第6章-因素模型与套利定价理论

1、第6章-因素模型与套利定价理论 n利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从中赚取无风险利润的 行为称为套利行为称为套利( arbitrage )。套利行为需要同时进行等量证券的买卖，。套利行为需要同时进行等量证券的买卖， 以便从其价格关系的差异中获取利润。套利概念是资本市场理论的以便从其价格关系的差异中获取利润。套利概念是资本市场理论的 核心。核心。 n当不考虑（无风险）套利机会时均衡市场价格是合理的，这也许是当不考虑（无风险）套利机会时均衡市场价格是合理的，这也许是 资本市场理论中最基本的原理。能保证不存在套利可能性的价格关资本市场理

2、论中最基本的原理。能保证不存在套利可能性的价格关 系是极有效力的，假如实际证券价格允许套利，其结果将是强大的系是极有效力的，假如实际证券价格允许套利，其结果将是强大的 压力迫使证券价格恢复均衡。压力迫使证券价格恢复均衡。 第第6 6章章 因素模型与套利定价理论因素模型与套利定价理论 第6章-因素模型与套利定价理论2 第第 一节一节 因素模型因素模型 一、单因素模型的起因 假定公司收益的不确定性只有以上两种来源，即对所有公司都有 影响的宏观经济因素和单个公司特有的因素，这样就可以把公司 的持有期收益率写成如下形式： （6-1） 其中， 为该证券在持有期期初时的期望收益率， 为持有期间非预期的宏

3、观经济事件对证券收益率的影响， 为非预期的公司特有事件对证券收益率的影 响。 ( ) iiii rE rme ( ) i E r i m i e 第6章-因素模型与套利定价理论 将非预期的宏观经济因素记为F ，并假设不同公司对 该因素有不同的敏感度，记为 i ，上式演变成： （6-2） 公司收益率的方差为： （6-3） 不同公司收益率之间的协方差为： （6-4） ( ) iiii rE rFe 2222 ( ) iiFi e 2 cov( ,)cov(,) ijiijjijF r rFeFe 第6章-因素模型与套利定价理论4 二、单指数模型 Sharpe用股票指数的收益率代替了单因素模型中的宏

4、观影响因素， 称为单指数模型： （6-5） 写成风险溢价或者超额收益的形式，可以得到： （6-6） 或者写成 （6-7） ( ) iii Mi rE rre () ifiiMfi rrrre iiiMi RRe 第6章-因素模型与套利定价理论 2 cov( ,)cov(,) var()cov( ,) iMi MiM iMiMiM r rre r re r 求出股票i的收益和市场指数收益之间的协方差为 （6-8） 如果对（6-8）两边取期望，我们可以得到 （6-9） cov(,) var() iM i M R R R ( )() ifiiMf E rrE rr 第6章-因素模型与套利定价理论 三

5、、多因素模型 两因素模型为例，假设宏观经济风险主要来源于 经济周期和利率的变化。这样以来，我们就能用 GDP的增长率和利率水平来衡量系统性风险。任 何股票的收益率将同时受到这两个因素以及公司 自身特有因素的影响，可以将其写成: （6-10） 其中， 为因子载荷。 ( ) iiiGDPiIRi rE rGDPIRe 第6章-因素模型与套利定价理论 例：使用多因素模型来进行风险评估例：使用多因素模型来进行风险评估 n以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下：以东北航空公司为例，其两因素模型估计结果如下： n r=0.133+1.2GDP-0.3IR+e r=0.133+1.2GDP-0.3IR

6、+ei i n这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率这说明基于现有的信息，东北航空公司的期望收益率 为为13.3%13.3%，但如果在预期的基础上，但如果在预期的基础上GDPGDP每增加一个百分每增加一个百分 点，股票的收益率将增加点，股票的收益率将增加1.2%1.2%，但是对于非预期的利，但是对于非预期的利 率每增加一个百分点，股票收益率将降低率每增加一个百分点，股票收益率将降低0.3%0.3%。 第6章-因素模型与套利定价理论 多因素证券市场线多因素证券市场线 n 多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。多因素模型仅是用来描述影响证券收益的因素。 可是，可是，E(r)从哪儿来？从

7、哪儿来？ 在两因素经济中，风险能够用式（在两因素经济中，风险能够用式（6-10）衡量，）衡量， 证券的期望收益率是以下三项之和：证券的期望收益率是以下三项之和： 1 )无风险收益率；无风险收益率； 2)对对GDP风险的敏感度乘以风险的敏感度乘以GDP风险的风险溢风险的风险溢 价；价； 3)对利率对利率IR风险的敏感度乘以风险的敏感度乘以IR风险溢价。风险溢价。 根据资本资产定价模型：根据资本资产定价模型： 第6章-因素模型与套利定价理论 多因素证券市场线多因素证券市场线 E(r)=rf+E(rM)-rf （6-11） 若以若以RPM来表示市场组合的风险溢价，那么式（来表示市场组合的风险溢价，那

8、么式（6- 11）可以变换为：）可以变换为： E(r)=rf+RPM (6-12) (6-13) 式中式中GDP表示证券收益对不可预测的表示证券收益对不可预测的GDP增长的敏增长的敏 感度，感度，RPGDP指和指和GDP相关的一个单位风险溢价。相关的一个单位风险溢价。 显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或显然，多因素模型提供了一个比单指数模型或CAMP 更丰富多彩的方法来处理风险补偿。更丰富多彩的方法来处理风险补偿。 IRIRGDPGDPf RPRPrrE 第6章-因素模型与套利定价理论 例：多因素证券市场线例：多因素证券市场线 n上例中，东北航空公司上例中，东北航空公司GDP的的为为1.

9、2，利率的，利率的为为-0.3，假设，假设GDP 单位风险的风险溢价为单位风险的风险溢价为6%，利率单位风险的风险溢价为，利率单位风险的风险溢价为-7%，假，假 设无风险利率为设无风险利率为4%，公司股票的收益率，公司股票的收益率是多少呢？是多少呢？ n 4.0% 无风险利率无风险利率 n +1.2*6% +GDP风险的风险溢价风险的风险溢价 n +(-.3)*(-7%) +利率风险的风险溢价利率风险的风险溢价 n总计：总计：13.3% 总收益总收益 n 用（用（10-5）式计算的结果：）式计算的结果： n E(r)=4%+1.2*6%+(-0.3)*(-7%)=13.3% 第6章-因素模型与

10、套利定价理论 例题例题 n假定假定F1与与F2为两个独立的经济因素。无风险利率为为两个独立的经济因素。无风险利率为6%，并且，所，并且，所 有的股票都有独立的企业特有有的股票都有独立的企业特有(风险风险)因素，其标准差为因素，其标准差为4 5%。下。下 面是优化的资产组合。面是优化的资产组合。 资产组合资产组合 F1的贝塔值的贝塔值 F2的贝塔值的贝塔值 期望收益率期望收益率 A 1 . 5 2 . 0 3 1 B 2 . 2 -0 . 2 2 7 在这个经济体系中，试计算期望收益在这个经济体系中，试计算期望收益-贝塔的关系如何？贝塔的关系如何？ 第6章-因素模型与套利定价理论 122 1 1

11、122 W e need to find the risk prem ium (R P ) for earh of the tw o factors: ()- ()- In order to do so, w e solve the follow ing sys 6-13 ()() -() - pfpfpf R PErrand R PErr ff E rrE rrE rr 解 ： 公 式显 示 12 12 12 tem of tw o equations, tw o unknow ns: 316(1.5)(2.0) 276(2.2)(-0.2) T he solution to this se

12、t of equation is: 10% 5% T hus, the expected return-beta relati R PR P R PR P R Pand R P 12 onship is: ()6%(10% )(5% ) pp Erp 第6章-因素模型与套利定价理论 套利，利用证券定价之间的不一致进行资金转移，从 中赚取无风险利润的行为称为套利。粗略地讲就是指 投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取 正收益的投资行为。套利过程中所构造的投资组合就 被称为套利组合。具体来说，套利机会可以分为两类， 第一类套利我们又称为强套利 （Strong Arbitrage）， 它是指

13、投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在 未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期 初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零 的收益。 第第 二节二节 套利与套利组合套利与套利组合 第6章-因素模型与套利定价理论14 套利的特点是：套利的特点是： 1）无投资需要）无投资需要,投资者可建立大的头寸来获取高利润；投资者可建立大的头寸来获取高利润； 2）在有效市场内）在有效市场内,有利的套利机会会很快消失。有利的套利机会会很快消失。 套利定价理论的三个基本假设：套利定价理论的三个基本假设： 1）因素模型能描述证券收益；）因素模型能描述证券收益； 2）市场有足够多的证券来分散非系统风险；）

14、市场有足够多的证券来分散非系统风险； 3）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。）完善的证券市场不允许有持续性的套利机会。 第6章-因素模型与套利定价理论 套利定价理论简介套利定价理论简介 罗斯（罗斯（Ross，1976）给出了一个以无风险套利定价为基础的）给出了一个以无风险套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（多因素资产定价模型，也称套利定价理论模型（Arbitrage Pricing Theory，APT）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其）。该模型由一个多因素收益生成函数推导而出，其 理论基础为理论基础为一价定律一价定律（The Law of One P

15、rice），即），即两种风险收两种风险收 益性质相同的资产不能按不同价格出售益性质相同的资产不能按不同价格出售。该模型推导出的资产收益。该模型推导出的资产收益 率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组率决定于一系列影响资产收益的因素，而不完全依赖于市场资产组 合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。合，而套利活动则保证了市场均衡的实现。 同时，同时，APT对对CAPM中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松，中的投资者风险厌恶的假设条件作了放松， 从而较从而较CAPM具有更强的现实解释能力。具有更强的现实解释能力。 第6章-因素模型与套利定价理论 套利与均衡套利与均衡 n套利与风险

16、收益的支配性观点相比较，两者在支持均套利与风险收益的支配性观点相比较，两者在支持均 衡价格关系上存在重要区别：衡价格关系上存在重要区别： n一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多一个支配性的观点认为，当均衡关系被打破时，许多 投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据投资者将改变他们的组合，虽然每一个投资者将根据 其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的其风险厌恶程度只进行有限的改变，但这许多有限的 资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均资产组合改变的集合将引起大规模的买卖活动以使均 衡价格得到恢复；衡价格得到恢复； nAPT理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总

17、理论认为：当套利机会存在时，每一个投资者总 想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参想尽可能地拥有较多头寸，因此无需很多的投资者参 与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。与就可以带来足够的价格压力使其恢复均衡。 第6章-因素模型与套利定价理论 套利组合 n套利组合：与套利组合：与CAPM相比，相比，APT的假设条件少，使用比的假设条件少，使用比 较方便。一个套利组合只要满足三个条件：较方便。一个套利组合只要满足三个条件： n套利组合要求投资者不追加资金。用套利组合要求投资者不追加资金。用Xi表示持有证券表示持有证券 i的金额和权重的变化，的金额和权重的变化，Xi可正可负。即可正可负。即

18、 X1+X2+X3+ .+Xn=0； n套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没 有因素风险；有因素风险； 1 X1+2X2+3X3+ .+nXn=0 n套利组合的预期收益率大于零。套利组合的预期收益率大于零。 r1X1+r2X2+r3X3+ .+rnXn0 第6章-因素模型与套利定价理论 例 61 假设经济中有 A、B、C、D四只股票，每个股票在一期时的收 益受到一期时的通货膨胀率和利率水平的影响。下面给出了各股票在 不同经济形势下的收益状况： 假设每种经济形势发生的概率都等于 25，而且在零期每种股票的 价格都等于 1 元，那么在这种价格水平

19、下，市场是否存在套利组合？ （p115) 第6章-因素模型与套利定价理论 二、套利的几何意义 图6-1 在阴影区域的投资组合价格为负 第6章-因素模型与套利定价理论 图6-2 两个证券在不同状态下的收益状况 第6章-因素模型与套利定价理论 图6-3 不存在套利机会的情况 第6章-因素模型与套利定价理论 图6-4 存在第二类套利机会的市场 第6章-因素模型与套利定价理论 图6-5 存在强套利机会的市场 第6章-因素模型与套利定价理论 例题（构建套利组合）例题（构建套利组合） 第6章-因素模型与套利定价理论 第6章-因素模型与套利定价理论 三 、一价定律、 价格的正定性与无套利 一价定律（Law

20、of One Price）是指对于任意两个投资组合，如 果它们在未来每种状态下的收益都是相同的，那么这两个投资 组合在当前的价格也应该相等。一价定律意味着零收益的证券 其价格也必定等于零。 当市场中不存在套利机会时，一价定律必然得到满足，否则 可以通过卖空高价证券然后买入低价且有相同收益的证券进行 套利。 无套利成立所需的另外一个条件是所有在未来每种状态下都 有正收益的投资组合其价格都要大于零。 第6章-因素模型与套利定价理论 定理定理61 当价格函数同时满足一价定律和严格正定当价格函数同时满足一价定律和严格正定 性的时候，市场是无套利的，反之亦然。性的时候，市场是无套利的，反之亦然。 第一，

21、套利行为是使市场达到有效的一个重要手段。 第二，套利限制（Limit of Arbitrage） 基本面风险（Fundamental Risk） 噪音交易者风险（Noise Trader Risk） 某些套利的执行成本过高 （Implementation Cost） 第6章-因素模型与套利定价理论 n假设投资者拥有假设投资者拥有1、三种证券，投资者拥有的、三种证券，投资者拥有的 可用来投资的资产价值为可用来投资的资产价值为120万元。每个投资者都认万元。每个投资者都认 为这三种证券的期望收益率和因素敏感性为：为这三种证券的期望收益率和因素敏感性为： i ri i n证券证券.9 n证券证券.0

22、 n证券证券 .8 n现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到现在要问：这三种证券达到均衡了吗？假如没有达到 均衡，为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发均衡，为了达到均衡，证券的价格和期望收益率会发 生什么样的变化呢？生什么样的变化呢？ 例题例题 第6章-因素模型与套利定价理论 n要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。要回答上述问题，必须先了解一下套利组合这个概念。 n如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而如果存在一个证券组合无须外加资金、风险为零，而 收益率大于零，则称这种证券组合为套利证券组合。收益率大于零，则称这种证券组合为套利证券组合。 n如果上面三种证券能

23、形成套利证券组合，说明还有套如果上面三种证券能形成套利证券组合，说明还有套 利机会，市场还未达到均衡。利机会，市场还未达到均衡。 第6章-因素模型与套利定价理论 n设设Xi代表持有第代表持有第i种证券的改变量（占投资者原有种证券的改变量（占投资者原有 资产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合资产价值的百分比），则根据我们对套利证券组合 的定义，套利证券组合必须符合以下三个条件：的定义，套利证券组合必须符合以下三个条件： 0 0 0 332211 332211 321 rXrXrX XbXbXb XXX 第6章-因素模型与套利定价理论 n仅仅满足等式仅仅满足等式(1)，（，（2）的解有无穷多

24、个，我们任意）的解有无穷多个，我们任意 令令X1=0.1，可解得，可解得X2=0.075，X3=-0.175，再代入，再代入 （3）式得：）式得： n15%0.1+21%0.075+12%(-0.175) =0.975%0 可见存在套利机会。可见存在套利机会。 n如果投资者用卖掉证券如果投资者用卖掉证券3的资金的资金 n 1200.175=21万万 n去买入证券去买入证券1、2各为各为 n 1200.1=12万和万和1200.075=9万万 n就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风就可以在无须外加资金又不冒任何风险（设非因素风 险足够小，可以忽略）的情况下获利，提高其证券组险足够小，可

25、以忽略）的情况下获利，提高其证券组 合的期望收益率。合的期望收益率。 nAPT认为所有投资者都会利用这样的机会去套利，卖认为所有投资者都会利用这样的机会去套利，卖 掉证券掉证券3去买入证券去买入证券1和和2。因此，此时证券。因此，此时证券3的供给大的供给大 于需求，而证券于需求，而证券1和和2的供给小于需求，市场未达到均的供给小于需求，市场未达到均 衡。衡。 第6章-因素模型与套利定价理论 n那么，那么，ri和和i之间呈什么关系时市场才是均衡的呢？之间呈什么关系时市场才是均衡的呢？ 只有在所有证券的只有在所有证券的ri和和i之间呈直线关系时，市场之间呈直线关系时，市场 才能达到均衡。这可以通过

26、图形来说明。才能达到均衡。这可以通过图形来说明。 M=N i C=D i 图图6-6 第6章-因素模型与套利定价理论 n如果所有的如果所有的ri和和i之间不是呈直线关系，就必然存之间不是呈直线关系，就必然存 在套利机会，市场就未达到均衡。如图在套利机会，市场就未达到均衡。如图6-6，当分别，当分别 代表代表1、2、3三种证券的三种证券的ABC三点不在一条直线上三点不在一条直线上 时，总是存在通过卖出证券时，总是存在通过卖出证券3（C点），来购买点），来购买D点点 所代表的由证券所代表的由证券1、2组成的证券组合的套利机会。组成的证券组合的套利机会。 由于大家都愿意卖掉由于大家都愿意卖掉3来买入

27、来买入1、2进行套利，这样进行套利，这样 对证券对证券1、2的的 需求就会上升，需求大于供给，结果需求就会上升，需求大于供给，结果 导致证券导致证券1、2的价格上升，而因为大家都卖掉证券的价格上升，而因为大家都卖掉证券 3，使它的需求小于供给，从而价格下跌。根据：，使它的需求小于供给，从而价格下跌。根据： 1 0 1 0 01 i i i ii i P P P PP r 第6章-因素模型与套利定价理论 n若若Pi0变小，则会使变小，则会使ri增大，若增大，若Pi0增大，则增大，则ri 将变小。将变小。 n所以，大家都卖掉证券所以，大家都卖掉证券3，买入证券，买入证券1、2的结的结 果是证券果是

28、证券1、2的价格越来越高，使得的价格越来越高，使得r1、r2越越 来越小，而证券来越小，而证券3的价格越来越低，从而的价格越来越低，从而r3越越 来越大直到（来越大直到（3）式最终等于零，不再有套利）式最终等于零，不再有套利 机会为止。其结果是证券机会为止。其结果是证券3的期望收益率有所的期望收益率有所 上升，而证券上升，而证券1、2的期望收益率有所下降，最的期望收益率有所下降，最 后三者在同一条直线上。后三者在同一条直线上。 第6章-因素模型与套利定价理论 M=N i C=D i 进一步地，如图进一步地，如图6-7，若有，若有N个点，其中个点，其中N-1个点在个点在 一条直线上。如果第一条直

29、线上。如果第N点位于点位于N-1个点所在的直线个点所在的直线 之下，则因为存在卖掉第之下，则因为存在卖掉第N种股票去买入与其因素种股票去买入与其因素 风险相同（由风险相同（由N-1种证券构成）的证券组合种证券构成）的证券组合M的套的套 利机会，利机会， 图图6-7 第6章-因素模型与套利定价理论 n所以大家都会去卖掉第所以大家都会去卖掉第 N 种股票买入种股票买入M，使得第，使得第N种种 股票的价格下跌，期望收益率不断上升，而其他股票的价格下跌，期望收益率不断上升，而其他N-1 种股票的价格不断上升，期望收益率不断下降，直到种股票的价格不断上升，期望收益率不断下降，直到 所有股票的期望收益率和

30、因素敏感系数呈直线关系时，所有股票的期望收益率和因素敏感系数呈直线关系时， 套利活动才会停止。套利活动才会停止。 n此时，新的直线比原来的位置相比，往下移了一点。此时，新的直线比原来的位置相比，往下移了一点。 如果第如果第 N种证券位于直线之上，则存在卖掉其他证券种证券位于直线之上，则存在卖掉其他证券 去买第去买第 N种证券的套利机会。其过程与位于直线之下种证券的套利机会。其过程与位于直线之下 时的情形非常类似，但新直线比原来的直线的位置相时的情形非常类似，但新直线比原来的直线的位置相 对往上移了。当然，所有证券的对往上移了。当然，所有证券的ri和和bi在均衡时严格在均衡时严格 处于一条直线上

31、只有在没有交易费用的时候才成立，处于一条直线上只有在没有交易费用的时候才成立， 如果考虑交易费用，则它们将分布在理想情况下的直如果考虑交易费用，则它们将分布在理想情况下的直 线周围。线周围。 第6章-因素模型与套利定价理论37 第第 三节三节 套利定价理论及其检验套利定价理论及其检验 一、APT的推导 Ross（1976）提出了套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，APT）： 假定： 1、市场中所有参与者对资产收益率有相同的信念，且都 能用上式的因素模型来表示。 2、市场中风险资产的个数n远远大于系统性风险的种类 数k 。 3、市场中不存在套利机会。 1122 ( )

32、 iiiiikki rE rb Fb Fb F 第6章-因素模型与套利定价理论 1 1 11111 0 ( ) n i i nnnnn pi iiiiiiikkii iiiii w rwrwE rwb Fwb Fw 表示投资在第i种资产上的资金在总财富中的比例 i w 通过 的选择可以使投资组合满足： （1）每个资产上的投资金额在总财富中的比例都很小， 即 ； （2）投资组合中包含足够多的资产，即n足够大； （3） 的取值能够使投资组合对所有系统性风险的敏感 度都等于零。 1 i w n i w 第6章-因素模型与套利定价理论 1 1 11 1 01122 0 0 ( )0 03 ( ) n

33、ii i n iiik i nn pi iii ii n i i iiikik nw ww b rw rw E r w E rbbb 足够大的时候，有 的选择使得（1） （2） （ ） 当以上三式成立时，有 （4） 第6章-因素模型与套利定价理论 12 0 0 1122 0, ( ) ,k ( )( ) ( ) ( ) APT iiik ff k jjfjjjf jj iffifikfik bbb E rr ErEr E E rrrbrbrb 对无风险资产而言，从而有 构造“纯因素”的投资组合该组合对第 种系统性风险 的敏感度为1，对其他风险的敏感度为0，从而有 令代入（4）式得 （）（）（） 这是的基本形式。 第6章-因素模型与套利定价理论 二、“纯因素”组合的构造 假定市场中有足够多的证券，由于可以利用分散化的方法 构造出一些只受系统性风险影响的投资组合，因此，下面 的例子中就不考虑风险资产的非系统性风险。 例62 假设经济中有两种系统性风险 F1和 F2。证券