高等数学之第二部分概率论课件

1、 （一）事件的概率 （二）条件概率与事件的独立性 （三）随机变量及其分布 （四）随机变量的数字特征 1、随机事件 2、概率的概念及性质 3、古典概型 在随机试验中，对某些现象的陈述为随机 事件（也简称事件）。 对于指定的一次试验，一个特定的事件可 能发生，也可能不发生，这就是事件的随 机性。 例1（p1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上 面的点数，我们关注“出现点数不大于4” 这个事件（记之为A）。 当试验结果出现3点时，事件A发生； 当试验结果出现5点时，事件A不发生。 总之，在试验前，无法判断事件A是否发生。 （1） （B包含A）。 （2）A=B（A与B相等）； （3）A与B互斥（A，B不能在

2、一次试验中同时发 生） 例7（p3）有两门火炮同时向一架飞机射 击，考察事件A=击落飞机，依常识， “击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击 中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事 件，如记Bi=击落第i个发动机,i1,2， C=击中驾驶员，相对A而言，B1、B2及 C都较A为简单。我们可以用B1、B2及C表示 A A= B1B2C 这可以简化复杂事件A的概率计算。 概率是事件发生的可能性大小的度量 概率的统计定义频率的稳定值，常常 用于概率的近似计算，是非常有用的。但 要注意，试验次数要足够多。 概型的要求： 有限性：可能结果只有有限个； 等可能性：各个可能结果出现是等可能的。 概率的计

3、算公式 ( ) kA P A n 有利于 的样本点数 样本点总数 例1（p8）设有批量为100的同型号产品， 其中次品有30件。现按以下两种方式随机 抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任 意抽取1件，观察后放回批中，再从中任取 1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽 后不放回，从剩下的产品中再任取1件。试 分别按这两种抽样方式求 （1）两件都是次品的概率； （2）第1件是次品，第2件是正品的概率。 解：容易验证满足古典概型的要求 记A=两件都是次品， B =第1件次品，第2件正品 只讨论有放回情况（不放回情况是类似 的）， 计算样本点总数，注意随机抽取2件产 品的试验可以看成有放回地二次抽

4、取，每 次取一件。而每次抽取均有100种可能结果， 依计算原理，一共有n100*100 10000种可能结果，此即样本点总数。 而构成事件A的样本点的条件必须每 次抽取来自30件次品，因此每次有30种可 能结果，k30*30900种可能结果，于 是 同理，可得 900 ()0.09 k PA n 10000 30 * 70 ()0.21PB 100*100 例8（p13）设一年有365天，求下述事件A， B的概率： A n个人中没有2人生日相同； B n个人中至少有2人生日在同一天。 提示：由于每个人的生日可以是365天中的 任意一天，因此n个人的生日有365 种 可能结果，这就是样本点总数。

5、 n 为求事件A的有利样本点数，注意到为保 证不同生日，必须且只须，除第一人外，其 余的人的生日只能在365天中除去前面已选 定生日的余下天数中随机挑选。因此有利于 A样本点数 k365*364*（365-n+1） 又注意到事件A，B之间有关系BA，使 用P(B)=1-P(A)直接可得P(B)，这一方法 是十分常用的，读者须掌握。 1、条件概率 2、全概率公式和贝叶斯公式 3、事件的独立性 例2（p18）生命表 生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国 1976年的部分生命表。 年龄每十万人中存活人数每千个存活者的死亡率 50907186.43 51901357.00 52895017.62

6、 53888228.30 54880859.03 其中第3列的死亡率就是到达该年龄还存活条 件下，在之后的一年内死亡的条件概率。例如， 为求50岁时的死亡率，记事件A个体在50 岁存活，B 个体在50到51岁之间死亡， 注意到此时AB=B，因而 所以，50岁人的死亡率为 这正好是第3列的第一个数字（须除以1000） 90718 90135 ()( )0.00583P ABP B 100000 ( )0.00583 ()0.00643 ( ) P B P B A P A 0.90718 例3（p19）一批零件共100个，其中次品有10 个，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第 一次为次品，第二

7、次为正品的概率。 解 记A第一次为次品， B 第二次为正品， 要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A) 已知P(A)=0.1，而P(BlA)90/99， 因此 P(AB) P(A)P(BlA)0.1*90/990.091 原因A1原因A2原因An 结果B 全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率。 贝叶斯公式是已知“结果”，推断该“结果”由某“原因”发生的概率。 原因A1原因A2原因An 结果B 例5（p20）血液化验 一项血液化验以概率0.95将带菌病人 检出阳性，但也有1的概率误将健康人检 出阳性。设已知该种疾病的发病率为0.5， 求已知一个个体体检出阳性条件下，

8、该个 体确实患有此种疾病的概率。 此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生 此结果的两个可能“原因”是：一带菌；二健 康人。问题是从已知“结果”是由“带菌”产 生的条件概率：P(带菌l阳性) 记B阳性，A1带菌， A2不带菌 已知 由Bayes公式得到 1 ()0.005P A 95.0)( 1 ABP 01.0)( 2 ABP 323.0 01.0*995.095.0*005.0 95.0*005.0 )( 1 BAP )( 1 BAP要求 带菌 不带菌总和 阳性 0.95 1.99 2.94 非阳性 0.05 197.01 197.06 总和 1 199 200 其中数字0.95，1.99

9、是由假设条件及公式 0.951*0.95 1.99199*0.01 算出，因此已检出阳性条件下（总共2.94人）， 带菌（只有0.95人）的条件概率为 为什么验出是“阳性”，而事实上为 “带菌”的概率如此小？以下是平均总数 为200人的分类表： 323. 0 294 95 )( 1 BAP 例10（p25）保险赔付 设有n个人向保险公司购买人身意外险（保险期 为1年），假定投保人在一年内发生意外的概率为 0.01，求： （1）该保险公司赔付的概率； （2）多大的n使得以上的赔付概率超过0.5。 答案（1）10.99 （2）n685 本例表明，虽然概率为0.01的事件是小概率 事件，它在一次试验

10、中是实际不会发生的；但若 重复做n次试验，只要n685，该小概率事件至少 发生一次的概率要超过0.5，因此决不能忽视小概 率事件。 n n 1、 随机变量的分布函数 2、离散型随机变量的分布 3、连续型随机变量的分布 4、二维随机变量的联合分布与边缘分布 分布函数的图像，分布函数的图像，y0及及y1是两条渐近线是两条渐近线 y0 y1 例5（p33）袋中有5个球，分别编号 1,2, 5，从中同时取出3个球，以X表示 取出的球的最小号码，求X的分布律与分布 函数。 解：由于X表示取出的3个球中的最小号码， 因此X的所有可能取值为1,2,3，X1表 示3个球中的最小号码为1，那么另外两个 球可在2

11、,3,4,5中任取2个，这样的可能取 法有 种；而在5个球中取3个球的可能取 法共有 种， 4 2 5 3 例10（p38）设每分钟通过某交叉路口的汽 车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内 无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同， 求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。 解 设X服从参数为的泊松分布，由题意知 P(X=0)=P(X=1) 可解得 1 因此，至少有两辆车通过的概率为 P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-2e -1 b a dxxfbXaP 2 2 2 1 x ey 1、 数学期望 2、 方差和标准差 3、 协方差和相关系数 4、 大数律和中心极限定理 例5（p79）分赌

12、本问题（point problem） 甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全 部赌本2a元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相 等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原 因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？ 提示：如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的； 能否依据现在的胜负结果2：1来分呢？但仔细推算 也是不合理的，当时著名数学家和物理学家Pascal 提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们 各自的期望所得就是他们应该分得的。 例11（p82）把n个球放进M只盒子，假定 每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的 盒子数X的数学期望。 例有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为： 第一批 110，120，120，125，125，125，130， 130，135，140 第二批 90，10