含绝对值不等式解法

1、含绝对值不等式解法 含绝对值不等式解法 复习绝对值的意义：复习绝对值的意义： |x|= X0 x X=00 X0 - x 一个数的绝对值表示：一个数的绝对值表示： 与这个数对应的点到与这个数对应的点到 原点的距离原点的距离,|x|0 A x1 X OB x2 |x1|x2| =|OA| =|OB| 代数的意义代数的意义 几何意义几何意义 含绝对值不等式解法 类比：类比：|x|3 的解的解 |x|0的解的解 |x|-2的解的解 |x| 的解的解 1 5 归纳：|x|0) |x|a (a0) -axa 或或 x-a -aa -a a 含绝对值不等式解法 1形如形如|x|a (a0)的含绝对值的不等

2、式的解集的含绝对值的不等式的解集: 不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|- -axa的解集为的解集为x|xa 0- -aa 0- -aa 含绝对值不等式解法 如果把如果把|x|2中的中的x换成换成“x-1”,也就是也就是 | x-1 | 2中的中的x换成换成“3x-1”,也就也就 是是 | 3x-1 | 2如何解？如何解？ 含绝对值不等式解法 题型一题型一:研究研究|ax+b|)c型不等式型不等式 在这里，我们只要把在这里，我们只要把ax+b看作是看作是 整体就可以了，此时可以得到：整体就可以了，此时可以得到： | | (0) ax bccax bc ax bcax bcax bc c 或

3、 含绝对值不等式解法 x257 . 例例1 1 解解不不等等式式 x xx61. ，或或 解解：由由原原不不等等式式可可得得 xx257257 . ，或或 整整理理，得得xx61. ，或或 所所以以，原原不不等等式式的的解解集集是是 xx257257 . ，或或 含绝对值不等式解法 练习:解不等式. (1)|x5|1. 解:(1)由原不等式可得8x58, 3x13 原不等式的解集为x|3x13. (2)由原不等式可得2x + 31, x1 原不等式的解集为x | x1. 含绝对值不等式解法 解题反思：解题反思： 2、归纳型如、归纳型如(a0) | f(x)|a 不不 等式的解法。等式的解法。

4、1、采用了整体换元。、采用了整体换元。 | f(x)|a-af(x)a f(x)a 含绝对值不等式解法 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x 变式例题：变式例题：型如型如 | f(x)|a的不等式中的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？用代数式替换，如何解？ |x|= x X0- x X0 思考二思考二：是否可以转化为熟悉问题求解？：是否可以转化为熟悉问题求解？ 思考一思考一：关键是去绝对值符号，能用定义吗？：关键是去绝对值符号，能用定义吗？ 含绝对值不等式解法 5x-6 0 5x-66-x () 或或 () 5x-60 -（5x-6）6-x 解解()得：得：6/5x2解解() 得：得

5、：0 x6/5 取它们的并集得：（取它们的并集得：（0，2） 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x 解：解： 含绝对值不等式解法 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x 解：解： 由绝对值的意义，原不等式转化为：由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)5x-6(6-x) 综合得综合得0 x2 解解()得：得：0 x2; 含绝对值不等式解法 |x|0）的解集为：）的解集为： x|axa（a0）的解集为：）的解集为： x|xa f xg xf xg xf xg x( )( )( ) 或或； ( )( )( )f xg xg xf xg x ； 推广推广 题型：不等式题型：不等式|x

6、|a （a0）的解集）的解集 f xa af xa f xa(0) 或或； (0)f xa aaf xa ； 推广推广 含绝对值不等式解法 练习练习1 (1) ; (2) 312xx 312xx 题型：不等式题型：不等式|x|a （a0）的解集）的解集 含绝对值不等式解法 2.解不等式解不等式 ：|3x-1|x+3. 1 |2 2 x xx 或 含绝对值不等式解法 2 |34|1.xxx解习不练等式 22 22 34 034 0 341(34)1 xxxx xxxxxx 原不等式或解解1 1: : 4114 1351 xxx xxx 或 或 或 1,513,xxx 或，或 |1,13,5.x

7、xxx 原不等式的解集为或或 含绝对值不等式解法 2 |34|1.xxx解习不练等式 22 34(1)341xxxxxx 原不等式 或 解解2 2: : 22 230450 xxxx或 13,1,5,xxx 或或 |1,13,5.x xxx 原不等式的解集为或或 (1)(3)0,(1)(5)0 xxxx或 含绝对值不等式解法 解不等式：解不等式：|x2-3|2x. 练习练习: :绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 解析解析:(等价转换法等价转换法)原不等式原不等式 x3或或x-1或或-3x1. 故原不等式的解集为故原不等式的解集为x|x1或或x3. 032032 2323 22 22 xxx

8、x xxxx 或 或 含绝对值不等式解法 练习：把下列绝对值不等式转练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。化为同解的非绝对值不等式。 3、| x-1 | 2( x-3) 4 4、 2x x 2x x 5、| 2x+1 | | x+2 | 1、|2x-3|4 含绝对值不等式解法 例例3、解不等式、解不等式 11 102 6346 33 5341341 1 3 x x xx xx 或 或 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 52 1 33 xxx 或 10 |- 3 含绝对值不等式解法 例例3、解不等式、解不等式 13x+46 解法二：解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于：依绝

9、对值的意义，原不等式等价于： -63x+4-1 或或 13x+4 6 原不等式的解集为：原不等式的解集为： 52 1 33 xxx 或 10 |- 3 52 1 33 xx 解得：或， 10 - 3 比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二 去掉绝对值符号去掉绝对值符号的依据是的依据是： (0) axbaxbaxb axbbxa a 或 或- | | 含绝对值不等式解法 题型：不等式题型：不等式n| ax + b | m (mn0) 的解集的解集 mbax nbax | | 方法一：等价于 不等式组 ,naxbmmaxbn 或 方法二：几何意义 推广

10、推广 a af f ( (x x) )b ba af fx xb b或或 - -b bf fx xa a( )( ) -m-nnm0 含绝对值不等式解法 例例2 2 解不等式解不等式 3|3-23|3-2x x|5 .|5 . 5|23|31x：解法5|32|3x 5|32| 3|32| x x 5325 332332 x xx或， 41 03 x xx或， 即 .4301|xxx或，原不等式的解集是 03-14 题型二：不等式题型二：不等式n| ax + b | m (mn0) 的解集的解集 含绝对值不等式解法 例例2 2 解不等式解不等式 3|3-23 |x-3| 所以所以 两边平方可以等

11、价转化为两边平方可以等价转化为 （x-1)2(x-3)2 化简整理：化简整理：x2 平方法：注意两边都为非负数平方法：注意两边都为非负数 |a|b|依据：依据：a2b2 解不等式： 31xx 含绝对值不等式解法 题型三：不等式题型三：不等式 的解集的解集|f(x)| |g(x)| 22 f xg xf xg x 32xx例 、 解 不 等 式 22 2 2)(2) 22) xxxx xx xx xx x x 22 22 （） （）0 (0 (20 -1 推广推广 不等式解集为x x -1 含绝对值不等式解法 练习练习3 解不等式解不等式 |2 | |1 |xx 题型三：不等式题型三：不等式 的

12、解集的解集|f(x)| |g(x)| 含绝对值不等式解法 19xx2.解不等式 19xx 22 19xx 5 x 591 四、练习四、练习 解： 含绝对值不等式解法 xaxbc xaxbc 题型：和 型不等式的解法 含绝对值不等式解法 例例4 4 怎么解不等式怎么解不等式| |x-1|+|-1|+|x+2|+2|5 5 呢呢? ? 方法一：利用绝对值的几何意义方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结体现了数形结 合的思想合的思想). 题型四：含多个绝对值不等式的解法题型四：含多个绝对值不等式的解法 含绝对值不等式解法 125xx例5解不等式 ， 。A， BA；B A，BA ，BBAB，B B

13、，；BAAA，A A。 ，A， A，B，： 23 5 5 5 1 123 121 11 11 111 111 式式的的解解集集是是 故故原原不不等等的的距距离离之之和和都都大大于于的的任任何何点点到到点点 的的右右边边的的左左边边或或点点点点的的距距离离之之和和都都小小于于 之之间间的的任任何何点点到到点点与与从从数数轴轴上上可可以以看看到到点点 这这时时也也有有右右移移动动一一个个单单位位到到点点 向向将将点点同同理理这这时时有有到到点点 个个单单位位向向左左移移动动将将点点数数都都不不是是原原不不等等式式的的解解 上上的的因因此此区区间间两两点点的的距距离离是是那那么么 对对应应的的点点分

14、分别别是是设设数数轴轴上上与与解解法法 x 12-2-3 ABA1B1 含绝对值不等式解法 解解:(:(1)1)当当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于 x2 2 x 1 1 -(-(x-1)+(-1)+(x+2) +2) 5 5 x-21-21 x-3 3 x (3)(3)当当x-2-2时，原不等式同解于时，原不等式同解于 (2)(2)当当-2-2x1 1时，原不等式同解于时，原不等式同解于 方法二：方法二： |x-1|+|x+2|5，利用利用| |x-1|=0,|-1|=0,|x+2|=0+2|=0的零点的零点, ,把把 数轴分为三段数轴分为三段, ,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝

15、对然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解（值符号的不等式求解（零点分段讨论法零点分段讨论法） 题型四：含多个绝对值不等式的解法题型四：含多个绝对值不等式的解法 综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为 23x xx或或 含绝对值不等式解法 解解 原不等式化为原不等式化为| |x-1|+|-1|+|x+2|-5 +2|-5 0 0 令令f( (x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5 ,+2|-5 ,则则 -3-3 1 1 2 2 -2-2 -2-2 x y 由图象知不等式的解集为由图象知不等式的解集为 23x xx或或 方法三：方法三： |x-1|+|x+2|

16、5通过构造函数，利用函数的通过构造函数，利用函数的 图象图象(体现了函数与方程的思想体现了函数与方程的思想) 题型四：含多个绝对值不等式的解法题型四：含多个绝对值不等式的解法 (x-1)+(x+2)-5 (x1) f(x)=-(x-1)+(x+2)-5 (-2x2 + x. 解析原不等式变形为| X +1| + |X 3| 2 + X. 若| X +1| = 0,X =-1;若| X 3| = 0,X=3. 零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示. -13 (1)1,10,30,xxx 当时 (1)(3)2,0.xxxx原不等式变形为即 , |1 |0 |.1x xx xx x此时 得 含

17、绝对值不等式解法 三、例题讲解三、例题讲解 例2 解不等式|x +1| + |3x| 2 + x. 解： -13 (2)13,10,30,xxx 当时 (1)(3)2,2.xxxx原不等式变形为即 , | 13 |2 | 12;xxx xxx 此时 得 (1)1 ,1;x xx 当时 原不等式|的解为 (3)3,10,30,xxx 当时 (1)(3)2,4.xxxx原不等式变形为即 , |3 |4|;4x xx xx x此时 得 |2.,4x xx则原不等式的解或集为 ,) 3()2() 1 (的结果取并集将、 24 含绝对值不等式解法 三、例题讲解三、例题讲解 例3 解不等式| x 1 | + | 2x4 |3 + x 解:(1)当x1时原不等式化为: 1x + 4 2x 3 + x 1 2 x (2)当1x 2时,原不等式化为: 14230 xxxx 又 1x 2，此时原不等式的解集为 (3)当x2时,原不等式化为 44123xxxx 综上所述，原不等式的解集为 .4 2 1 | xxx或 12 12 41/2 含绝对值不等式解法 例例6 解不等式：解不等式： (1)333xx (2)3211 2 x xx (3