大学物理学习资料：振动_4

1、提提 纲纲（此次课有机动内容此次课有机动内容） 1.8 谐振分析谐振分析(可与波动第五次课合并见“波动_5.ppt”） 周期函数的频谱分析与付里叶级数周期函数的频谱分析与付里叶级数 非周期函数的频谱分析与付里叶变换非周期函数的频谱分析与付里叶变换 简正模简正模 1.9 耦合振子耦合振子 简正模的叠加简正模的叠加 简正模简正模 例题：如何建立方程及求解例题：如何建立方程及求解 例题：边长例题：边长 、密度、密度 的木块浮在大水槽的表面上，今把木块完全的木块浮在大水槽的表面上，今把木块完全 压入水中，然后放手，如不计水对木块的阻压入水中，然后放手，如不计水对木块的阻 力，问木块将如何运动？力，问木

2、块将如何运动？ ml25. 0 3 800 mkg 木 木块的运动是平动木块的运动是平动，所以，所以 可用它上面任一点来描述，可用它上面任一点来描述， 现在我们选现在我们选Q点来描述木点来描述木 块的运动。块的运动。Q不一定是质不一定是质 心，但整体的平动可用心，但整体的平动可用Q 作代表点。作代表点。 解：选水面上一点解：选水面上一点O O为坐标原点；为坐标原点；平衡时平衡时， 木块浮在水面，木块上木块浮在水面，木块上Q Q点与点与O O 重合。其重合。其 顶部至水面距离为顶部至水面距离为 。a OQ a b xb Q x O m l b20. 0 1000 80025. 0 水 木 mbl

3、a05. 0 gSbgSl 水木 由题意：由题意： 设木块横截面积为设木块横截面积为S， 根据阿基米德定律根据阿基米德定律,平衡时：平衡时： bal 任一时刻任一时刻 OQ =x，木块受力木块受力 有重力和浮力不相等，其合有重力和浮力不相等，其合 力为做简谐振动的恢复力，力为做简谐振动的恢复力， 称为称为准弹性力。准弹性力。 xb Q x O gSlgxbS 木水 重力浮力)( gSlgSxg l S 木水水 水 木 gSx 水 gSx dt xd m c 水 2 2 设质心与设质心与Q的距离为的距离为 , 质心的位置质心的位置 。 其动力学方程即为其动力学方程即为质心的运动方程质心的运动方程

4、： hxxc h 将质心坐标代入可知从将质心坐标代入可知从 质心运动过渡到刚体上质心运动过渡到刚体上 任一点平动是等价的。任一点平动是等价的。 x b g x l g Sl gSx m gSx dt xd 木 水 木 水水 2 2 gSxxm 水 gSlmg 木 水 木 l b 木块简谐振动木块简谐振动 的动力学方程：的动力学方程： xbgx)/( 得木块的运动方程：得木块的运动方程： )cos()( 00 tAtx 1 0 0 . 7 20. 0 8 . 9 s l g 由初始条件：将木块完全压入水中由初始条件：将木块完全压入水中 其中固有角频率：其中固有角频率： m V xA05. 00

5、. 005. 0 2 2 0 2 0 2 0 ;05. 0 0 mx ; 0t 0 0 V 0 . 0 00 0 0 x V tg 0 0 x 0 0 舍去舍去： 0 mttx)0 . 7cos(05. 0)( 所以：所以： xbgx)/( 任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。任何一周期函数都可表示为简谐函数的合成。 也就是说，任何一个复杂的周期振动都可以也就是说，任何一个复杂的周期振动都可以 分解为一系列简谐振动之和。分解为一系列简谐振动之和。 1 0 0 )cos( k kk tkAA 称为周期函数称为周期函数 的的付里叶级数付里叶级数, 而而 和和 称为称为付里叶系数付里叶系数 )(

6、tF kk BAA, 0kk A, 1.8 谐振分析谐振分析 周期函数的频谱分析与付里叶级数周期函数的频谱分析与付里叶级数 1 0 1 00 sincos)( k k k k tkBtkAAtF 这些分振动中频率最低的称为基频振动，它这些分振动中频率最低的称为基频振动，它 的频率就是原周期函数的频率，的频率就是原周期函数的频率，称为基频。称为基频。 dttktF T B T T k 2 2 0 sin)( 2 dttktF T A T T k 2 2 0 cos)( 2 dttF T A T T 2 2 0 )( 1 其它分振动的频率都是基频的整数倍，其它分振动的频率都是基频的整数倍，称为谐频

7、。称为谐频。 频谱频谱：以频率为横坐标，以相应的振幅为纵坐标：以频率为横坐标，以相应的振幅为纵坐标 所作的图解，称为该振动的频谱。所作的图解，称为该振动的频谱。 FULIYE FPCAI 频谱分析频谱分析:周期性振动具有离散谱。周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。方法称为频谱分析。 非周期函数的频谱分析与付里叶变换非周期函数的频谱分析与付里叶变换 任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成： 00 sin)(cos)()(tdBtdAtF deftF ti )( 2 1 )( 上式称为非

8、周期函数的付里叶积分。上式称为非周期函数的付里叶积分。 或是或是 的付里叶逆变换。的付里叶逆变换。)(f dtetFf ti )( 2 1 )( 称为非周期函数的称为非周期函数的 付里叶变换。付里叶变换。 dtetFf ti )( 2 1 )( 非周期振动的频谱是连续谱非周期振动的频谱是连续谱。波形和频谱互为。波形和频谱互为 付里叶变换，它具有鲜明的物理背景，频谱分付里叶变换，它具有鲜明的物理背景，频谱分 析是研究振动的重要方法之一。析是研究振动的重要方法之一。 称为称为非周期函数非周期函数 的付里叶变换的付里叶变换。 二十世纪六十年代以来，二十世纪六十年代以来， 付里叶变换的方法把电子付里叶

9、变换的方法把电子 衍射图形与电子显微成象衍射图形与电子显微成象 有机地结合在一起，有机地结合在一起，为晶为晶 体结构的研究开拓了新的体结构的研究开拓了新的 途径。途径。 1.9 耦合振子耦合振子 ) 1 ()( abaa xxKkxxm ) 2()( abbb xxKkxxm 当两个弹簧振子用另一根弹簧联结起来时，当两个弹簧振子用另一根弹簧联结起来时， 这种系统称为这种系统称为耦合振子耦合振子。 取弹簧各自的原长处为取弹簧各自的原长处为 坐标零点，则运动方程：坐标零点，则运动方程： 设振子的质量均为设振子的质量均为m a x k K m b x m k 取为正方向取为正方向 简正模简正模 )

10、1 ()( abaa xxKkxxm ) 2 ()( abbb xxKkxxm 由这两个方程的结构可看出，每个振子的由这两个方程的结构可看出，每个振子的 加速度都与另一振子的位置有关。加速度都与另一振子的位置有关。 换言之，它们的运动彼此相关联换言之，它们的运动彼此相关联 即两振子之间存在着即两振子之间存在着耦合耦合。 上述两个方程都不是简单的简谐振动方程，上述两个方程都不是简单的简谐振动方程， 一般来说，即使是两个全同的耦合振子，一般来说，即使是两个全同的耦合振子， 每个振子的运动也还是比较复杂的。每个振子的运动也还是比较复杂的。 首先考虑最简单的运动情况首先考虑最简单的运动情况: a x

11、k K m b x m k 取为正方向取为正方向 即相互耦合的两个全同即相互耦合的两个全同 振子以相同的频率以及振子以相同的频率以及 相同或相反的初相位作相同或相反的初相位作 简谐振动。适当选取时简谐振动。适当选取时 间零点，并假定这里的间零点，并假定这里的 “振幅振幅”可以是正的或负可以是正的或负 的，则可设的，则可设: tAxacos tBxbcos 在这种情况下，任意时刻都有在这种情况下，任意时刻都有 bba xx B A x 将它代入式将它代入式(1)和和(2)，可以得到：，可以得到： ； b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 (

12、2 2 b b x m Kk dt xd ) 1( 2 2 b b x m Kk dt xd )1 ( 2 2 这是两个简谐振动方程，这是两个简谐振动方程， 对应的角频率的平方分别对应的角频率的平方分别 为方括号中所给出的量。为方括号中所给出的量。 既然两个方程所描写的是既然两个方程所描写的是 同一振子的运动，这两个同一振子的运动，这两个 量就应该相等，即：量就应该相等，即： m k m k m k m k )1 ( 1 2 normal mode normal frequency 由此可解得由此可解得 1 2 即 1 2 ; 1 1 代入上式，即得相应的角频率为：代入上式，即得相应的角频率为

13、： m k 1 m Kk2 2 （3） 结论结论：两个耦合振子可以作不同频率的：两个耦合振子可以作不同频率的 下述两种方式的振动，在每种方式的振下述两种方式的振动，在每种方式的振 动中两振子的振动频率是相同的。动中两振子的振动频率是相同的。 1) 两个振子以相同的振幅和相同的相位振动，均两个振子以相同的振幅和相同的相位振动，均 以以 振动。振动。因为中间的弹簧原长不变。因为中间的弹簧原长不变。 mk 1 2) 两个振子以相同的振幅和相反的相位振动两个振子以相同的振幅和相反的相位振动, 均均 以以 振动。振动。中间弹簧原长变化。中间弹簧原长变化。 mKk)2( 2 系统中各个振子系统中各个振子以

14、相同的频率作简谐振动以相同的频率作简谐振动 的方式的方式，称为该系统的，称为该系统的简正模简正模。 每个简正模所对应的频率，称为每个简正模所对应的频率，称为简正频率简正频率。 简正频率特征在于，系统的每个振子都能以此频率简正频率特征在于，系统的每个振子都能以此频率 振动。对于一定的初始条件，这种振子是可实现的。振动。对于一定的初始条件，这种振子是可实现的。 若将两个振子各自从平衡位置向左、若将两个振子各自从平衡位置向左、 右两边拉开相同的距离右两边拉开相同的距离，待静止后，待静止后 释放，则两振子将作角频率都是释放，则两振子将作角频率都是 2 的简谐振动，并保持振幅不变。的简谐振动，并保持振幅

15、不变。 例如，在损耗可以忽略例如，在损耗可以忽略 的情况下，若将上述两的情况下，若将上述两 个振子各自从平衡位置个振子各自从平衡位置 向右拉开相同的距离，向右拉开相同的距离， 待静止后再释放，则两待静止后再释放，则两 个振子将作角频率都是个振子将作角频率都是 1的简谐振动，保持振的简谐振动，保持振 幅不变；幅不变； 简正模 FPCAI a x k K m b x m k 取为正方向取为正方向 )( )( 2 2 ba ba xxk dt xxd m 而将式（而将式（1）减去式（）减去式（2），可得），可得 )(2( )( 2 2 ba ba xxKk dt xxd m 2 qxx ba 简正模

16、的叠加简正模的叠加 引入这两种易于求解的特征振动，重要原因在于，引入这两种易于求解的特征振动，重要原因在于， 两相同耦合振子的任何运动，都可以表示为上述两相同耦合振子的任何运动，都可以表示为上述 两简正模的线性组合。为了清楚地看到这一点，两简正模的线性组合。为了清楚地看到这一点， 我们将式（我们将式（1）与（）与（2）相加，得：）相加，得： 令令 ； 1 qxx ba )( 2 1 21 qqxa)( 2 1 21 qqxb 这就是简正模的另一种表述，这两个独立变量这就是简正模的另一种表述，这两个独立变量 q1和和 q2就称为简正坐标（就称为简正坐标（normal coordinate）。）。

17、 我们以上所考察的系统是由两个作一维振动的我们以上所考察的系统是由两个作一维振动的 质点组成的，对该系统的纵向运动需用两个简质点组成的，对该系统的纵向运动需用两个简 正模和两个简正频率。正模和两个简正频率。 于是，每一个振子的坐标都可以表示为这两个于是，每一个振子的坐标都可以表示为这两个 独立的简正坐标的线性组合，即独立的简正坐标的线性组合，即 显然，这是关于两个独立变量显然，这是关于两个独立变量 q1和和 q2的振动的振动 方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动，方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动， 其特征频率分别为式（其特征频率分别为式（3）所给出的和。）所给出的和。 总之，简正模

18、是一个多自由度运动的一些特殊的总之，简正模是一个多自由度运动的一些特殊的 组合，是一些集体运动模式，它们彼此相互独立。组合，是一些集体运动模式，它们彼此相互独立。 如果初始运动状态符合某个简正模式，则系统将如果初始运动状态符合某个简正模式，则系统将 按此模式振动，其它模式将不激发；按此模式振动，其它模式将不激发； 如果初始运动状态是任意的，则该系统的运动将如果初始运动状态是任意的，则该系统的运动将 是各简正模式按一定比例的叠加。是各简正模式按一定比例的叠加。 简正模是当今凝聚态物理学中简正模是当今凝聚态物理学中“元激发或准粒子元激发或准粒子” 这一重要概念的萌芽。这一重要概念的萌芽。 可以证明，若质点系统的自由度为可以证明，若质点系统的自由度为N，则有则有N个个 简正模和简正模和N个相应的简正频率