中考复习之函数综合题(含答案)

1、11中考数学专题复习之四2015年中考数学强化练习题、填空题1. （2013 潍坊，18, 3分）如图，直角三角形 abc中， acb 90 , ab 10, bc 6, 在线段ab上取一点d ,作df ab交ac于点f .现将 adf沿df折叠，使点a落在线段db上，对应点记为 a； ad的中点e的对应点记为e1 .若 e1fa1s e1bf , 则 ad =.解：/acb =90 , ab = 10, bc=6,，ac= ab2- bc2 = 102-62 = 8,设 ad = 2x, 点e为ad的中点，将 adf沿df折叠，点 a对应点记为 a1，点e的对应点为 e1, .ae = de

2、 = de1 = a1e1 = x, .dfxab , z acb = 90 , /a = /a, /.a abc afd , . ad : ac = df: bc ,即 2x： 8 =df: 6 ,解得 df=1. 5x,在 rtdef 中，e1f2= df2+de12 = 3. 25 x 2 ,又be = ab-ae=10 3x, efas/xebf, . ef: ae1 =be : ef , . e1f = ae?be,4 2 3 2 122过 a作 ab pp,则 ab oagsin 45阴影部分paap的面积为s pp ab2. （2013山东德州，17, 4分）如图，在正方形 ab

3、cd中，边长为2的等边三角形 aef的 顶点e、f分别在bc和cd上，下列结论： ce= cfd/ aeb= 750be+df= efs正方形abcd= 2+*3,其中正确的序号是 。（把你认为正确的都填上）【解析】二.在正方形 abcd与等边三角形 aef中，ab=bc=cd=daae=ef=af. .ab段 adf . df=be 有 dc- df=bc- be 即 c已 cf,正确；ce=cf z 0=90 , ，/fec=45，而/ aef=60 , /aeb= 180 60 45 =75，正确；根据分析 be+dfwef,不正确；在等腰直角三角形cef中，ce=cf=ef sin45

4、 = j2 .在rtadf中，设ad=x,则df=x j2,根据勾股定理可得，x2 (x 22)2 2解得，刀二工26,2x2 2 v6 (舍去).所以正方形abc面积为x2 ( 642+ 3 ,正确.22t a 0,3. （2013四川成都，23, 4分）若关于t的不等式组 2t 1&4恰有三个整数解，则关于 x的13a 2一次函数y= 4 xa的图象与反比例函数 y= x 的图象的公共点的个数为 .【解析】解不等式组得 awtw旦原不等式组恰有三个整数解，即 1, 0, 1,2va21 4x3ax1. 一次函数y= lxa的图象与反比例函数 y= 3a 2的图象的交点坐标即是方程组4xa,

5、一 一的解.消去方程组中的y得，工xa=3a，.即x2-4ax-4（3a+2）=0.其24x 判别式= ( 4a)2+16(3a+2)= 16(a2+3a+2)=16(a+1)(a+2).当一2vaw1 时，(a +1)(a+2)0时，y随x增大而增大，则一次函数 y= - 2x+m的图象一定不经过第一象限.2 若函数的图象关于 y轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3, y=2x+1 , y=x中偶函数的个数为 2个.a. 1b. 2c. 3d. 4解答：:一.解：若代数式 美有意义，则x的取值范围为xv 1且xw0,原命题错误；我市生态旅游初步形成规模，2012年全年生态旅游收入为

6、 302 600 000元，保留三个有效数字用科学记数法表示为3.03 x 108元正确.若反比例函数 产三(m为常数)的增减性需要根据m的符号讨论，原命题错误；若函数的图象关于 y轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有y=x2中偶函数,原命题错误，故选c.5. (2013山东临沂，11, 3分)如图，在平面直角坐标系中，点 a, a在x轴上，点b, b在 y 轴上，其坐标分别为 a1 (1, 0), a (2, 0), b1 (0, 1), b2 (0, 2),分别以 a, a九b其中的任意两点与点 o为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是(b2b1o a1 axb.c. 3d.

7、2【解析】oab qab2, q/ab2 qab,等腰三角形有两个，所以概率是.(2013山东临沂,14, 3分)如图，正方形 abc, ab- 8cm,对角线ac, bd相交于点点e, f分别从b, c两点同时出发，以1cm/s的速度沿bc cd运动，到点c, d时停止设运动时间为 t(s), 4oef的面积为s(cm2),则s(cm2)与t (s)的函数关系可用图象).(2013山东德州11, 3分)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：b24c0b+c+1=03b+c+6=0当 1x3 时，x2+(b-1)x+c0 o 其中正确的个数是a、1 b、2c、3 d、4【解

8、析】二抛物线与x轴没有交点，b2-4c0,于是错误；当x=1时，抛物线与直线交点坐标为（1,1）满足函数y=x2+bx+c,即b+c+1=1,错误；:（ 3, 3）在函数y=x2+bx+c 图象上，3b+c+9=3,即3b+c+6=0,所以正确；观察图象可知，当 1xx2+bx+c, 即x2+（b1）x+c 1）与x轴交于 d。（1）求二次函数的解析式和 b的坐标；（2）在直线l上找点p （ p在第一象限），使得 以p、d、b为顶点的三角形与以 b、c、o为 顶点的三角形相似，求点 p的坐标（用含 m的 代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否 存在第一象限内的点 q,使 bp

9、q是以p为直 角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出 点q的坐标；如果不存在，请说明理由。解：（1）二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点的坐标为（0,-2）, c = -2 ,-点a（-1,0）、点b是二次函数b2a = 0 , b=0 ,y=ax2-2的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2.二次函数的解析式为点（2） 设点y=2x2-2 ;b与点a（-1,0）关于直线x=0对称，点b的坐标为（1, 0）;b boc=/ pdb=9o,点 p在直线 x=m上，p 的坐标为（m,p） , ob=1 , oc=2, db= m-1 , dp=|p| ,当 bc3吨时,| dp, 2= 上m-1

10、1- mm-1点p的坐标为（m, -2-）或(m,1- mt)；一, ob当 bo8 bdp时，o=点p的坐标为（m, 2m-2）或dbdp综上所述点p的坐标为（m,(m, m-121 m-1_=2 |p|2-2m);(m,p=2m-2 或 p=2-2m,1- m2 )、(m( 2m-2)或(m, 2-2m);（3）不存在满足条件的点点q在第一象限内的抛物线 y=2x2-2 令点q的坐标为（x, 2x 2-2）, x1, 垂足为e, bps等腰直角三角形，上，过点q作qh直线l ,pb=pq / peqw pdb/ epqh dbw pe* bdw qe=pd pe=bd当p的坐标为（m,m2

11、1）时,m-1 m-x = 2 ,m=0m=1c m-12x 2-2- 飞 =m-1,与x1矛盾，此时点x=x=1当p的坐标为（m,q不满足题设条件;1- m 、2-2一）时，m-1 x-m= 2m=-m=1c 1- ml 2x2-2- -2 = m-1,与x1矛盾，此时点 当p的坐标为（m,x=-x=1m-x =2m-2：x2-2-(2m-2) = m-1,与x1矛盾，此时点当p的坐标为（m,x- m = 2m-22x2-2-(2-2m) = m-1q不满足题设条件;2m-2）时，m=x=-q不满足题设条件;2-2m)时,m=x=-m=1x=1518m=1x=1与x1矛盾，此时点q不满足题设

12、条件;综上所述，不存在满足条件的点q13. (2013贵州毕节，27, 16分)如图，抛物线 y=ax2+b与x轴交于点a、b,且a点的 坐标为(1, 0),与y轴交于点c (0, 1).(1)求抛物线的解析式，并求出点b坐标；(2)过点b作bd / ca交抛物线于点 d,连接bc、ca、ad ,求四边形 abcd的周长； (结果保留根号)(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点p,过点p作pe垂直于x轴，垂足为点e,使以b、p、e为顶点的三角形与 4cbd相似？若存在请求出 p点的坐标；若不存在，请说明理由.14. (2013湖北黄冈，24, 15分)如图，在平面直角坐标系中，四边形 abco是

13、梯形，其 中a (6, 0) , b ( 3,阴)，c (1,右)，动点p从点o以每秒2个单位的速度向点 a运 动，动点q也同时从点b沿bco的线路以每秒1个单位的速度向点 o运动，当点p到达a 点时，点q也随之停止，设点 p、q运动的时间为t (秒).(1)求经过a、b、c三点的抛物线的解析式；(2)当点q在co边上运动时，求 4opq的面积s与时间t的函数关系式；(3)以o、p、q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t的值，若不能，请 说明理由；(4)经过a、b、c三点的抛物线的对称轴、直线 ob和pq能够交于一点吗？若能，请求 出此时t的值(或范围)，若不能，请说明理由.【答

14、案】解：(1)设所求抛物线解析式为 y=ax2+bx+c.把a (6, 0), b (3,n)，c (1,点)三点坐标代入得:36a 6b c 03-4. 34.39a 3b c v3 ,斛得：a=,b=, c=,_15155a b c 3即所求抛物线为：y=- -|x2+ 4x+ 473 .(2)依题意，可知 oc=cb = 2, z coa=60 , ，当动点q运动到oc边时，oq = 4t.opq 的高为：oq sin60 =(4t)xg.又 op=2t, s= x 2tx (4 一 t) x = - (t2 - 4t)(2 w t w 3).22222t (3 t)(3)依题意，可知：

15、0wtw3.当 0wtw2 时，q 在 bc 边上运动，此时 op = 2t, oq= 33 (3 t)2 , pq =3 (3t 3)./ poq4, /poq=/ cop = 60 , oqvoc=2, .opq不可能为直角三角形.综上所述：当t=1或t=2时， opq为直角三角形.(4)由(1)可知：抛物线 y=-豆x2+ 3x+上回=15为x= 2.又ob的方程为y= 1x,15一在-2)2+曙其对称轴，抛物线对称轴与 ob交点为m (2, 竺).3又 p (2t, 0),设过p、m的直线解析式为y= kx+ b,2 33kg2t2k b. 33(1 t)2 3t3(1 t)即直线pm

16、 :2 3tx 一 ?3(1 t) 3(1 t)即 v3(1-t)y= x- 2t.又0wtw2时，q (3-t,点)，代入上式，得：6(1t)x 43 = 3t2t,恒成立，即0wtw2时，p、m、q总在一条直线上，即m在直线pq上；2vtw3 时，oq = 4 t, /qop=60 ,q (j 画22代入上式，得 “3(4 t) x 点(1 t)= 4t 2t,2 2解得：t=2或t= 4 ,均不合题意，应舍去.3，综上所述，可知:过a、b、c三点的抛物线的对称轴、ob和pq能够交于一点，此时 0wtw2.【解析】(1)直接运用待定系数法求解即可.(2)在4opq中，以座落在x轴上的边op

17、为底边，再求出点q到x轴的距离，即可求解.(3)首先分点q在bc上和oc上两种情况考虑，然后在各情况下分/ opq =90和/ oqp = 90。两种情况考虑.其间，需要运用勾股定理构建方程求解.(4)是解析几何问题，由于过 a、b、c三点的抛物线的对称轴与 ob的交点是定点，不妨 设为点m,可以先求出点 m的坐标，然后结合容易表示的点 p (2t, 0),求出直线pm的解 析式，接下来将点 q的坐标代入验证即可作出判断.【方法指导】本题综合考查了二次函数，一次函数，三角形的面积，直角三角形，锐角三角 函数，梯形，勾股定理与方程等方面的知识.重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力，以及

18、运用方程思想，数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力.解答完本题后，可主要获得这样三点启示：1.第(3) (4)两问属于结论探究型问题，是中考热点题型.解答时要求学生充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论.这类问题多与位置、形状、关系的判断有关.对于与函数有关的探究型问题一定要借助图象从 数、形两方面进行探索，充分运用数形结合思想解题.2.本题也属于动点探究问题.解决这类问题的关键需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程， 动中求静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形， 运用分类讨论思想，画出所有符合题意的图形，联系已知条件结合图形特点，建立方程模型或不等式模型或函数

19、模型进行求解.3.求直线与坐标轴围成的三角形面积时，一般需将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横(纵)坐标的绝对值作为高.15. (2013 贵州省六盘水，25, 16分)已知.在 rtaoab 中，/ oab=90 , / boa=30 : oa=|273,若以o为坐标原点，oa所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 点b在第一象限内，将 rtaoab沿ob折叠后，点a落在第一象限内的点 c处.(1)求经过点o, c, a三点的抛物线的解析式.(2)求抛物线的对称轴与线段 ob交点d的坐标.(3)线段ob与抛物线交与点 e,点p为线段oe上一动点(点p不与点。，点e重合)，

20、过p点作y轴的平行线，交抛物线于点 m ,问：在线段 oe上是否存在这样的点 p,使得 pd=cm ?若存在，请求出此时点 p的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题.分析：（1）在rtaaob中，根据ao的长和/ boa的度数，可求得ob的长，根据折叠的 性质即可得到 oa=oc ,且/ boc= /boa=30。，过c作cdx轴于d,即可根据 / cod的度数和oc的长求得cd、od的值，从而求出点 c、a的坐标，将a、c、 o的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定 该抛物线的解析式.（2）求出直线bo的解析式，进而利用 x=j巨求出y的值，即可

21、得出 d点坐标；（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即 c点），设直线mp与 x轴的交点为n,且pn=t,在rtaopn中，根据/ pon的度数，易得pn、on的长, 即可得到点p的坐标，然后根据点 p的横坐标和抛物线的解析式可求得m点的纵坐标，过m作mf xcd （即抛物线对称轴）于 f,过p作pqxcd于q,若pd=cm , 那么cf=qd,根据c、m、p、d四点纵坐标，易求得 cf、qd的长，联立两式即可 求出此时t的值，从而求得点 p的坐标.解答：解：（1）过点c作chx轴，垂足为h; .在 rta oab 中，/ oab=90 , / boa=30 , oa= ，.

22、 ob=eas3q=4 ab=2 ； ao由折叠的性质知：/ cob=30 , oc=ao=2 v3, ./coh=60。, oh=t5，ch=3; . c点坐标为（3）. o点坐标为：（0, 0）,，抛物线解析式为 y=ax2+bx （aw 0）, 图象经过c （右，3）、a （2仃，0）两点，,0123+2-3a- - 1解得， 一y= - x2+2 三 x.尸2仃 此抛物线的函数关系式为:（2） ao=2vs, ab=2 , .b点坐标为：（2d& 2）,设直线bo的解析式为：y=kx,则2=2依k, 解得：k=亚，3y= _ x2+2asx的对称轴为直线将两函数联立得出: ,抛物线的对

23、称轴与线段 ob交点d的坐标为：（6，1）；（3）存在.y= - x2+2jlx的顶点坐标为（描，3）, 即为点c, mp，x轴，垂足为n,设pn=t; / boa=30 , .on= / ：;t, p （/t, t）;作pqxcd,垂足为 q, mf lcd,垂足为f;把 x=/3t 代入 y= - x2+2 j5x,得 y= - 3t +6t,m （通,3t2+6t）, f （“，3t2+6t）,同理：q （代，t）, d（73, 1）；要使pd=cm ,只需 cf=qd ,即 3 一 （- 3t2+6t） =t - 1 ,解得t=, t=1 （舍），p点坐标为（诉,）, 存在满足条件的

24、p点，使得pd=cm ,此时p点坐标为（/ ,）.点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识 点，表示出p点坐标利用cf=qd求出是解题关键.#16. (2013四川遂宁，25, 12分)如图，抛物线y=一且x2+bx+c与x轴交于点a (2, 0),4交y轴于点b (0,).直线y=kx -卫过点a与y轴交于点c,与抛物线的另一个交点是d.2(1)求抛物线y=工x2+bx+c与直线y=kx -至的解析式；(2)设点p是直线ad上方的抛物线上一动点(不与点a、d重合)，过点p作y轴的平行线，交直线ad于点m,作del y轴于点e.探究：是否存在这样的点 p

25、,使四边形pmec 是平行四边形？若存在请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，作pnxad于点n,设4pmn的周长为1,点p的横坐标为x,求171与x的函数关系式，并求出 1的最大值.考点：二次函数综合题.分析:(1)将a, b两点分别代入y=x2+bx+c4进而求出解析式即可;(2)首先假设出p, m点的坐标，进而得出进而彳#出ce的长，利用平行四边形的性质得出pm的长，将两函数联立得出 d点坐标,pm=ce,得出等式方程求出即可；(3)利用勾股定理得出 dc的长，进而根据 pmna cde,得出两三角形周长之 比，求出1与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值

26、即可.解答:(2, 0)和 b (0,),直线y=kx -经过点a (2, 0) .2k - =0,解得：k=, 直线的解析式是y=x(2)设p的坐标是(x, - _!x2-x+),则m的坐标是(x, x-)4pm= ( - ax2 - x+) - ( x - ) = - x2 - x+4 ,4点d在第三象限，则点 d的坐标是(-8, -7),由丫=乂-得点-),ce=7) =6,由于pm / y轴，要使四边形 pmec是平行四边形，必有 pm=ce , 解这个方程得：xi= - 2, x2=- 4,符合-8x2,当 x= -2 时，y= - x ( 2) 2x ( 2) +=3,当 x=-4

27、 时，y= x ( 4) 2x ( 4) +=,因此，直线ad上方的抛物线上存在这样的点p,使四边形pmecp的坐标是(2, 3)和(4,);(3)在rtacde中，de=8, ce=6 由勾股定理得:c的坐标是(0,即-x2- x+=6是平行四边形，点1 .cde的周长是 24, pm / y 轴， . / pmn= zdce, . / pnm= / dec, . pmna cde ,，,岬周长=理,即4j”cde的周长 dc 2410化简整理得：l与x的函数关系式是：l=-x2-ux+里,55l= - x2-x+= - (x+3) 2+15, 55-0, y0,且 y=x2+2x,若 am

28、p s、boc ,则迎& bo co即 x+2=3 (x2+2x),后 1.得：x1=- , x2=- 2 (舍去).3当 x= 1 时，y= 5 ,即 p (1 , 5 ),3939若 pmasboc 则迎&co bo即：x2+2x=3 (x+2),得：x1=3, x2= - 2 (舍去)当 x=3 时，y=15,即 p (3, 15).故符合条件的点p有两个，分别是p (1 , 5)或(3, 15).3919d和点p的坐标，注意分类讨论思想的点评：本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用 平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点运用，难度较大.18. （2

29、013 潍坊，23, 13分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在rt abc内修建矩形水池 defg ,使顶点d、e在斜边ab上，f、g分别在直角边 bc、ac上；又分别以 ab、bc、ac为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中ab 24j3米,bac 60 .设 ef x米，de y米.a de b（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形 defg的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形 defg的面积等于两弯新月面积的1 ?3答案

30、：（1）在rtabc中，由题意得 ac=12百米，bc=36米，/ abc =30 ,急3x，dgx3所以 adx, betan6033又 ad + de+ be=ab ,-v3x2 24v3x43(x 9)2 1083.33所以 y 24 3 x . 3x 3(2)矩形defg的面积s xy 424 旧 i)24 v3 j3x, (0 v x v 8).3所以当x = 9时，矩形defg的面积最大，最大面积为（3）记ac为直径的半圆、bc为直径的半圆、ab为直径的半圆面积分别为 si、s2、s3,1c 1cle两弯新月面积为 s,则s1ac2, s2bc2,s3ab2,888由 ac2 +

31、bc2=ab2可知 $ + &=$3,s1+s2s= s3s”bc ,故 s=saabc所以两弯新月的面积 s=- 12 j3 36 216，3（平方米） 2由 43（x 9） 108m 1 216d3,即（x 9）2 27,解得 x 9 3。3 ,符合题意， 33所以当x 9 3，3米时，矩形defg的面积等于两弯新月面积的 1.3考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答.19. (2013四川巴中，31, 12分)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为o

32、, a点坐标为(4, 0), b点坐标为(-1, 0),以ab的中点p为圆心，ab为直径作op的正半轴交于点c.(1)求经过a、b、c三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设m为(1)中抛物线的顶点，求直线mc对应的函数解析式；(3)试说明直线 mc与。p的位置关系，并证明你的结论.考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定.专题：计算题.分析：(1)求出半径，根据勾股定理求出c的坐标，设经过 a、b、c三点抛物线解析式是y=a (x-4) (x+1),把 c (0, 2)代入求出 a

33、即可；(2)求出m的坐标，设直线mc对应函数表达式是 y=kx+b，把c (0, 2), m (，餐)s代入得到方程组，求出方程组的解即可；(3)根据点的坐标和勾股定理分别求出pc、dc、pd的平方，根据勾股定理的逆定理得出/ pcd=90 ,即可求出答案.解答：解：(1) a (4, 0), b (1, 0),ab=5 ,半径是 pc=pb=pa=,op= - 1 =,在 cpo中，由勾股定理得：oc=jcp2 _ up 2=2 ,c (0, 2),设经过a、b、c三点抛物线解析式是 y=a (x-4) (x+1),把 c (0, 2)代入得：2=a (0-4) (0+1),:a= 一 ?1. y= - ( x - 4) (x+1) = - x2+x+2 ,答：经过a、b、c三点抛物线解析式是 y= - x2+x+2 .2 2) y=