5、幂函数图像与性质[上课课堂]

1、1课程章节 问题引入问题引入 (1) 如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她需那么她需 要支付要支付p= 元元 (2) 如果正方形的边长为如果正方形的边长为a,那么正方形的面积那么正方形的面积 (3) 如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积 (4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的那么这个正方形的 边长边长 (5)如果人如果人t s内骑车行进了内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速那么他骑车的平均速 度度 S 我们先看几个具体问题我们先看几个具体问题: V xy 2 1 xy 1 x

2、y w 2 a 3 a a 2 1 S skmV/ 1 t 2 xy 3 xy 2课程章节 一般地，函数 叫做幂函数幂函数， 其中x为自变量， 为常数。 xy 幂函数的定义：幂函数的定义： 注意：注意： （1 1）幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是 的形式，的形式， 前的系数必须是前的系数必须是1 1，没有其它项。，没有其它项。 xy x （2 2）定义域与）定义域与 的值有关系的值有关系. . 3课程章节 式子式子 名称名称 常数常数 x y 指数函数指数函数: y=a x （a0且且a1) 幂函数幂函数: y= a为底数底数 指数指数 底数底数 幂值幂值 幂值幂值 判断一个函数是幂函

3、数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数看未知数x是是指数指数还是还是底数底数 指数指数函数函数 幂函数与指数函数的对比：幂函数与指数函数的对比： 为指数指数 x 幂函数幂函数 4课程章节 x y2.0 x y5 2 1 xy 1 xy （指数函数）（指数函数） （幂函数）（幂函数）（指数函数）（指数函数） （幂函数）（幂函数） 快速反应快速反应 x y 3 （指数函数）（指数函数） 5 xy （幂函数）（幂函数） 5课程章节 幂函数的图象及性质幂函数的图象及性质 五个常用幂函数的图像和性质 (1) (2) (3) (4) (5) 2 1 xy 2 xy 1 xy

4、3 xy xy 2 1 6课程章节 定义域：定义域： 值值 域：域： 奇偶性：奇偶性： 单调性：单调性： R R 上是奇函数在R 上是增函数在R xy 函数函数 的图像的图像 7课程章节 定义域：定义域： 值值 域：域： 奇偶性：奇偶性： 单调性：单调性： R ), 0 上是偶函数在R 上是增函数在), 0 上是减函数在0 ,( 函数函数 的图像的图像 2 xy 8课程章节 定义域：定义域： 值值 域：域： 奇偶性：奇偶性： 单调性：单调性： 0 xx 上是奇函数在0 xx 上是减函数在), 0( 上是减函数在)0,( 0yy 函数函数 的图像的图像 1 xy 9课程章节 x-2-101234

5、 y=x3 y=x1/2 -8 -101827 2301 0 x y 1234-1-2-3 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 y=x3 / 64 2 1 x 10课程章节 定义域：定义域： 值值 域：域： 奇偶性：奇偶性： 单调性：单调性： R R 上是奇函数在R 上是增函数在R 函数函数 的图像的图像 3 xy 11课程章节 定义域：定义域： 值值 域：域： 奇偶性：奇偶性： 单调性：单调性： ), 0 非奇非偶函数 上是增函数在), 0 ), 0 函数函数 的图像的图像 2 1 xy 12课程章节 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6-4-2246 y=x-1 y=x 1 2

6、 y=x3 y=x2 y=x (4,2) (-2,4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 13课程章节 (-,0)减(-,0减 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点 (0,+)减 增增 0,+)增 增 单调性 奇非奇非偶奇偶奇 奇偶性 0,+)R0,+)R 值域 0,+) 定义域 y=x-1y=x3y=x2y=x 函数 性质 常见幂函数的性质常见幂函数的性质 1 2 yx |0 xxRx且 |0yyRy且 14课程章节 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6-4-2246 y=x-1 y=x 1 2 y=x3 y=x2 y=x (4,2) (-2,

7、4) (2,4) (-1,1) (-1,-1) (1,1) 在第一象限内，在第一象限内， 当当 0时，图象随时，图象随x增大增大 而上升。而上升。 当当 0时时,图象还都过图象还都过 点点(0,0) 15课程章节 1 1、所有幂函数在、所有幂函数在(0(0，+)+)上都有定义，并且图象上都有定义，并且图象 都通过点都通过点(1,1).(1,1). 2、在第一象限内，、在第一象限内， 0,0,在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数 0,0,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数. . 3 3、 为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数 为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂

8、函数为偶函数. . 16课程章节 如果函数如果函数 是幂函数且是幂函数且 在区间（在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的）内是减函数，求满足条件的 实数实数m。 17课程章节 11 22 432, . mm m 例3 若 则求 的取值范围 1 2 :( )(0,) , 0324 13 ,. 32 f xx mm mm 解幂函数的定义域是 且在定义域上是减函数 即为 的取值范围 18课程章节 练习：判断下列各值的大小。练习：判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3) 解解:(1)y= x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数,

9、5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数 0.20.3 0.20.3 0.30.3 (3)y=x-2/5在在(0,)内是减函数内是减函数 2.52.7-2/519课程章节 2.5 -2 5 与2.7 -2 5 幂值比较幂值比较 （1）底数不同，指数相同，考虑幂函）底数不同，指数相同，考虑幂函 数；数； （2）底数相同，指数不同，考虑指数）底数相同，指数不同，考虑指数 函数；函数； （3）底数指数都不同，引入中间值。）底数指数都不同，引入中间值。 20课程章节 练习练习 2 5.1 2 5.092） 3） 1 4 1.79 1 4 1.81 4） 2 2 3 (2)a 2 3 2 1） 0.5 1.3 0.5 1.5 21课程章节 1 01 小结：小结： 幂函数的性质幂函数的性质: : .所有幂函数的图象都通过点所有幂函数的图象都通过点(1,1(1,1); 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数随常数 取值的不同而不同取值的不同而不同. . 如果如果 0,0,则幂函数则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减