实数与向量的积

1、2.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算 1. 1.向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则 作法: 在平面中任取在平面中任取 一点一点O,O, o 回顾旧知回顾旧知: 过过O作作OA= a 过过A作作AB= b 则则OB= a+b. a+b b a A 如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a+ba+b. . b B a 首尾相接首尾连首尾相接首尾连 2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则 作法:在平面中任取一点在平面中任取一点O, o 以以OA,OBOA,OB为边作为边作 平行四边形平行四边形 C 如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作

2、向量作向量a+b. b a a A b B 过过O作作OA= a 过过O O作作OB= bOB= b a+b 则对角线则对角线 OC= a+bOC= a+b 共起点共起点 3.向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则） 如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b. a b 作法作法: 在平面中任取一点在平面中任取一点o o, 过过O O作作OA= aOA= a 过过O O作作OB= bOB= b o a A b B 则则BA= a-bBA= a-b a-b 共起点共起点 实际背景 表示，试画出该向量。用 秒的位移对应的向量那么在同方向上向量 ，一秒钟的位移对应一物体作匀

3、速直线运动 a a 3 3, aa3 探索探索1: 根据向量加法根据向量加法 的法则可得的法则可得 3a 3a 3a O a a a ABC 3a 由图可知，向量由图可知，向量 OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记 作作3 a，即，即OC=3a. 显然，显然，3a的方向与的方向与a的方向相同，的方向相同，3a 的的 长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |. P Q a M a N a 3a 由图可知，由图可知， PN=PQ+QM+MN =(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a) 记作记作-3 a，即，即PN=

4、- 3a 显然，显然，-3a的方向与的方向与a的方向相反，的方向相反，-3a的的 长度是长度是a的长度的的长度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。 | | | |;aa （1 1） 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一 个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ， 它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下： a a （2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。 a a 0 a a 0 特别的，当特别的，当 时，时， 00.a

5、思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点向量数乘和实数乘法有那些相同点? 那些不同点那些不同点? a 是一个向量；是一个向量； a 的长度等于的长度等于 的的 绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度 的乘积。的乘积。 a )2(3a )2(3a a 6= a b ba ba 22 a 2 b 2 baba 22)(2 探索探索2: (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。 (2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并，并 进行比较。进行比较。 设设 为实数，那么为实数，那么,

6、 ( (1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ; ( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ; ( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. . 特别的，我们有特别的，我们有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = ( (- -a a) ), , ( (a a- -b b) )= = a a- - b b. . a a 、 b b 第一分配律第一分配律 第二分配律第二分配律 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运

7、算. 对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ， 恒有恒有 1 12 2 、 、 1111 .abab （）= 例例1.计算：计算： ( 3) 4 ; 3() 2(); (23) (32). a a ba ba ab cab c (1) (2) (3) 112 2 5 352 a b abc 解： 解：解：DC= AB= a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a MN=DN-DM= a-b- a= a-b 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 D A N M C B 例例1: 梯形梯形ABCD，且，且|AB|=2|DC| M、N分

8、别为分别为DC、AB中点。中点。 AB=a AD=b 用用a，b表示表示DC、BC、 MN。 巩固练习巩固练习: :设设D D、E E、F F分别是分别是 ABCABC的边的边BCBC、CACA、 ABAB上的点上的点, ,且且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC, CE=(1/4)CA.CE=(1/4)CA.若记若记AB=m,CA=n.AB=m,CA=n.试用试用m,nm,n表示表示 DEDE、EFEF、FDFD A A B B C C D D E E F F 25 312 13 24 11 63 DEmn EFmn FDmn 思考思考: 向

9、量共线定理向量共线定理 对于向量对于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一个实数，如果有一个实数 ， 使使 b = a ，那么由实数与向量的积的定义知，那么由实数与向量的积的定义知， a 与与b共线共线. 反过来，已知向量反过来，已知向量a与与b共线，共线， a 0 ，且向量，且向量 b的长度是向量的长度是向量a的的倍，即倍，即| b | a |= ，那么当，那么当 向量向量a与与b同方向时，有同方向时，有b = a ，当向量，当向量a与与b反方反方 向时，有向时，有b = - a . 也就是说：如果也就是说：如果a与与b共线，那么有且只有一共线，那么有且只有一 个实数个实数 ，使，使b

10、 = a . 例例2:如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的的 中点，点中点，点N是是BD上的一点，上的一点， ， 求证求证M、N、C三点共线三点共线. BDBN 3 1 A MB C D N6 1 3 1 2 1 1 1 MM C C = =MM N N 3 3 所以所以M.N.C三点共线三点共线 练习练习1 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则共线则k=_(kR) 解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k =-1

11、k=-1 练习练习2: e1、e2不共线不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与与b是否共线。是否共线。 解：假设解：假设,a与与b共线则共线则 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 这样这样不存在。不存在。 a与与b不共线。不共线。 练习练习3:3:设两非零向量设两非零向量a a和和b b不共线，不共线， 如果如果ABABa ab b，CDCD3 3（a ab b），），BC=2a+8bBC=2a+8b 求证：求证：A A、B B、D D三点共线。三点共线。 例例2:2:（2003 2003 辽宁）已知四边形辽宁）已知四边形ABCDABCD是菱形，

12、是菱形， P P点在对角线点在对角线ACAC上（不包括端点上（不包括端点A A、C C），）， 则则APAP等于等于 ( )( ) A A、 B B、 C C、 D D、 (),(0,1)AB AD 2 (),(0,) 2 ABBC (),(0,1)AB AD 2 (),(0,) 2 ABBC A A 变形变形1:1:（2003 2003 全国）全国）O O是平面上一是平面上一 定点，定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点， 动点动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的的( )( ) A A外心外心B B内心内心C C重心重心

13、D D垂心垂心 (),0,), | | ABAC OP OA ABAC B B 变形变形2:OA2:OA、OBOB不共线，不共线，AP=tABAP=tAB，用，用OAOA、OBOB 表示表示OPOP (1)OPt OAtOB 所以：所以： O O A A B B P P 因为因为OP=OA+APOP=OA+AP =OA+tAB=OA+t(OB-OA)=OA+tAB=OA+t(OB-OA) =(1-t)OA+tOB=(1-t)OA+tOB 思考思考: :若上式成立若上式成立, ,则则A A、B B、P P有什么关系有什么关系? ?反之反之? ? 结论：结论：已知已知OAOA、OBOB不共线，若不

14、共线，若P P、A A、B B三点共线三点共线 (1)OPt OAtOB 则则 则则P P、A A、B B三点共线三点共线. . (1)OPt OA tOB 若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点, ,且且 若若O O是平面上任意一点是平面上任意一点, ,且且 OPOAOB 其中其中, , 则则P P、A A、B B三点共线三点共线 1 等价命题：等价命题：OA、OB不共线，若不共线，若P、A、B三点共线三点共线, 则则 其中其中 OPOAOB 1 巩固练习巩固练习: :如图如图 OABOAB中中,C,C为直线为直线 ABAB上一点上一点, , AC=CB(-1),AC=CB(-1), 1 OAOB OC 求 证 ： A A B B O O C C 练习练习1 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a