行列式 (线性代数教程)

1、 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 线性代数线性代数 行列式行列式. . 矩阵的概念和运算矩阵的概念和运算. . 逆矩阵逆矩阵. . 矩阵的初等变换矩阵的初等变换. . 一般线性方程组一般线性方程组. . 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 7.1 7.1 行列式行列式 主要内容：主要内容： 1. 1. 二阶行列式二阶行列式. . 2. 2. 三阶行列式三阶行列式. . 3. n3. n阶行列式阶行列式. . 4. 4. 行列式的性质行列式的性质. . 5. 5. 克莱姆法制克莱姆法制. . 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 我们先从解

2、二元线性方程组引入二阶行列我们先从解二元线性方程组引入二阶行列 式的概念及计算考虑二元线性方程组式的概念及计算考虑二元线性方程组 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 一、一、 二阶行列式二阶行列式 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 如果如果 那么方程组的解为那么方程组的解为 0 21122211 aaaa 21122211 211211 2 21122211 212221 1 aaaa abba x aaaa baab x 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 如果对于方程组的系数如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置按其在方程组

3、中出现的位置 相应地排列成一个方形表相应地排列成一个方形表 引入记号引入记号| | 2221 1211 aa aa 那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 此式的右端称为二阶行列式的展开式此式的右端称为二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，称为二阶行列式的元素，横排的称为行， 竖排的称为列竖排的称为列 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 52 53 )1( 22 22 cossin sincos )2( 52 53 1 ）解：（解

4、：（ 44 22 22 sincos cossin sincos )2( 2cos)sin)(cossin(cos 2222 例例1 1 计算下列各行列式计算下列各行列式 -5=(-2)5 (-3) 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 类似地，三元线性方程组类似地，三元线性方程组 二、二、 三阶行列式三阶行列式 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 333231 232221 131211 aa

5、a aaa aaa 322113312312332211 aaaaaaaaa 312213332112322311 aaaaaaaaa 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上 三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相 乘所得

6、到的项带负号这种展开法称为对角线展开法乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法 这种展开法称为对角线展开法这种展开法称为对角线展开法 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 下面介绍三阶行列式的展开式下面介绍三阶行列式的展开式： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 131312121111 AaAaAa 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a1

7、3的代数余子式，的代数余子式， 3332 2322 11 11 )1( aa aa A 3331 2321 21 12 )1( aa aa A 3231 2221 31 13 )1( aa aa A 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 例例2 2 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式： 211 121 112 )1( 333231 2221 11 0 00 )2( aaa aa a 211 121 112 1）解：（解：（ 211121112 4 111111222 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 3332 22 11 333231 2221 11 0

8、 0 00 )2( aa a a aaa aa a 332211 aaa 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 三、三、n n阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示， 所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三 阶行列式来定义四阶行列式，阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般，依此类推，一般 地，可以用地，可以用n n个个n n-1-1阶行列式来定义阶行列式来定义n n阶行列式，下面给阶行列式，下面给 出出n n阶行列式的定义：阶行列式的定义： 定义定义 设设n-1

9、阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式 nn nnnn n n AaAaAa aaa aaa aaa D 1112121111 21 22221 11211 . 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 其中其中 A A1j 1j=(-1) =(-1)1+j 1+jM M1j 1j nnn,jn,j-n n,j,j- n,j,j- ij aaaa aaaa aaaa M 111 3131331 2121221 ( ( j=1,2,=1,2,n ) ) 这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j列列 后所得的后所

10、得的n-1阶行列式，阶行列式，A1j称为称为a1j的代数余子式的代数余子式 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素 的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把 上述定义简称为按行列式的第上述定义简称为按行列式的第1行展开行展开 5348 0162 5017 4002 4 D计算计算例例 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 解解 因为因为a12=a13=0 所以由定义所以由定义 14141111 AaA

11、aD 348 162 017 )1(4 534 016 501 )1(2 4111 34 16 (-1)5 53 01 (-1)21 3111 8)-(6-4)-4(7(18-4)-5(1825 250 38 12 (-1)1 34 16 (-1)7 4 2111 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 例例4 4 计算行列式计算行列式. . nnnn n aaa aa a D 21 2221 11 0 00 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得 nnnn n aaa aa a aD 32 3332

12、 22 11 0 00 nn nn aaa a a a . 00 00 00 2211 22 11 同理可得同理可得 nnnn aaa aa a aa 43 4443 33 2211 0 00 nn aaa. 2211 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二 项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的 行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和行（列），其余的行（列）不

13、变的两各行列式的和 nnnn inii n nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa ccc aaa aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa 21 21 11211 21 21 11211 21 2211 11211 四、行列式的性质四、行列式的性质 性质性质1 1 性质性质2 2 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘的某一列（行）的每一个元素同乘 以一个常数以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中也就是说，行列式中 某一列（行）所有元素的公因子可以提到行

14、列式记号的外某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外 面面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得 的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同， 则此行列式的值等于零则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比 例，则此行列式的值等于零例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常就是指存在一个常 数数

15、k，使使ali=kalj(l=1,2n) 性质性质3 3 性质性质4 4 推论推论 性质性质5 5 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 3333 2222 1111 2 2 2 6 baba baba baba 计计算算例例 3333 2222 1111 2 2 2 baba baba baba 解解： 000 333 222 111 333 222 111 2 2 2 2 2 2 bab bab bab baa baa baa 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上 另一列（

16、行）的对应元素的另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的倍，则所得行列式与原行列式的 值相等值相等 由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便 于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法： 1.以（以（r）代表行，（代表行，（c）代表列代表列 2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或第行（或第j 列）列） 对应元素的对应元素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或（或（ci）+k（cj） 3.互换互换i 行（列）和行（

17、列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci） （cj） 性质性质6 6 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 9211 1-121- 4111 2-231- 7计计算算例例 9211 1-121- 4111 2-231- 解解： 7440 11-1-0 2340 2-231- )()( )()( )()( 14 13 12 rr rr rr 0432 0-1-11 0447 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 11000 61-00 11-1-0 2-231- )(4)( )(4)( 24 23 rr rr 7440 2340 11-

18、1-0 2-231- )()( 32 rr 11 00-16 00011 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） baaa abaa aaba aaab 计算计算例例8 baaa abaa aaba aaab 解解： baaa abaa aaba abababab rrrr 3333 )()()()( 4321 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） baaa abaa aaba ab 1111 )3( 3 )(3(abab )3( 000 000 000 1111 )()( )()( )()( 14 13 12 ab ab ab ab rar rar rar 广州

19、铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对等于它的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即D= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n） 行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余的一行元素分别与另一行对应的代数余 子式之乘积的和等于零，即子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n, ij） 例例按第三行展开计算行列式按第三行展开计算行列式 0111 1110 1101 - dcba - - 性质性质7 7 推论推论 广州铁路

20、职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 0111 1110 1101 - dcba - - 解解： d2cb-3 a 011- 11-0 1-1-1 b(-1) 011- 11-1- 1-1-0 )1( 2313 a 11-1- 1-1-0 1-01 d(-1) 01-1- 11-0 1-01 c(-1) 4333 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 设设n元元n个方程组为个方程组为 )1( 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 其系数行列式为其系数行列式为 nnnn n n aaa aa

21、a aaa D 21 22221 11211 五、五、 克莱姆法则克莱姆法则. . 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改换为列的元素依次改换为b1， b2，bn，得到的行列式记作得到的行列式记作Dj，即：即： nnn,jnn,j-n n,j,j- n,j,j- aabaa aabaa aabaa 111 31221221 21111111 j D 广州铁路职业技术学院广州铁路职业技术学院（ZHOU） 关于线性方程组（关于线性方程组（1）的解有下述法则：）的解有下述法则： 当线性方程组（当线性方程组（1）的系数行列式）的系数行列式D0 时，该方程组有且只有唯一解：时，该方程组有且只有唯一解： ),