高等数学2017年最新课件数学精神与方法第七讲.

1、数学精神与方法数学精神与方法 第七讲第七讲 运算与迭代的威力（三）运算与迭代的威力（三） 3.3 3.3 迭代产生的混沌与分形迭代产生的混沌与分形 回顾自然数的基本原理之一回顾自然数的基本原理之一递归原理：递归原理： 清楚了。理。这已在第五讲中讲正是基于上面的递归原 本质上运算，其定义的合理性归方式定义的；这两种 是用递法和乘法两种运算，都例如，自然数系中的加 。出递归定义的理论依据上述定理是我们可以做 且 ，满足的映射 的唯一到素。那么，存在的任一个事先给定的元是 为一个映射，是一个集合，设 . , 0 : : nnfnfaf Sf SS aSSS 递归原理 无限次迭代会发生什么现象？无限次

2、迭代会发生什么现象？ 加法和乘法连同其逆运算（减法和除法）的威力在上一讲我们已有所加法和乘法连同其逆运算（减法和除法）的威力在上一讲我们已有所 感受。想一想，感受。想一想，“数形合一数形合一”的实现，竟然是对自然数无限次地运用简单四的实现，竟然是对自然数无限次地运用简单四 则运算的结果。那么，我们在惊叹则运算的结果。那么，我们在惊叹“万物皆数万物皆数”此言不虚的同时，能不感受此言不虚的同时，能不感受 运算运算尤其是无限次运算尤其是无限次运算的震撼吗？！感谢上苍让我们，按逻辑给予的震撼吗？！感谢上苍让我们，按逻辑给予 的启示，凭借自身心灵的力量就学会了无限次运算。的启示，凭借自身心灵的力量就学会

3、了无限次运算。 在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用，在此，我们提醒大家，不要忘记递归原理和数学归纳法原理的作用， 不要无视不要无视“无限无限” 的观念所蕴含的超越性力量。的观念所蕴含的超越性力量。 SSSSSa fffff NNNNN . 迭代与动力系统迭代与动力系统 自然界中的许多现象，是由严格的因果关系所支配的。例如，月亮的阴晴圆缺、四季的 交替更迭、日食和月食的发生等等。这一类完全由因果关系支配的系统，叫做决定性系 统。研究决定性系统的数学分支，称作动力系统理论。 决定性系统的基本特征是：在这个系统中，今日的种种现象，是昨日种种现象的必然结 果；而明日种种现象，又

4、以今日的种种现象为其原因。这就是说，从系统的初始状态出 发，依据系统的因果规律，将确定系统的未来的一切。 从数学的角度看，一个映射:SS 可以代表某种因果规律，其定义域 S 用于表示系统的 各种可能状态构成的集合。设 x0S 表示一个初始状态，那么由状态 x0 到下一个状态(x0) 就是因果规律 在起作用；设想这种规律相继地不断作用下去，我们就会得到一个状态 的序列一个迭代序列： x0， x1=(x0) ， x2 =(x1) ， x3 =(x2) ，。 动力系统理论的基本目的就是了解一个迭代过程之最终的或渐进的性态。 迭代这一数学模式成为描述决定性系统的理想工具。迭代这一数学模式成为描述决定性

5、系统的理想工具。 基本概念基本概念 子动力系统。上所定义的动力系统的 在，称之为上的一个离散动力系统可以定义出不变集。此时， 的为，则称适合，如果对于连续映射定义 。合记作的全体周期点组成的集的轨道称为周期轨道。 周期点。周期点为的真周期，此时亦称叫做成立的最小正整数 得的一个周期点，并将使为，则称使得动点；如果存在正整数 的不为，则称适合，如果对于连续映射定义 的轨道。简称的正向轨道，以下我们称作 表示自然数系其中 我们记 及初始点所定义的离散动力系统对于由连续映射定义 或离散动力系统。所定义的半动力系统，为由 称迭代序列是一个连续映射。我们是一个度量空间，设定义 X AAA AAAXAXX

6、 nxxnxx xxxn xxxXxXX xx kxx XxXX id XXX n n k kk X : :4 Per :3 )(Orb ,:2 , :1 00 00 0 1210 , NN 混沌的数学描述 注注：在动力系统理论中，对混沌有许多可行的定义，我们选择的定义适用面 较宽且较易检验。 。 义为之间的并行间隙度，定与表示轨道其中 ，且 适合点列 ，存在，使得对于任一点，即，存在常数对初始值是敏感相依的）（ ； 中稠密，即在合的全体周期点组成的集）（ 中稠密）；在（意思是 ，有的任一非空开集是拓扑传递的，即，对）（ 上是混沌的：在）三条成立，便称）和（ ），下述（是一个连续映射。如果是一

7、个度量空间，设 xxxx xxxx xxxx Xx Xx X X XUXU UX X XXX k n k k n nn n n n n n k k k k ,dsup:Orb,Orbd OrbOrbOrb,Orbd Orb,Orbd inf, 0,dlim 03 Per Per2 1 32 1:d, 0 0 00 定义5定义5 在着一定的规则因素。则反映出这种系统中存混沌系统的 。 ，使得和两个 不能同时有这样的，互无干的子系统，亦即系统不能分解成两个相 可分解性，即，混沌，意味着这种系统的不混沌动力系统的 要意义和影响了。 界具有重动力系统为什么对科学共识，就不难理解混沌“永动机”不可制造的

8、 达成的想一想科学界好不容易具有重要意义和影响。在认识论和方法论方面 科学界混沌系统的这一属性对则上不能做长期预测。所以，对混沌系统，原 ；都无关和与注意 ，于是混沌动力系统，具 测呢？ 长期预么，对动力系统能否做程预测总是可行的。那因此，对动力系统做短 ；因为 的连续性，由：对任意的 周期点稠密性周期点稠密性 , ,的，并且的，并且都是非空的，即开又闭都是非空的，即开又闭与与 不变子集不变子集 拓扑传递性拓扑传递性 对初值的敏感依赖性对初值的敏感依赖性 评注评注 B BA AX XB BA AB BA A BA XX xxxx xxxx m n k n k kn n n k n k mk n

9、 : 00,dsuplim 0,dlim0,dsuplim 0 0 N 附录附录 度量空间的概念度量空间的概念 。个度量空间，记作 构成了一连同其上的距离；此时，我们说上的一个度量，或距离为那么称 （三角不等式）（ （对称性）（ （正定性），并且，）（ 适合映射是一个非空集合，如果设 d,X ,d,d ,d,d,d3 ,d,d2 , yx0,d0,d1 :d XX yzzxyx xyyx yxyx XXXR定义定义 的稠密子集。是中是稠密的，或称在，那么我们就说如果 为完全闭集。，则称为完全集；如果称 ，则为闭集；如果，则称为开集。如果，则称如果 的内部，导集与闭包。分别为和，并称 使得 ，其

10、中使得 的一个子集。我们记是是一个度量空间，设 XAXAXA AAAA AAAAAAAA AAAA AAAxxxAxXxA xuXuxAxXxA XAX o o n n n o ,0,dlim ,d,B,B0 d, 定义定义 的子空间。简称 的诱导子空间，称之为了度量空间的度量，这就自动生成就自动构成了 上限制在的一个非空子集，那么是是一个度量空间，设 d, d,d, ,dd, 00 000 X XXX XXXXX定义定义 混沌动力系统的例子混沌动力系统的例子 例例1 符号动力系统符号动力系统 （试证之）项相同。的前，则反之，若 ，则项相同，即，的前若 题：另外，不难证明下列命 。）（ ；）（

11、时成立；，且等号仅在）（ 述三条成立：构成度量空间，即，下易知， 。类似表示 并在其上定义度量或 ：，所组成的序列空间与考虑由两个字母，例如 1, 2 1 ,d ; 2 1 ,d), 1 , 0(1, ,d,d,d3 ,d,d20,d1 d, , 2 :,d ,), 2 , 1 , 0(10: 10 2 2 2 210 0 2102 2 n nin k n nii k k kk k 命题命题 动力系统。，称作两个字母的符号所定义的离散动力系统 是连续的）（不难证明上的移位映射上的移位映射；由所定义，称作 由设映射 22 2210321 2 ,: 2 2 : :定义6定义6 上是混沌的。上是混沌

12、的。 在在移位映射移位映射定理1定理1 2 2 理：我们现在来证明下述定 证毕对初值是敏感相依的。此蕴含着 ； ，并且那么， 时。，当 时，当 ，其中 ，命，对） 。；故，并且 ，那么，命对） 是拓扑传递的。；从而于是， 。从而 ，使得则 命） 分三步给出证明。 1,d,dsupOrb,Orbd 0 2 1 ,d 10 01 00 3 Per0 2 1 ,dPer ,2 Orb 2 1 ,d, , ,000011111010110001101000100011100100101 11 11 0 1 1 1110 2210 2 10210 2 10 210 nn nnnknk k n n n n

13、 n nnn n n nn n n n m n m n n n n mn N N NN 证明证明 例例2 单位圆周上的混沌系统单位圆周上的混沌系统 上是混沌的。上是混沌的。在S在S定理2定理2 C C 1 1 。 上的自映射诱导。考虑复平面上的标准度量所并且其上配备的度量由 ，间，即，的单位圆周构成的字空上表示复平面以 211 1 11 ,SS: S 1SS zz zz C 证毕对初值是敏感相依的。这就证得 。且， ，我们有，那么命，设）对（ 。次单位根。由此可见，周期点就是的亦即， ，其中 ，即，周期点，那么的是）设（ 是拓扑传递的。 。由此立即可知，从而有充分大，使现取 使得，那么存在的一

14、个非空开集，设是）如果（ 。易知，我们有 21eOrb,Orbd 0lim , 2 , 1 , 0eeS3 SPer12 22, 1, 0 12 2 eeSe2 Se2 .e0eS1 )S( 2 i 2 i i1 1 ii21i 1i ii1 12 1 n n n n nn n n n n n tnnn t n zzzzzz nzzz n k k nz tUn UtUU zzz n n n 证明证明 例例3 Logistic映射映射f?(x)=?x(1-x) 的一个不变集。是当然， ，托集中的轨道则构成一个康，而始终留在向出发的轨道都将最终趋 的从此开稠集中任一点使得，中便有了一个稠密开集，那

15、么一旦 的不变子集； 是，之中，即单位区间，出发的轨道仍在，的从时，当 局性变化：相图在性态上发生了全 的轨道的整体时，变为大于从小于统；当参数都定义一个离散动力系数 每个二次函）映射。此函数族中的作逻辑斯蒂（统理论中非常著名，称 沌动力系。这个二次函数族在混，参数考虑二次函数族 f f fxf ff xxxf 10 104 1010104 44 Logistic 01 。 的定义是上是混沌的，其中在康托集 时，上是混沌的；当在单位区间 1,0,1,0 1 41,014 4 xfnx xxxf xxxf n N 定理3定理3 开区间）。，它不包含任何非空的）和完全不连通的（即 果它是完全闭的（

16、即，称作是一个康托集，如的一个子集，单位闭区间 定义定义10 ? 的的 构构 造造 与与 它它 上上 面面 的的 轨轨 道道 ?的的构造说明构造说明 0 I 1 I 0 A y x 1 1 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 。， 。，间 满区间的每一个都单调地映 个闭区把这并且， ；， 组成，例如， 个两两分离的闭区间由 ， ：的开区间组成。需指出 个两两严格分离由其中 ， ，那么 命 xfx f A A A A AfA xfxA n n nn n n k k nn n n nn lim 10 2 II10 2 10 2 ,10 ,II 11 10 0 1 0 0 11 0 。使

17、得且 ；单调减地映满，而将单调增地映满将且 那么， 。命的最大值时，）当（ 上是混沌的。 在可得到是连续满射，我们因此上是混沌的，并注意在，由例 其中 交换图，我们考察下面的映射）对（ 性态。解逻辑斯蒂映射的混沌 更好地帮助我们了理的证明概要，这可以我们在此仅给出上述定 Axfnxf fA A fxf fgh xxxf xxkxxh zzgzz hg fk hg xf n N 定理3的证理 1,01,0, 1,0I1,0I,1,0II , 4 2 1 2 1 , 4 2 1 2 1 ,1, 4 2 1 2 1 I, 4 2 1 2 1 ,0I 1 42 1 42 1 , 0 S2 .14 ,

18、12,1 2 1 ,Re, 1,01,1S 1,01,1S 1 1010 10 4 1 4 2 2 1 4 1 4 证毕上是混沌的。在为同胚，故上是混沌的，又在，由例 上的移位映射。是其中 射交换图的同胚，并有如下的映到是从那么， 时。当 时，当 其中 如下：现定义 fh h f h h xf xf xxxxxxh h n n nn 2 2 2 2 2 1 0 210 2 1 I, 1 I, 0 , : 怎样的性态变化？ 及的轨道有怎样的性态以时，也就是问，当而终于出现混沌的呢？ 渐演变为复杂，的轨道是如何从简单逐的增加，着一个有趣的问题是：随 异常复杂。有混沌现象，迭代轨道时，研究的一清二楚

19、；当 单，已被的迭代轨道的性态很简时，在此我们指出：当 xf f xf xxxf 43 4 13 倍周期分支与倍周期分支与FeigenbaumFeigenbaum现象现象 随着随着参数参数 ? 的增大，的增大，f?(x)=?x(1-x) 的相图的相图的演变规律的演变规律 x ? 142 1 3 1 61 2 3 混混 沌沌 区区 0 分支图的解释分支图的解释 周期轨道；稳定的条稳定的后失稳，并随即出现一越过周期点在稳定的 ，使得列的一个严格增的有界序现一个规律：存在参数继续考察下去，可以发 的稳定不动点。都是，并且， ，即其中的两点满足，周期轨道出现了一条稳定的时， 导致当时发生了失稳状况，这

20、变为大于由小于在参数值得注意的是： 点；也变成一个不稳定不动同时的一个不稳定不动点，为时，当 周期点。除不动点外，没有其他的稳定度很低；，此时，为 ，吸引区间为它的一个稳定不动点而的一个不稳定不动点，为时，当 周期的周期点。周期点）外，没有其他除不动点（即时，注意，当 动点。则成为它的一个稳定不而的一个不稳定不动点，变为时，当 动点；排斥右吸引的半稳定不重合，此时不动点为左和的不动点时，当 ；和一个不稳定不动点有一个稳定不动点时，当 。和的不动点为映射，对于 21 , 10,2 61333 3 10 3 -130 31 1 1 , 010 1 101Logistic0 1 1 2 111011

21、1010111110 1110 1 10 31 130 10 101 10 10 k k fxxxxxxfxxf xxf x xfx fx xfx f xfx xxf xxf xxxxxf 时，才出现混沌。越过即 稳定时，当其所有周期轨道均不清，逻辑斯蒂映射只有由分支图，我们可以看 性。们在物理上具有可观测周期点的出现，因为它这里，我们仅关心稳定 常数。称为常数 现象，观察到，因此称为年被美国物理学家首先在 现象体形式似乎无关。这个间上光滑自映射族的具，具有普适性，它与区尤其是 。收敛，比例） ；收敛，且） 一些更有趣的现象通过计算，还可以发现 。 ：岔点，由下述关系确定中各项都称为倍周期分数

22、列 象。是著名的倍周期分岔现 。这就周期轨道；条稳定的后失稳，并随之产生一越过周期轨道在 周期轨道；继而稳定的条稳定的后失稳，并随即产生一越过周期轨道在 Feigenbaum FeigenbaumFeigenbaum. J .M1978 669201609. 4lim2 569945672. 3lim1 1, 84 42 1 1 1 1 22 1 3 2 11 kk kk k kk kk k k k k k xf dx d xxf k k k k 迭代与分形（迭代与分形（fractalfractal） 例例3中的中的Logistic映射映射f?(x)=?x(1-x) ，当，当?大于大于4时，时

23、，会在单位区间会在单位区间0,1中中 产生一个不变集产生一个不变集?，使得，使得f?(x)在在?上是混沌的。上是混沌的。 ?是一个是一个康托集，其几康托集，其几 何形态呈现出复杂的不规则性。值得注意的是，何形态呈现出复杂的不规则性。值得注意的是， ?这种集合也可以看作这种集合也可以看作 是由迭代模式生成。是由迭代模式生成。 康托三分集的构造康托三分集的构造无限次使用给定的迭代模式无限次使用给定的迭代模式 迭代模 式 科赫（科赫（KochKoch） 雪花曲线的构造雪花曲线的构造 Koch雪花曲线是由如下的简单模式经无限次迭代雪花曲线是由如下的简单模式经无限次迭代 而成的：而成的： 迭代模 式 曲

24、曲 线线 是是 多多 少少 维维 的？的？ 简单迭代的无限次使用竟然能使二维正方形由一条曲线填满简单迭代的无限次使用竟然能使二维正方形由一条曲线填满 迭代模式迭代模式 分形几何分形几何 分形的概念是1975年由英国数学家B.B.Mandelbrot引入的； 此概念是指欧氏空间中那种“支离破碎”的集合。 分形的研究开拓了人们对于维度、尺度、结构的新看法 ； 由此产生了分形几何这样一个数学分支。 三十年间，混沌理论、分形几何与复杂性科学汇合，把触 角伸入物理、化 学、生理学、经济学、社会学、气象学， 乃至于天文学所谈及的星体分布等领域，试图解释过去科 学家们所忽略的非线性现象，进而解释大自然和人类社会 的复杂系统及其结构 。 非整数的非整数的HausdorffHausdorff维数维数 分形的重要特征之一分形的重要特征之一 维数是几何对象的一个重要特征量。对于欧氏空间及其线 性流形，它们的维数我们很清楚；对于欧氏空间中的每个 局部可以与一定维数的线性流形同胚的子集，其维数也是 清楚的。它们的维数统统都是整数。例如，点是0维的，线 段和圆周是1维的，正方形和球面是2维的，等等。 可是，康托集C、科赫曲线K和皮亚诺曲线P（具