三次函数性质总结

1、三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数 /= h+b （丘 0）, 知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值.那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当 k0时函数单调递增；当 k0在m, n上包成立的充要条件 f （m ）0YL f （n 02接着，我们同样学习了二次函数/二以+必+*=0）,图象大致如下:bX 利用已学知识归纳得出：当 窗0时（如图1）,在对称轴2a的左侧单调递减、右侧单调递增,b4ac-b2x-y =对称轴2a上取得最小值4度 ；_ b当以0时（图2）,在对称轴21的左侧单调递增、右侧单调递减，bAac

2、-b1x = y 二对称轴上取得最大值41 .在某一区间取得最大值与最小值.其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置.总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢?三次函数专题、定义:定义1、形如y =ax3+bx2+cx+d(a0)的函数，称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。定义2、三次函数的导数 y = 3ax2 +2bx+c(a=0),把A=4b2 12ac叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题， 已经成为高考命题的一个新的热点和亮

3、点。特别是文科。系列探究1:从最简单的三次函数 y=x3开始y反思1:三次函数y =x3 +1的相关性质呢？J3TjOx反思2:三次函数y =-x +1的相关性质呢？3反思3:二次函数y=(x1) +1的相关性质呢？(2012天津理)(4)函数f(x) =2x +x3 -2在区间(0,1)内的零点个数是B(A) 0(B) 1(C)2(D) 3系列探究2：探究一般三次函数 f (x) = ax3+bx2+cx + d(a a 0)的性质:先求导 f (x) =3ax2 2bx c(a 0)1 .单调性：_2(1)若XZb) 12ac0,令 f (x)=3ax2+2bx+c = 0两根为 ox2且

4、 x1 f(x)(或f(x 0)wf(x),则称函数f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，称点x0为极大值点(或极小值点)。(1)若E0,此时函数无极值；三次函数y = f(x fe( qf)上不存在极值点。(2)若Z0,三次函数y =f(x)在(R *)上的极值点要么有两个。且 f (x) =3ax +2bx+c=0 两根为 xi,x2且 xi 0时，方程F (x) =0有两个不等的实根，记为xi、x2,则xi、x2是f (x)在(-笠+若上的两个极值点；当A=4b2-i2ac =0时，该方程有两个等根：xi=x2=x,由下表可知y=f (x)在(-笠+囚上单调增，此时y=f (x)没有

5、极值点；x(-S)x0)x0(x0, +若f/ (x)+0+f(x)当A=4b 2-i2ac v 0时，f/ (x) =0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。3 .奇偶性：函数当且仅当b = d = 0时是奇函数。bb4 .对称性：函数图象关于点(-一，f(-一)中心对称(了解) 3a3a证明：三次函数f (x) =ax3 +bx2 +cx+d关于点(m, n)对称的充要条件是 f (m _x) + f (m + x) = 2n ,3232a(m x) +b(mx) +c(m x)+d +a(m+x) +b(m + x) +c(m+x) + d = 2n ,整理得，(6ma 2b) x2 (

6、2am3 2bm2 2mc 2d) = 2n据多项式恒等对应系数相等，可得b l3,2b、m =且n=am + bm +mc+d = f (m) = f (一一),3a3a从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(_2, f(-)；3a 3a证明：设函数/O) = sd+友产+的对称中心为(成n)。按向量：=(旅，理)将函数的图象平移，则所得函数二+构同是奇函数，所以，(父十称)十/(一元,+冽)一力s = 0化简得：(汨$+8)1 +0病+知*? +4幽+廿一甩=0上式对工e K恒成立，故细事十占=0 ,得附=一2-,制二由-brn2 4-4- d - /(- 2)。如3a所以，函数y =

7、sm*+占/ + ex +d&卉0)的对称中心是(一- , 1f (五)。实际上：其导函数为fx) =3ax2 + 2bx+c=0对称轴为b，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对、x 二-一3a称轴，可见，y = f(x)图象的对称中心在导函数y =，,(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。由上又可得以下结论：y = f (x)是可导函数，若 y=f (x)的图象关于点 (m,n)对称，贝U y = f (x)图象关于直线 x = m对称.证明 y = f(x)的图象关于(m,n)对称，则f (x) + f (2m x) = 2n,f(x) am。f (x ：x)

8、f (x)xf(2m -x)f (2m - x lx) - f (2m - x)二 lxm02n - f (x - x) - 2n f (x)lim0f (x) - f(x x)x=f(x)19y = f(x)图象关于直线x = m对称.若y = f(x)图象关于直线x = m对称，则y=f(x)图象关于点(m,0) Mfc证明 y = f(x)图象关于直线x = m对称，则f (x) = f (2m_x),f (2m -x) = l.im。f (2m -x : =x) - f (2m -x)f (x x) - f (x).x=f(x)，f(2m x)+f(x) =0 , y y = f(x)

9、图象关于点(m,0)对称.这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数系列探究3:三次函数f (x)图象的切线条数由三次函数的中心对称性可知：过三次函数的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心的任一点与该三次曲线相切的直线有二条。例.已知曲线y= x3/3 + 4/3,求曲线在点(2,4)处的切线方程解：f x) =x2, f (2) = 4,曲线在点(2,4)处的切线斜率为k = f， (2)=4代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y-4 = 4 ( x-2),即 y= 4 x 4变式：已知曲线 y = x3/3 + 4/3

10、,则曲线过点(2,4)的切线方程 。错解：依上题，直接填上答案4x-y-4 = 0错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点(2, 4)在曲线 y = x3/3 + 4/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点(2,4)的切线对应的切点为(xo, xo3/3+4/3),斜率为 k=xo2,切线方程为 y - (xo3/3 + 4/3 ) =xo2 (x-xo)即 y=x o2x- 2x 03/3+4/3点(2, 4)的坐标代入，得 4=2x o2- 2x 03/3+ 4/3 ,2 xo3-6 xo2+8=O ,. xo3-3xo2+4=O

11、 ,又 。斗(3xo2-3) =0(xo+1) (xo2-xo + 1) -3 (xo-1) (xo+1) =0伙0+1) (xo2-4xo+4) =0. xo=-1 或 xo=2切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点(2, 4)7 一个是“过点(2, 4)； 一字之差所得结果截然不同。系列探究4： 一般三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d(a 0)的图像:a0a0& 0A 0图象/ x1 x2 xJ xMy x_x2 XV x0X从数形结合的视角看 三次方程的实数根:三次函数y=f (x)的图象与x轴交点个数交点个数的本质是多项式ax3+bx2+cx+d在实

12、数集上怎样进行因式分解，记 ax3+bx2+cx+d=a (x-x1) (x-x2) (x-x3),(i)若xlwx2wx3,则交点为3个；(ii)若x1、x2、x3中有两个相等，不妨 x1=x2wx3,则交点为2个。(iii)若x1=x2=x3 ,则交点为1个；(iv)若 f (x) =a (x-x0) (x2+dx+e),且 有 d2-4ev0, y=f (x)的图象与 x 轴只有一个交点。(D若 =( 2b)2 -12ac0 ,令 f (x)=3ax2 +2bx + c = 0两根为 土？2且 x1 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与 x轴只有一个交点,

13、所以原方程有且只有一个实根。则方程有且只有一个实数解口，且口 x2,若f (x1)叶?)0,则方程有三个不同的实数解%P,Y(aP ,/)，且有ax1Pcx2M ?，若f (x。=。或 (x2 )=。，则方程有两个不同的实数解由图像能够探究出在区间m,n的最大值与最小值吗?函数了=原/+6或工声0),工日孙 抡,若餐w明，闵，且/K)= o,贝u： fmax(x)= f (m), f (Xo )，f(n;J(力皿加=/0口)，/() 拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件:(i) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b *至少存在一点U ,使得f/ b -f

14、 ab - a请你掌握：三次函数解析式的形式(1) 一般形式：f (x) = ax3 bx2 cx d(a ； 0)(2)已知函数的对称中心为(m,n),则 f (x) = A(xm)3 + B(x - m) + n(a 0 0)(3)已知函数图象与 x轴的三个交点的横坐标a,P,V(a B ，,则f (x) = a(x - - )(x - )(x 一 )(a ； 0)(4)已知函数图象与 x轴的一个交点的横坐标xo,则f (x) = (x - x0)(ax2 + mx+ n)(a * 0)3(2012全国大纲版10)已知函数y=x 3X+C的图像与X轴恰有两个公共点，则 C =A. 2或 2

15、B. -9或 3C. 1或 1 D. 3或 1【解析】因为三次函数的图像与X轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而2f(x)=3x 3=3(x)(x+1),当* = 1 时取得极值由 f(1)=0或f(1)=0可得c2=0或c+2 = 0,即c = 2。答案A(2012 福建文)12.已知 f (x) =x3-6x2+9x-abc,ab0; f(0) f (1) 0;f (0) f (3) 0, f(3)=-abc0, f(0)=-abc0.3222【法二】又因为 f (b) =b3 -6b2 +9babc = b(b2 6b+9) abc = b(b 3

16、)2 ac= 0,所以 ac为正数，所以 a为正数，又因为 f(0)=abc0, f(3) 0.【点评】本题考查运用导数分析函数的能力，数形结合及代入转化的能力.【答案】A（2012重庆理卷）（8）设函数/（X）在R上可导，其导函数为 /,口）,且函数 =。-加3 的图象如题（8）图所示，则下 列结论中一定成立的是（A）函数/（X）有极大值/和极小值）（B）函数/（工）有极大值/H）和极小值7（C）函数/有极大值/（2）和极小值/（-2）（D）函数J 0有极大值f J2）和极小值j （2）（2012座庆文）设函数f （x）在R上可导，其导函数为f X x）,且函数f （x）在x=-2处取得极小

17、值，则函数 y=xf（x）的图象可能是（高考含参三次函数题型分析我们知道导数是研究函数的重要工具，三次函数的导数是二次函数，正因如此，三次函数问题的解决往往关键转化为二次函数问题，如二次函数方程根的问题，二次不等式解集问题等常见题型。首先，回顾一下三次函数f (x) =ax3+bx2+cx+d(a #0)图象【题型1】含参三次函数单调性问题例一(08全国文21 )已知函数 f(x)=x3+a x2+x+1,a R.(I)讨论函数f(x)的单调区间；2 1(n)设函数f(x)在区间( ,)内是减函数，求 a的取值范围.3 3解法分析：对于问题(I )我们往往采用的解题思路是：求函数f (x) =

18、ax3+ bx2 +cx+d的导数为f (x) =3ax2 +2bx +c然后往往按以下步骤进行讨论分析。(1) 讨论导数二次项系数是否为零(2) 讨论导数判别式(3) A 0求导函数等于0时的根，并比较根的大小(5) 结合到导函数图象，得出三次函数单调性 卜面我们按照这个思路解决一下f (x) = x3 +ax2 +x +1 则 f (x) = 3x2 +2ax +1(1)讨论导数二次项系数是否为零(2)讨论判别式 A=4a212(3) A 0求导函数等于0时的根，并比较根的大小0 时，243或2 x1，(5)结合到导函数图象，得出三次函数单调性所以此时函数f (x)的单调递增区间为a -

19、a2 -3 aa2 -3、,S)和(，)单调递减区间为(33-a - - a -3 - a , 1, a -321.对于问题(n )设函数 f(x)在区间(-_,_)内是减函数，求 a的取值范围 33往往转化为二次函数不等式问题，采用根的分布数形结合、主参分离求最值、求根公式三种方法解决。.21 221.f(x)在区间(-,)内是减函数，则 f (x) = 3x +2ax+1W0对x w (一一，一一)恒成立。333 3方法一：根的分布，数形结合由f (x) =3x2 +2ax +1=0的两根在区间外则有,2f (-) -01成立，可以解得a 2f (-) 03方法二：主参分离，求最值_ 2一

20、 2o213x 13x 1f (x) =3x +2ax +1 23300【题型2】不等式与恒成立问题 例二(08安徽文)设函数f (x) =ax3 3x2 +(a +1)x +1,其中a为实数。 32(i)已知函数 f (x)在x=1处取得极值，求a的值；(n)已知不等式 f(x) x2 -x-a+1对任意aw(0,)都成立，求实数x的取值范围。解法分析：(I) f(x) =ax2 3x+(a+1),由于函数f (x)在x = 1时取得极值，所以 f (1) = 0 即 a 3 + a+1 =0,： a =1对于问题(n)有两种方法：方法一转化为关于a的函数g(a),-.、一 ,2 _-2.

21、. 一 由题设知：ax 3x+(a+1)x x a+1对任息a匚(0,)都成立,22即a(x +2)x -2x 0对任意aw(0,收)都成立设 g(a) =a(x2+2)x2 2x(aw R),则对任意 xR, g(a)为单调递增函数(a R)所以对任意a w (0,抬)，g(a) a 0恒成立的充分必要条件是 g(0)之0即-x2 -2x 0, . -2 x 0于是x的取值范围是x | -2 x 0对任意a0,依)都成立22x -2x . 、. . 一 x - 2x于是a a x2 2x对任意a w (0, y)都成立，即x2 2x 0x2 2x2 2-2x0于是x的取值范围是x|-2x0 , x取足够小的负数时有 f(x)0,所以曲线y = f (x)与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知：55当f(x)的极大值 +a0,即aw(1, 十笛)时，它的极大值也大于0,一，八.一 ，、，1,因此曲线y =f(x)与x轴仅有一个交点，它在 (,)上3所以当公-也十叼时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点。方法二：将f (x)与x轴交点问题转化为函数 y,y=-aj-1一,、一、325勿求函数g(x)=x x - x的极大值 27数y -a只有一个交点所以当 au(-00,