平面、直线与立体相交

1、平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 问题的提出：问题的提出： 试绘制如图所示机件的三视图？试绘制如图所示机件的三视图？ 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 第六章第六章 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 6.4 直线与立体相交 6.1 平面与立体相交概述 6.2 平面与平面立体相交 6.3 平面与曲面立体相交 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 6.1 6.1 平面与立体相交概述平面与立体相交概述 一、概述一、概述 二、截交线的求法二、截交线的求法 三、圆柱、圆锥、球的截交线三、圆柱、圆锥、球的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 一、概述一、概述 在一些

2、零件的表面上常常见到平面与零件表面相交的情况。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 这种平面与立体相交，可看作是立体被平面所切割，平 面P称为截平面截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线截交线，截交 线所围成的平面图形称为截断面截断面。 （1）截交线是封闭的平面图形 （2）截交线是截平面与立体表面的共有线，其上 的点是截平面与立体表面共有点。 截交线的性质：截交线的性质： 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 二、截交线的求法二、截交线的求法 (1)(1)辅助平面法辅助平面法 在应用此法时，应注意选择在应用此法时，应注意选择 辅助平面，以使它与曲面的交线辅助平面，以使它与曲面的交线

3、 最简单易画（直线或圆）。最简单易画（直线或圆）。 三面共点的原理，所作辅三面共点的原理，所作辅 助平面与曲面交于一条曲线，助平面与曲面交于一条曲线， 而与截平面交于一条直线，所而与截平面交于一条直线，所 得曲线与直线的交点则为截平得曲线与直线的交点则为截平 面与曲面交线上的点。利用此面与曲面交线上的点。利用此 法可求得截交线上的一般点或法可求得截交线上的一般点或 某些特殊点。某些特殊点。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 二、截交线的求法二、截交线的求法 对于平面立体则运用直线与平面相交求交点及两个平面 求交线的方法，求出各棱线与截平面的交点，或各棱面与截 平面的交线连接而成。 (2

4、)(2)表面取点法表面取点法 利用立体表面在投影面上的投 影有积聚性的特点求之. 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称 为平面立体的截交线。为平面立体的截交线。 平面立体截交线的形状是由直线段 围成的平面多边形。 一、平面立体体截交线的性质一、平面立体体截交线的性质 平面立体截交线是截平面与平 面立体表面的公有线。 平面多边形的顶点是平面立体棱线与 截平面的交点，边是截平面与平面立 体各表面的交线（截交线段）。 6 62 2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 截平面 截交线 截断面 平面、直线

5、与立体相交平面、直线与立体相交 二、二、 平面立体截交线的求法平面立体截交线的求法 1 1、线面交点法、线面交点法 2 2、面面交线法、面面交线法 将平面立体上参与相交的各条 棱线与截平面求交点交点，并将位于立 体同一棱面上的两交点依次连接起 来，即为所求平面立体的截交线。 将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线交线， 这些交线即围成所求的平面立体截交线。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 三、求截交线的作图步骤三、求截交线的作图步骤 1) 1) 空间分析及投影分析空间分析及投影分析 2) 2) 画出截交线的投影画出截交线的投影 a、截平面与立体的那几个表面相交 确定截交线的形状（

6、多少截交线段） 确定截交线的投影特性（积聚性） b、截平面、立体表面是否具有积聚性 运用线面交点法（棱线法）或面面交线法（棱面法）， 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。 3) 3) 整理立体的棱线投影整理立体的棱线投影 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 作图：作图： 作出三棱锥的棱线作出三棱锥的棱线SASA、SBSB、 SCSC与截平面与截平面P P的交点的交点、 的的V V面投影面投影11、22、33。 根据点的投影规律求出根据点的投影规律求出 H H、W W面投影面投影1 1、2 2、3 3和和11、 22、33。 依次连接各交点的同面依次连接各交点的同面 投影即为所求。

7、投影即为所求。 实形 可用换面法求得截断面的实形可用换面法求得截断面的实形 。 解解 因截平面因截平面P P为正垂面，故截为正垂面，故截 平面的正面投影积聚在平面的正面投影积聚在P PV V上，上，H H面面 和和W W面截交线可利用求三棱锥各面截交线可利用求三棱锥各 棱线与截平面交点来求。棱线与截平面交点来求。 【例例1 1】 三棱锥被所截，完成截交线的投影及截断面实形三棱锥被所截，完成截交线的投影及截断面实形 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2 2】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。 1 1、空间分析、空间分析 2 2、投影分析

8、、投影分析 3 3、投影作图、投影作图 4 4、整理图线、整理图线 截交线为平面五边形，截交线为平面五边形， 对对V V面具有积聚性面具有积聚性 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截 交线的正面投影落在截平交线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要求面的积聚性投影上，要求 的是截交线的水平投影和的是截交线的水平投影和 侧面投影。侧面投影。 1 2 3 4 5 5 5 1 1 3 3 4 4 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例3 3】求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。 6 25 1 3 4 1 2

9、3 4 5 6 1 2 3 4 56 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例4 4】求立体切割后的投影求立体切割后的投影 2 3 5 4 1 1 1 6 6 54 3 2 6 4 （5） 2 （3） 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例5 5】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。 1 1、空间分析、空间分析 立体表面交线的形状？立体表面交线的形状？ 空间空间1010边形边形 2 2、投影分析、投影分析 截交线的正面投影落在截交线的正面投影落在 截平面的积聚性投影上；截平面的积聚性投影上； 1 210 39 48 57 6 1 2 10

10、3 9 1 2 10 93 84 8 4 75 6 6 7 5 水平截平面截切的交线水平截平面截切的交线 平行于四棱锥对应底边；平行于四棱锥对应底边； 侧平截平面截切的交线侧平截平面截切的交线 平行于四棱锥前后棱线。平行于四棱锥前后棱线。 3 3、投影作图、投影作图 4 4、整理图线、整理图线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例6 6】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影 空间分析空间分析 水平截平面与水平截平面与 四棱台四各棱面相四棱台四各棱面相 交，交于四条边；交，交于四条边； 两个侧平截平两个侧平截平 面均与四棱台三个面均与四棱台

11、三个 面相交，分别交于面相交，分别交于 三条边；三条边； 截平面之间有截平面之间有 二条交线；二条交线； 12 56 7843 910 1 2 5 6 26 15 4738 109 3 4 7 8 10 9 整理棱线投影整理棱线投影 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例7 7】 求立体截割后的投影求立体截割后的投影 7 11 8 8 7 11 12 10 5 6 9 43 9 6 1（3） 2（4） 10 5 1（2） 8 3（4） 10 （5） 9 11 （6） （7） 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例8 8】求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯视图。截切

12、后的俯视图。 P P 1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 1 1 5 5 4 4 7 7 6 6 3 3 2 2 8 8 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 一、一、 曲面立体截交线性质曲面立体截交线性质 6-3 6-3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 二、二、 曲面立体截交线的求解方法和步骤曲面立体截交线的求解方法和步骤 三、三、 圆柱截的交线圆柱截的交线 四、四、 圆锥截的交线圆锥截的交线 五、五、 球的截交线球的截交线 六、六、 圆环的截交线圆环的截交线 七、七、 复合体的截交线复合体

13、的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 平面截切曲面立体，在曲面立体表面留有的交线，称 为曲面立体的截交线。 一、一、 曲面立体截交线性质曲面立体截交线性质 1、截交线是截平面与曲面立体表 面的公有线。截交线上的点为截平 面与曲面立体表面的公有点。 2、截交线的形状通常为平面曲线， 特殊情况下可含有直线段组成。是 封闭的平面图形。截交线的形状取截交线的形状取 决于曲面立体表面性质和截平面与决于曲面立体表面性质和截平面与 曲面立体的相对位置。曲面立体的相对位置。 6-3 6-3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 截平面截平面 截交线截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交

14、 二、二、 曲面立体截交线的求解方法与步骤曲面立体截交线的求解方法与步骤 1 1、表面取点法、表面取点法 2 2、辅助平面法、辅助平面法 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 二、二、 曲面立体截交线的求解方法与步骤曲面立体截交线的求解方法与步骤 1 1、截交分析、截交分析 a)截平面和立体表面的积聚性;b)截交线段的多少； c)截交线的对称性；d)截交线在各投影面上的可见性。 2 2、求特殊点、求特殊点 包括：极限位置点（最高、最低、最前、最后、 最左和最右点）和转向轮廓线上的点。 3 3、求一般点、求一般点 用表面取点法或辅助平面法求足够多的一般点 4 4、整理曲面立体轮廓线、整理曲面

15、立体轮廓线 检查曲面立体被截切后的轮廓素线。擦除被截掉部分 的投影，判别截交线的可见性，光滑连接截交线。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 截平面位置截平面位置平行于轴线平行于轴线垂直于轴线垂直于轴线倾斜于轴线倾斜于轴线 截交线截交线两条直素线两条直素线圆圆椭圆椭圆 立体图立体图 投影图投影图 三、圆柱的截交线三、圆柱的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例9 9】 完成圆柱体截切后的侧面投影。完成圆柱体截切后的侧面投影。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1010】补画出立体的左视图补画出立体的左视图 2.作左切面上的投影 1.作圆柱的左视图 3.作下

16、部通槽的投影 4.判别可见性 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 5.整理并擦除多余的线, 完成作图. 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1111】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。 1 1、空间分析、空间分析 分析截平面与立体的相对位置 水平面截切，截交线为矩形； 侧平面截切为圆弧。 2 2、投影分析、投影分析 分析截平面与投影面 的相对位置。 1313 2424 3 3、投影作图、投影作图 4 4、整理轮廓素线、整理轮廓素线 截交线的正面投影落 在水平截平面和侧平截平 面的积聚性投影上； 截交线的侧面投影落 在圆柱面和水平截

17、平面的 积聚性投影上； 1 12 23 34 4 1 1 2 2 3 3 4 4 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 分分 析：析： 该立体是在圆柱筒 的上部开出一个方槽后形 成的 。构成方槽的平面 为垂直于轴线的水平P和 两个平行于轴线的侧平面 Q 。它们与圆柱体和孔的 表面都有交线，平面P与 圆柱的交线为圆弧，平面 Q与圆柱的交线为直线， 平面和Q彼此相交于直 线段。 【例例1212】 补画被挖切后立体的投影补画被挖切后立体的投影 。 平面与圆柱相交 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 作图步骤如下：作图步骤如下： （1）先作出完整基本形体的三面投影图。 平面与圆柱相交 （2）

18、然后作出槽口三面投影图。 （3） 作出穿孔的三面投影图。 Q P 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1313】作出圆柱体被截切后的水平投影。作出圆柱体被截切后的水平投影。 c cddd d c c a a b b a ab b 1 1、空间分析、空间分析 分析截平面与 圆柱体轴线的相对 位置，确定截交线 的形状椭圆。 2 2、投影分析、投影分析 截交线的正面 投影和侧面投影分 别落在截平面和圆 柱面的积聚性投影 上，要求的是截交 线水平投影。 3 3、投影作图、投影作图 4 4、整理轮廓线、整理轮廓线 a a bb d d c c 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例

19、1414】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性 1、当45截交线椭圆的长轴投影后，仍为 投影椭圆的长轴； 4545 4545 4545 2、当45截交线椭圆的长轴投影后，成为 投影椭圆的短轴； 3、当45截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等， 椭圆的投影成为圆； 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1515】求圆柱截交线求圆柱截交线 解题步骤解题步骤 1分析 截交线为矩形、 椭圆及圆和直线的组合； 截交线的水平投影为已知 ，侧面投影为矩形、椭圆 和直线的组合； 2求出截交线上的特殊点 、 、 、； 3求一般点； 4 顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别

20、可见 性； 5整理轮廓线。 3 3 1 1 2 2 4 4 5 5 3 2 5 14 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 截平面截平面 位置位置 过锥顶过锥顶垂直于轴线垂直于轴线倾斜于轴线倾斜于轴线 平行或倾斜于轴平行或倾斜于轴 线线=0，或，或 倾斜于轴线倾斜于轴线= 截交线截交线 两直素线（交两直素线（交 于锥顶的两直于锥顶的两直 线）线） 圆周圆周椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线 立体图立体图 投影图投影图 四、圆锥面的截交线四、圆锥面的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1616】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1 1

21、、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线为椭圆，截 交线的正面投影落在截 平面的积聚性投影上， 要作出椭圆的水平投影 和侧面投影。 2 2、投影作图、投影作图 运用锥面取点方法 作出椭圆长短轴端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1717】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线形状为抛物 线。抛物线的正面投影 落在截平面的积聚性投 影上，求作抛物线的水 平投影和侧面投影。 2 2、投影作图、投影作图 运用锥面取点方

22、法 作出抛物线顶点和底端 点、转向轮廓线上点和 一般点，用曲线光滑连 接各点。 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例1818】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线为圆弧和两 根直线段，两截平面间 有一条交线。截交线的 正面投影落在截平面的 正面积聚性投影上，求 作截交线的水平投影和 侧面投影。 2 2、投影作图、投影作图 截交线圆弧的水平 投影反映圆弧的实形。 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 作图：作图： 作出俯、左视图中的中

23、心线及作出俯、左视图中的中心线及 圆锥的投影。圆锥的投影。 作出水平面作出水平面Q Q截锥的交线圆截锥的交线圆K K。 定出它与正垂面定出它与正垂面P P的交线的交线。 连连S1S1、S2S2、S1S1、S2S2，即得正垂，即得正垂 面面P P截锥的交线截锥的交线SS、SS。 作出侧平面截锥的双曲线。先作出侧平面截锥的双曲线。先 作出平面作出平面Q Q与与R R的交线的交线，则，则 为所求双曲线上的的两个最高点。为所求双曲线上的的两个最高点。 再作出锥底与再作出锥底与R R平面的交线平面的交线，则，则 此两点为双曲线上的最低点。此两点为双曲线上的最低点。 然后在然后在Q Q和底面之间作适当的辅

24、和底面之间作适当的辅 助水平面求出若干个一般点，。连助水平面求出若干个一般点，。连 接各点即得双曲线的投影。接各点即得双曲线的投影。 判别可见性，完成全图。判别可见性，完成全图。 【例例1919】 试完成带缺口圆锥的俯、左视图试完成带缺口圆锥的俯、左视图 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2020】完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。 1 1、空间与投影分析、空间与投影分析 截交线为圆弧、椭 圆弧和直线段组成的空 间曲线，三条截平面间 的交线。截交线的正面 投影落在截平面的正面 积聚性投影上。 2 2、投影作图、投影作图 分别求解各个截平

25、面的截交线，截交线上 的点可运用锥面取点方 法获得。 3 3、整理轮廓线、整理轮廓线 浏览三维动画浏览三维动画 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 五、球的截交线五、球的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2121】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2222】完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2323】 求圆球截交线求圆球截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 2 2 1 【例例2

26、424】 求圆球截交线求圆球截交线 3 33 1 2 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 六、平面与圆环相交六、平面与圆环相交 平面与圆环相交时，截平面与圆环面的相对位置不同， 截交线的形状亦不相同。当截平面垂直于圆环轴线或通过 圆环圆环轴线截切时，截交线为圆；当截平面处于其它位 置时，截交线一般为一条或两条封闭的平面曲线。可用辅 助平面法求得圆环的截交线。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 ( )( ) ( )() () 解解 正平面截切圆环，截交线正平面截切圆环，截交线 的的V V面投影反映实形，是封闭的平面投影反映实形，是封闭的平 面曲线，其面曲线，其H H面投影积聚在面投

27、影积聚在PHPH上。上。 作图：作图： 求作特殊点。点求作特殊点。点、分别分别 是最左、最右点，是最左、最右点，H H面投影在面投影在P PH H与与 转向轮廓线相交处，由转向轮廓线相交处，由1 1、2 2求得求得 11、22；点；点、为最高点，为最高点， 点点、为最低点，由为最低点，由H H面投影面投影3 3、 4 4、（、（5 5）、（）、（6 6）求得）求得33、44、 55、66；点；点、是内环面上是内环面上 的点，用辅助圆法由的点，用辅助圆法由7 7、（、（8 8）求）求 得得77、88。 求作一般点。如选取求作一般点。如选取、 、四点用辅助平面四点用辅助平面Q Q1 1和和Q Q2

28、 2求点求点 的的V V面投影。面投影。 【例例2525】 圆环被正平面圆环被正平面P P所截，求截交线的所截，求截交线的V V面投影面投影 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 组合回转体通常由多个基本回转体组合形成， 求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是 由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然 后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其 连接。 七、组合回转体的截交线七、组合回转体的截交线 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2626】 试求回转面被正平面所截的截交线。试求回转面被正平面所截的截交线。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例2727

29、】 试完成图示连杆头的截交线投影。试完成图示连杆头的截交线投影。 解解 连杆头是由圆柱面、内环面和球面组成的同轴复合回转体，被前后两个连杆头是由圆柱面、内环面和球面组成的同轴复合回转体，被前后两个 对称的正平面对称的正平面P P1 1、P P2 2所截而成。其截交线是由截球所得的交线圆弧与截圆环所所截而成。其截交线是由截球所得的交线圆弧与截圆环所 得的一般曲线组合而成。其分界点得的一般曲线组合而成。其分界点、处在环与球的分界圆上，即在过正处在环与球的分界圆上，即在过正 视转向线两圆弧的切点视转向线两圆弧的切点aa所作垂直于连杆头轴线的圆周上。由于截平面前后所作垂直于连杆头轴线的圆周上。由于截平

30、面前后 对称，其截交线的正面投影前后重合且反映实形，其余投影积聚成直线，且对称，其截交线的正面投影前后重合且反映实形，其余投影积聚成直线，且 与截平面的相应投影重合。与截平面的相应投影重合。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 两圆弧的切点 作图：作图： 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 () () () () () () 作图：作图： 【例例2828】 试完成顶尖截交线的投影试完成顶尖截交线的投影 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们 的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线

31、，并的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并 依次将其连接。依次将其连接。 【例例2929】求作顶尖的俯视图求作顶尖的俯视图 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例3030】 求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。求组合立体截切后的水平投影和侧面投影。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例3131】完成组合回转体截切后的正面投影。完成组合回转体截切后的正面投影。 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 6-4 6-4 直线与立体相交直线与立体相交 1 1、贯穿点、贯穿点直线与立体表面的交点直线与立体表面的交点 2 2、贯穿点的性质、贯穿点的性质 1）既属于直线，又属于立体表面 2）成对出现 3 3、求法、求法 直线与平面立体相交，相当于直线和平面相交；直线与曲 面立体相交，则用辅助平面法 4 4、求解步骤：、求解步骤： 1）包含直线作辅助平面 2）求辅助平面与立体的交线 3）求交线与已知直线的交点 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例3232】 直线与棱柱、圆柱的贯穿点直线与棱柱、圆柱的贯穿点 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交 【例例333