、作余弦函数、作余弦函数y=cosx在在x【0 , 2】上】上的图象的图象 x y y=cosx, x 0, 2 o 2 3 2 2 6 6 7 2 3 6 11 3 6 5 3 4 3 5 -1 1 列表列表 x02 y=cosx 1 0.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.50.87 1

3、 描点描点 连线连线 3课程章节 如何在精确度要求不太高时在精确度要求不太高时作出余弦函数的图象？ y x o 1 - 1 2 2 3 2 2 五点法五点法 观察发现：余弦函数观察发现：余弦函数 y = cosx在在0，2的图像上的图像上 有有“五五”个重要的点，它是就是确定图像基本形状的关键点。个重要的点，它是就是确定图像基本形状的关键点。 （0 ，1） （ ，0 ） 2 （，-1） （ ，0） 2 3 （2，1） 4课程章节 例：用例：用“五点法五点法”作函数图像：作函数图像： 1利用利用“五点法五点法”作函数作函数y = -cosx在【在【0, 2】上的图像】上的图像 O X y . 解

4、：列表列表 x 0 2 cosx 1 0 -1 0 1 y=-cosx -1 0 1 0 -1 2 2 3 描点描点 2 2 3 2 . 1 -1 请观察：请观察：y = cosx与与y = -cosx图像的区别与联系？图像的区别与联系？ 连线连线 y = - cosx 的图像的图像 y = cosx 的图像的图像 5课程章节 y=cosx x0,2y=cosx xR 利用y=cosx 的周期为2 将 y=cosx 图象向左或向右平移 利用图象平移利用图象平移 x y 1 -1 4 7 2 3 5 2 2 3 2 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 y=1 y=-1 思考思考: 观察余

5、弦函数的图像，可得到哪些重要性质？观察余弦函数的图像，可得到哪些重要性质？ 6课程章节 - - - - - - - - cosyxsin() 2 x 由由 2 知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到各单位长度而得到 x 4 56 y 23 0 2 1 -1 2 2 2 3 想一想想一想: 余弦函数又有什么样的性质呢？余弦函数又有什么样的性质呢？ 7课程章节 四、余弦函数的性质四、余弦函数的性质 y=cosx (x R) 1、定义域、定义域：XR（或一切角）（或一切角） 2、值、值 域：域：y -1 , 1（有界性）即有界性）即 |co

6、sx| 1，或，或-1 y 1 其中：当其中：当x= (kz)时，时，y有最大值，有最大值，ymax = 1k2 当当x= (kz)时，时，y有最小值，有最小值，ymin = -1k2 3、周期性、周期性：y = cosx 是周期为是周期为2的周期函数的周期函数 4、奇偶性：、奇偶性：是偶函数， 是偶函数，y = cosx 的图像关于的图像关于y轴对称轴对称. 或或cos（） cos， y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 8课程章节 例题：例题：( 根据函数的性质解题）根据函数的性质解题） 1 、已知：、已知：2cosx=a- 4 ，求，

7、求a的取值范围。的取值范围。 解：根据正弦函数解：根据正弦函数y = cosx的有界性：的有界性： 所以所以 |a - 4 | 2即即 ，-2 a - 4 2解得解得 2 a 6 故故a的取值范围的取值范围a 2, 6 2、求使函数、求使函数y = cos2x取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？ 解：根据正弦函数解：根据正弦函数y = cosx的最大是的最大是1 ,设设 u = 2x 则y = cos2x 化为化为 y = cos u 因为因为|cosx|1 即当即当u = 时时(kz)，ymax=1k2 即即 u = 2x = k2解之解之x =

8、(kz) k 所以集合所以集合x|x= , kz k函数函数y = cos2x取得最大值是取得最大值是1 ,|2cosx|2 9课程章节 四、余弦函数的性质四、余弦函数的性质 y=cosx (x R) 5、单调性：、单调性： 在每一个区间【在每一个区间【 】（】（kR）上都是增函数）上都是增函数 kk2,2在每一个区间在每一个区间【 】（kR）上都是增减数）上都是增减数 kk2 ,2 函数值函数值y由由 -1（最小）（最小） 增大到增大到 1（最大）（最大） 函数值函数值y由由 1 （最大）减小到（最大）减小到 -1（最小）（最小） y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2

9、5 2 7 2 2 3 2 5 注意：注意：) 12(2kk) 12(2kk 10课程章节 y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 三、余弦弦函数的性质三、余弦弦函数的性质 1 定义域: _ 2 值域： 当x=_ 时，y 取到最大值_ 当x=_ 时，y 取到最小值_ 3 奇偶性： 图像关于_ 对称，故为_函数 4 周期：_ 5 单调性：单调增区间_ 单调减区间_ 6 对称轴：_ 11课程章节 的值为多少？时，对应、当xx 2 1 sin1 的取值为多少？时，对应、当xx 2 1 sin2 的取值为多少？时，对应、当xx 2 1 sin 2 2

10、 3 x y o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 练一练练一练: 12课程章节 的取值为多少？时，、当xx 2 1 cos1 值为多少？时，对应的、当xx 2 1 cos2 取值为多少？时，对应的、当xx 2 1 cos 2 2 3 练一练练一练: y x o- -1 2 34 -2-3 1 2 2 3 2 5 2 7 2 2 3 2 5 13课程章节 例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1) sin( ) 与sin( ) 18 10 218102 又 y=sinx 在 上是增函数 2 , 2 sin( ) sin( ) 18 1

11、0 (2) cos( ) 与 cos( ) 5 23 4 17 解：解： 解解 ： 从而 cos( )=cos =cos 5 23 5 23 5 3 4 17 cos( )=cos =cos 4 17 4 5 3 4 0又 y=cosx 在 上是减函数, 0 cos cos 4 5 3 即： cos cos 0 5 3 4 cos( ) cos( ) 5 23 4 17 14课程章节 Rxxy Rx x y ，）（2sin32 3 cos)1( 例例2 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、 最小值时自变量最小值时自变量x的集合的集合 ,6|

12、,63| )(631-,)(2 3 )(61)(2 3 1, 11 minmax zkkxxx zkkxxx zkkxzkk x zkkxzkk x yy 集合为最大值的 集合为的所以使函数取得最小值 ，此时函数取得最小值时当 ，此时时，函数取得最大值易知，当 ）解：（ 15课程章节 （2）令u=2x，使函数y=-3sinz，zR zk,k 4 x|x, 3 zk,k 4 -x|x, 3 )( 4 3-,)(2 2 )( 4 3)(2 2 min max 的集合为此时 的集合为此时 ，得函数取得最小值时当 ，得时，函数取得最大值当 xy xy zkkxzkku zkkxzkku 16课程章节

13、例3 求函数 的单调递增区间 。 2 ,2), 32 1 sin( xxy 解：令 ，函数 的单调递增区间是 32 1 xzzy sin 2 2 ,2 2 kk 由 得 kxk2 232 1 2 2 zkkxk,4 3 4 3 5 设 ,4 3 4 3 5 |2 ,2zkkxkxBA 所以 3 , 3 5 BA 故此函数的单调递增区间是 3 , 3 5 17课程章节 例5 的单调区间求函数) 4 sin(2xy 上单调递增在 上单调递减在则令 )(2 2 3 ,2 2 )(2 2 ,2 2 -sin2, 4 zkkk zkkktyxt ) 4 sin(2) 4 sin(2 xxy解： 时，函数为减函数即当)(2 4 3 2 4 -2 24 2 2 -zkkxkkxk 时，函数为增函数即当)(2 4 7 2 4 3 2 2 3 4 2 2 zkkxkkxk )(2 4 3 ,2 4 - )(2 4 7 ,2 4 3 zkkk zkkk 单调减区间为 函数的单调增区间为 18课程章节 达标检测