第六章 多元函数微积分课外习题.doc

1、第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介一、 填空题1. 点到坐标轴的距离为；2. 以点为球心过点的球面方程为；3. 将坐标面上的圆绕轴旋转一周所生成的球面方程是_，且球心坐标是_，半径为_；4. 方程表示旋转曲面.，它的旋转轴是；5.方程在平面解析几何中表示_，在空间解析几何中表示_；6. 点到平面的距离为；7. 过三点，的平面方程为；8. 在空间直角坐标系中方程表示；9. 曲面在坐标面上的截痕是；10. 双曲抛物面与坐标面的交线是；11. 由曲面与所围成的有界区域用不等式组可表示为；12. 用平面去截双叶双曲面，所得截痕是_；若用平面截上述曲面所得截痕是 .二、分别画出下列方程在平面

2、和空间上的图形（1）（2）（3）三、画出下列各图（1）坐标面上绕轴旋转而成的曲面； （2）；（1） 由和所围立体的表面.四、作出下列不等式所确定的空间区域（1） (2)(3) (4). 五、指出下列方程所表示的曲线(1) ； (2) .六、画出下列曲线在第一卦限的图形：.6.2 多元函数基本概念一、填空题1. 已知，则它的定义域是；2. 若，则；3. 若.；4. 若，则；5. 函数的间断点是_；6. 若；7. 已知，则；8. 函数的定义域是；9. ； 10. .二、叙述极限的定义.三、求下列极限（包括非正常极限）（1）; (2) ;（3）; (4) ;（5）; (6) ;（7）; (8) ;（

3、9）; (10) ;（11）; (12) ;（13）； （14）；四、叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.五、证明.六、证明：极限不存在.七、讨论下列函数在点处的连续性（1）； （2）；（3）；（4）八、若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件，即对任意和，有，其中为常数，求证在内连续.九、证明：若分别对每一变量和是连续的，并且对其中的一个是单调的，则是二元连续函数.6.3 偏导数一、 填空题1. 设，则；2. 设，则；3. 设，则；4. 设，则；5. 设，则；6. 函数在点处的一阶偏导数是；7. ，则它的所有二阶偏导数是；8. ，则此三元函数的所有一阶偏导数是 ；9

4、设在点处存在偏导数，则.二、设考察函数在(0,0)点的偏导数.三、设函数 , 求.四、 判断函数 , 在(0，0)处是否连续五、证明: 函数 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.六、证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在.七、, 求.八、求下列函数的所有二阶偏导数(1) ； (2) ；(3) ； (3) .九、求下列函数指定阶的偏导数：(1) ,求； (2) ，求所有三阶偏导数；(3) ,求，； (4) ,求；(5) ，求；(6) ,求.十、验证下列函数满足 .(1) ；(2) ；(3) ； (4) .十一、设函数，证明 .十二、. ，试化简.6.4 全微分一、 填空题1. 一元函数的可

5、导与可微是的.但对多元函数而言，函数连续以及偏导数存在只是全微分存在的条件，而非条件；2. 多元函数可微的充分条件是；3. ，则它的全微分是；4. ，则在点(1,0)和(0,1)处的全微分是 ；5. 在点（0，1）处的全微分是 .二、.求下列函数的全微分（1） ； （2）设，求；（3），求当的全增量和全微分. 三、考察函数在(0,0)点的可微性，其中四、证明函数在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微.五、证明函数的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而在原点(0,0)可微.六、设 证明在(0,0)点可微，并求 七、设很小，利用全微分推出下列各式的

6、近似公式：(1) (2) .八、.计算的近似值.九、设在点的某邻域内存在且在点可微，则有 . 6.5 复合函数微分法一、 填空题1. 设而，则；2. 设而，则；3. 设,而，则；4. 设,而，则；5. 设，则；6. ，则.二、求下列函数的所有二阶偏导数（具有二阶连续偏导数）(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ； (6) .三、设，其中是可微函数，验证.四、设具有二阶连续偏导数，求.五、设，为常数，函数二阶可导，.证明：.六、验证下列各式：(1) , 则；(2) , 则；(3) , 则；(4) , 则.七、设与有二阶连续导数，且，证明：. 6.6 隐函数微分法一、填空题1设，则

7、；2设，则；3设，则；4设，则；5.设，求=.二、.设，求.三、.设，求.四、求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .五、求由下列方程所确定的函数的全微分；(1) ； (2) ；(3) ； (4) .六、设，其中为由方程所确定的隐函数，求和. 七、设，其中为由方程所确定的隐函数，求，.八、设由方程确定，F具有一阶连续偏导数，证明：.九、设，都是由方程所确定的有连续偏导数的函数，证明：.6.7 多元函数的极值一、填空题1z驻点为_；2的极_ _值为_；3的极_值为_；4在约束条件下的极大值为_；5在上的最大值为_，最小值为_.二、下列函数的极大值点和

8、极小值点：(1) (2) 三、求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值：(1) (2) 四、求证：在有最小值，无最大值.五、求下列隐函数的极大值和极小值：(1) ；(2) 六、有一块铁片，宽24cm，要把它的两边折起做成一个槽，使得容积最大，求每边的倾角和折起的宽度(见下图). 七、求下列函数在所给条件下的极值：(1) ，若； (2) ，若；(3) ，若； (4) ，若；(5) ，若，.八、求函数在条件之下的极值，并证明：当时.九、求体积一定而表面积最小的长方体.十、长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆. 这两段的长各为多少时，它们所围正方形面积和圆面积之和最小?十一、求时函数在球

9、面上的极大值. 证明为正实数时，.十二、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养（万尾），乙种鱼放养（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为，求使产鱼总量最大的放养数.6.8 多重积分的概念与性质一、填空题1当函数在闭区域D上_时，则其在D上的二重积分必定存在；2二重积分的几何意义是_；3若在有界闭区域D上可积，且，当时，则；当时，则；4，其中是圆域的面积，（注：填比较大小符号）.二、用二重积分定义计算 三、比较下列积分的大小：(1) 与其中积分区域D是由轴，轴与直线所围成.(2) 与，其中.四、确定下列积分的符号:（1) （2）（3).五、估计下列积分的值（1），其中;（2），其中.六、利用中值定理估计

10、积分之值.七、求二重积分.八、若在上可积，那么在上是否可积？考察函数在0,10,1上的积分6.9 二重积分的计算法一、填空题1 其中；2其中D：顶点分别为的三角形闭区域；3将二重积分，其中D是由轴及上半圆周所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_；4将二重积分，其中D是由直线及双曲线所围成的闭区域，化为先后的积分，应为_；5将二次积分改换积分次序，应为_；6将二次积分改换积分次序，应为_；7将二次积分改换积分次序，应为_；8将二次积分，改换积分次序，应为_.9将下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分； .10化下列二次积分为极坐标系下的二次积分;二、设在区域D上连续,将二重积分化为不同顺序的累次

11、积分:(1) D由不等式所确定的区域;(2) D以为顶点的三角形内部. 三、 在下列积分中改变积分的次序:(1)； (2)；(3) (4)四、计算下列二重积分：(1) ,其中D是由曲线与直线所围成的闭区域; (2) ,其中D是由圆周所围成的闭区域;(3) ,其中(2) ;(4) ，其中（5），其中五、对连续函数证明:.六、计算下列二重积分：1）其中D由抛物线所围成;2）3）,其中.七、交换积分次序，证明：.八、求由曲面及所围成的立体的体积.九、计算二重积分，其中D由不等式确定（注意选用适当的坐标）.十、利用二重积分，计算下列曲面所围成的立体体积.（1）; （2）.第六章 复习题一、填空题1；2

12、函数的定义域为；3设；4设，则，；5设 ，；6设具有一阶连续导数，则；7设由方程所确定，则；8设由方程确定，则.二、选择题1函数的定义域是（ ）； A、 B、 C、 D、2若函数在点处（ ），则在该点处可微； A、连续 B、偏导数存在 C、连续且偏导数 D、某邻域内存在连续的偏导数3设，其中均为可微函数，则（ ）；A、 B、C、 D、4设，则（ ） A、1 B、 C、 D、5对于函数，点（ ）；A、不是驻点 B、是驻点而非极值点C、是极大值点 D、是极小值点6对函数，点（ ）；A、不是驻点 B、是驻点却非极值点C、是极大值点 D、是极小值点7二元函数的极大值点是（ ）；A、 B、C、 D、 8的极值点是（ ）.A、 B、C、 D、9函数 在原点间断，是因为该函数（ ）；A、在原点无定义 B、在原点二重极限不存在C、在原点有二重极限，但无定义 D、在原点二重极限存在，但不等于函数值10设 ，则（ ）.A、6 B、3 C、-2 D、2三、计算下列各题 1设，求； 2.设，求； 3 ，求；4.设方程 确定了隐函数，求