保险精算学-趸缴纯保费(1)

1、第五章第五章 人寿保险趸缴纯保费的厘定人寿保险趸缴纯保费的厘定 本章结构本章结构 n人寿保险趸缴纯保费厘定原理人寿保险趸缴纯保费厘定原理 n死亡死亡年末年末赔付保险趸缴纯保费的厘定赔付保险趸缴纯保费的厘定 n死亡死亡即刻即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定赔付保险趸缴纯保费的厘定 n递归方程递归方程 第一节第一节 人寿保险人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理趸缴纯保费厘定的原理 人寿保险简介人寿保险简介 n什么是人寿保险什么是人寿保险 n狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。死亡作为保险标的的一种保险。 n 广义的人寿保险是以被保险人的寿命

2、作为广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为 保险标的的一种保险。它保险标的的一种保险。它包括包括以保障期内被以保障期内被 保险人死亡为标的的狭义寿险，保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括也包括以保以保 障期内被保险人生存为标底的生存保险和两障期内被保险人生存为标底的生存保险和两 全保险。全保险。 人寿保险的分类人寿保险的分类 n受益金额是否恒定受益金额是否恒定 n定额受益保险定额受益保险 n变额受益保险变额受益保险 n保单签约日和保障期保单签约日和保障期 期始日是否同时进行期始日是否同时进行 n非延期保险非延期保险 n延期保险延期保险 n保障标的的不同保障标的的不同 n人寿保险（狭义）人寿保险（狭

3、义） n生存保险生存保险 n两全保险两全保险 n保障期是否有限保障期是否有限 n 定期寿险定期寿险 n 终身寿险终身寿险 人寿保险的性质人寿保险的性质 n保障的长期性保障的长期性 n这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。不容忽视的因素。 n保险赔付金额和赔付时间的不确定性保险赔付金额和赔付时间的不确定性 n人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，

4、这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。它依赖于被保险人剩余寿命分布。 n被保障人群的大数性被保障人群的大数性 n这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。算出平均赔付并可预测将来的风险。 趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定 n假定条件假定条件: n假定一假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。险人的剩余寿命是独立同分布的。 n假定二假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合

5、。验生命表进行拟合。 n假定三假定三：保险公司可以预测将来的投资受益：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。（即预定利率）。 纯保费厘定原理纯保费厘定原理 n原则原则 n保费净均衡原则保费净均衡原则 n解释解释 n所谓净均衡原则，即保费收入的期望现所谓净均衡原则，即保费收入的期望现 时值正好等于将来的保险赔付金的期望时值正好等于将来的保险赔付金的期望 现时值。它的实质是现时值。它的实质是在统计意义上的收在统计意义上的收 支平衡。是在大数场合下，收费期望现支平衡。是在大数场合下，收费期望现 时值等于支出期望现时值时值等于支出期望现时值 主要险种的趸缴纯保费的厘定主要险种的趸缴纯保费的厘

6、定 nn年期定期寿险年期定期寿险 n终身寿险终身寿险 n延期延期m年的终身寿险年的终身寿险 nn年期生存保险年期生存保险 nn年期两全保险年期两全保险 n延期延期m年的年的n年期的两全保险年期的两全保险 n递增终身寿险递增终身寿险 n递减递减n年定期寿险年定期寿险 基本符号基本符号 n 投保年龄投保年龄 的人。的人。 n 人的极限年龄人的极限年龄 n 保险金给付函数。保险金给付函数。 n 贴现函数。贴现函数。 n 保险给付金在保单生效时的现保险给付金在保单生效时的现 时值时值 )(xx t b t v t z ttt vbz 趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定 n趸缴纯保费的定义趸缴纯保费的定义

7、 n在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的 期望现时值期望现时值 n趸缴纯保费的厘定趸缴纯保费的厘定 n按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于 () t E z 第二节第二节 死亡死亡年末年末理赔的死亡保理赔的死亡保 险的现值险的现值 死亡年末赔付死亡年末赔付 n死亡年末赔付的含义死亡年末赔付的含义 n 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期 内发生保险责任范围内的死亡内发生保险责任范围内的死亡 ，保险公司，保险公司 将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。

8、 n由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年 年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随 机变量，它距保单生效日的时期长度就等于机变量，它距保单生效日的时期长度就等于 被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正 好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提 供的生命表函数。供的生命表函数。 n所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定 趸缴保费时通常先假定的理赔方式。趸缴保费时通常先假定的理赔方式。 预备预备1： 延期延期t

9、年的年的1年定期的死亡保险年定期的死亡保险 若被保险人在其他时段死亡，则保险公司 无支付。试计算该保单的精算现值。 死者保单对全体保单共有财产的分享死者保单对全体保单共有财产的分享 初始人数初始人数 每人交的净保费每人交的净保费 t 年末的年末的 投资积累投资积累 死亡人数死亡人数 1元赔偿元赔偿 计算原理解释：计算原理解释： ,4 （人）假设 x l,25. 0元每人交 （元）共交00.1425.0 元） 年末变为，则假设利率 (2%)1001 (425.0 1%100 i .%,50则共死亡人假设死亡率 （元）则保险费支出2 令 预备预备2: 纯粹生存年金纯粹生存年金与生者利原理与生者利原

10、理 n生存年金是以被保险人生存为支付条生存年金是以被保险人生存为支付条 件的年金件的年金. . n生存年金的精算原理是生存年金的精算原理是“生者利生者利”原原 则则. . n所谓生者利，指所谓生者利，指生存者对共有财产中生存者对共有财产中 死者权利部分的享有权死者权利部分的享有权. . 纯粹生存年金的现值纯粹生存年金的现值 生者利原理 0 0时刻此时刻此 人群共人群共 缴纳钱缴纳钱 数数 t t时刻还存时刻还存 活的人所领活的人所领 取的保险金取的保险金 在在0 0时刻的时刻的 现值现值 t 5.2.1 15.2.1 1元保险金的终身寿险元保险金的终身寿险 1 1 1 1 1 x x+1 x+

11、2 x+3 x+n x+n+1 qx 1Iqx2IqxnIqx 年龄年龄 dxdx+1dx+2dx+n 死亡数死亡数 死亡率死亡率 Ax n|qx = dx+n/lx Ax lx= v dx+v2 dx+1+vn+1 dx+n + Ax= v qx+v2 1|qx+vn+1 n|qx + 1 1 1 1 1 x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1 qx 1Iqx2IqxnIqx 年龄年龄 dxdx+1dx+2dx+n 死亡数死亡数 死亡率死亡率 vdx V2dx+1 Vn+1dx+n . 各支出各支出 总收费：总收费：Axlx 终身寿险年末付的趸交纯保费：终身寿险年末付的趸交纯保费：

12、x x x x kx k kx x kx k k xk k k x D M l d l d qA 0 1 0 1 0 1 | 终身寿险精算现值的例子终身寿险精算现值的例子 n例：假设50岁的人投保了 10000元的终身寿险，保险费 在死亡年末支付，假设年利 率按3%计算，试根据表IV计 算其精算现值. （元元） 解解： 16.5148 744,998, 1 986,028, 1 10000 1000010000 %.3,50 50 50 50 D M AP ix 练习：变额保险金的终身寿险练习：变额保险金的终身寿险 5.2.2 定期寿险定期寿险年末付年末付的趸交纯保费的趸交纯保费 x nxx

13、x x kx n k kx x kx n k k xk n k k n x D MM l d l d qA 1 0 1 1 0 1 1 0 1 |; 1 | 例：假设例：假设3030岁的人投保。保单规定岁的人投保。保单规定: : 被保险人在保被保险人在保 险开始险开始5 5年内死亡时，给付年内死亡时，给付10001000元，元，5 5年后死亡之时，年后死亡之时， 给付给付20002000元。求其趸缴纯保费。元。求其趸缴纯保费。 n解解: : 所求趸缴纯保费可以看作保额所求趸缴纯保费可以看作保额20002000元的终身元的终身 寿险趸缴纯保费与保额寿险趸缴纯保费与保额10001000元的元的5

14、5年定期寿险趸年定期寿险趸 缴纯保费的差额。则，缴纯保费的差额。则， n所求趸缴纯保费所求趸缴纯保费= = 2000 A30-1000 1 | 5:30 A 09.622 10002000 30 3530 30 30 D MM D M 5.2.3 延期的终身寿险延期的终身寿险 5.2.4 n年生死两全保险年生死两全保险 它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终它是指被保险人于保险期内死亡，或生存到期终 时，都支付给付金的一种保险形式。时，都支付给付金的一种保险形式。 例：假设例：假设20年年生死两全保险生死两全保险的保额为的保额为1000元，元， 试求其在试求其在20岁签发保单的趸缴纯保费。

15、岁签发保单的趸缴纯保费。 n解解: 所求趸缴纯保费所求趸缴纯保费 18.561 10001000 10001000 1000 20 40 20 4020 2020 1 | 02:20 | 02:20 D D D MM EA A 5.2.5 寿险的累积费用寿险的累积费用 dx+1dx+2dx 1 1 1 1 1 x x+1 x+2 x+3 x+n-1 x+n qx 1Iqx2Iqxn-1Iqx 年龄年龄 dx+n-1 死亡数死亡数 死亡率死亡率 dx(1+i)n-1 dx+1(1+i)n-2 dx+n-1 另一种解法：另一种解法： 死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 终身寿险终身寿险 延期延期m年的年的n年定期寿险年定期寿险 延期延期m年的终身寿险年的终身寿险 n年期两全保险年期两全保险 延期延期m年的年的n年期两全保年期两全保 险险 递增终身寿险递增终身寿险 递减递减n年定期寿险年定期寿险 11 : : x x nx nn AAA 1 : xxm x m AAA 111 : : xxmmm x nx nnmx m n AAAAA 111 : m x nx mnx m AAA 1 1 1 : 10