双因素方差分析

1、第二节第二节 双因素方差分析双因素方差分析 1 双因素方差分析及其类型双因素方差分析及其类型 2 无交互作用的双因素方差分析无交互作用的双因素方差分析 3 有交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析 双因素方差分析双因素方差分析 (two-way analysis of variance) 分析两个因素分析两个因素(行因素行因素Row和列因素和列因素 Column)对试验结果的影响对试验结果的影响 如果两个因素对试验结果的影响是相互独如果两个因素对试验结果的影响是相互独 立的，分别判断行因素和列因素对试验数立的，分别判断行因素和列因素对试验数 据的影响，这时的双因素方差分析称为据的影

2、响，这时的双因素方差分析称为无无 交互作用的双因素方差分析交互作用的双因素方差分析或或无重复双因无重复双因 素 方 差 分 析素 方 差 分 析( Tw o - f a c t o r w i t h o u t replication) 3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单如果除了行因素和列因素对试验数据的单 独影响外，两个因素的搭配还会对结果产独影响外，两个因素的搭配还会对结果产 生一种新的影响，这时的双因素方差分析生一种新的影响，这时的双因素方差分析 称为称为有交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析或或可重可重 复双因素方差分析复双因素方差分析 (Two-factor

3、with replication ) 双因素方差分析的基本假定双因素方差分析的基本假定 每个总体都服从正态分布每个总体都服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布 总体的简单随机样本总体的简单随机样本 各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽 取的取的 观察值是独立的观察值是独立的 无交互作用的双因素方差分析 (无重复双因素分析) 不同品牌的彩电在不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据个地区的销售量数据 品牌因素品牌因素 地区因素地区因素 地区

4、地区1地区地区2地区地区3地区地区4地区地区5 品牌品牌1 品牌品牌2 品牌品牌3 品牌品牌4 365 345 358 288 350 368 323 280 343 363 353 298 340 330 343 260 323 333 308 298 数据结构 . i x ), 2 , 1( 1 . ki r x x r j ij i j x. ), 2 , 1( 1 . rj k x x k i ij j x kr x x k i r j ij 11 分析步骤分析步骤 (提出假设提出假设) 提出假设提出假设 对行因素提出的假设为对行因素提出的假设为 H0：m m1 = m m2 = =

5、m mi = = m mk (m mi为第为第i个水平的均个水平的均 值值) H1：m mi (i =1,2, , k) 不全相等不全相等 对列因素提出的假设为对列因素提出的假设为 H0： m m1 = m m2 = = m mj = = m mr (m mj为第为第j个水平的个水平的 均值均值) H1： m mj (j =1,2,r) 不全相等不全相等 分析步骤分析步骤 (构造检验的统计量构造检验的统计量) 计算平方和计算平方和(SS) 总误差平方和总误差平方和 行因素误差平方和行因素误差平方和 列因素误差平方和列因素误差平方和 随机误差项平方和随机误差项平方和 k i r j ij xxS

6、ST 11 2 k i r j i xxSSR 11 2 . k i r j j xxSSC 11 2 . k i r j jiij xxxxSSE 11 2 . 分析步骤分析步骤 (构造检验的统计量构造检验的统计量) 总误差平方和总误差平方和(SST )、行因素平方和、行因素平方和 (SSR)、 列因素平方和列因素平方和(SSC) 、误差项平方和、误差项平方和(SSE) 之之 间的关系间的关系 2 11 . 11 2 . 11 2 . 11 2 k i r j jiij k i r j j k i r j i k i r j ij xxxxxxxx xx 分析步骤分析步骤 (构造检验的统计量

7、构造检验的统计量) 计算均方计算均方(MS) 误差平方和除以相应的自由度误差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是三个平方和的自由度分别是 总误差平方和总误差平方和SST的自由度为的自由度为 kr-1 行因素平方和行因素平方和SSR的自由度为的自由度为 k-1 列因素平方和列因素平方和SSC的自由度为的自由度为 r-1 误差项平方和误差项平方和SSE的自由度为的自由度为 (k-1)(r-1) 分析步骤分析步骤 (构造检验的统计量构造检验的统计量) 计算均方计算均方(MS) 行因素的均方，记为行因素的均方，记为MSR，计算公式为，计算公式为 列因素的均方，记为列因素的均方，记为MSC

8、，计算公式为，计算公式为 误差项的均方，记为误差项的均方，记为MSE ，计算公式为，计算公式为 1 k SSR MSR 1 r SSC MSC ) 1)(1( rk SSE MSE 分析步骤分析步骤 (构造检验的统计量构造检验的统计量) 计算检验统计量计算检验统计量(F) 检验行因素的统计量检验行因素的统计量 检验列因素的统计量检验列因素的统计量 ) 1)(1( , 1 C rkrF MSE MSC F ) 1)(1( , 1 R rkkF MSE MSR F 分析步骤分析步骤 (统计决策统计决策) 将统计量的值将统计量的值F与给定的显著性水平与给定的显著性水平 的临界的临界 值值 F 进行比

9、较，作出对原假设进行比较，作出对原假设 H0 的决策的决策 根据给定的显著性水平根据给定的显著性水平 在在F分布表中查找相应分布表中查找相应 的临界值的临界值 F1- 若若FRF1- ，拒绝原假设，拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差，表明均值之间的差 异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显 著影响著影响 若若FC F1- ，拒绝原假设，拒绝原假设H0 ，表明均值之间有，表明均值之间有 显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著显著差异，即所检验的列因素对观察值有显著 影响影响 双因素方差分析表 (基本结构) 误差来源误差来源 平方和平方和 (SS) 自由

10、度自由度 (df) 均方均方 (MS) F值值P值值 F 临界值临界值 行因素行因素SSRk-1MSR MSR MSE 列因素列因素SSCr-1MSC MSC MSE 误差误差SSE(k-1)(r-1)MSE 总和总和SSTkr-1 双因素方差分析双因素方差分析 (例题分析例题分析) 提出假设提出假设 对品牌因素提出的假设为对品牌因素提出的假设为 H0：m m1=m m2=m m3=m m4 (品牌对销售量无显著影响品牌对销售量无显著影响) H1：m mi (i =1,2, , 4) 不全相等不全相等 (有显著影响有显著影响) 对地区因素提出的假设为对地区因素提出的假设为 H0：m m1=m

11、m2=m m3=m m4=m m5 (地区地区对销售量无显著影响对销售量无显著影响) H1：m mj (j =1,2,5) 不全相等不全相等 (有显著影响有显著影响) 不同品牌的彩电在不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据个地区的销售量数据 品牌因素品牌因素 地区因素地区因素 地区地区1地区地区2地区地区3地区地区4地区地区5 品牌品牌1 品牌品牌2 品牌品牌3 品牌品牌4 365 345 358 288 350 368 323 280 343 363 353 298 340 330 343 260 323 333 308 298 有交互作用的双因素方差分析 (可重复双因素分析) 可重复双因素分

12、析可重复双因素分析 【例例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时 间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和 高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验共获得高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验共获得20个个 行车时间行车时间(单位：单位：min)的数据，如下表。试分析路段、时段以的数据，如下表。试分析路段、时段以 及路段和时段的交互作用对行车时间的影响及路段和时段的交互作用对行车时间的影响 可重复双因素分析可重复双因素分析 (平方和的计算平方和的计算) 设：设： 为对应

13、于行因素的第为对应于行因素的第i个水平和列因素的个水平和列因素的 第第 j 个水平的第个水平的第 l 行的观察值行的观察值 为行因素的第为行因素的第i个水平的样本均值个水平的样本均值 为列因素的第为列因素的第j个水平的样本均值个水平的样本均值 对应于行因素的第对应于行因素的第i个水平和列因素的第个水平和列因素的第j 个水平组合的样本均值个水平组合的样本均值 为全部为全部 n个观察值的总均值个观察值的总均值 ijl x . i x j x. ij x x 可重复双因素分析可重复双因素分析 (平方和的计算平方和的计算) 总平方和：总平方和： 行变量平方和：行变量平方和： 列变量平方和：列变量平方和： 交互作用平方和：交互作用平方和： 误差项平方和：误差项平方和： k i r j m l ijl xxSST 111 2 )( k i i xxrmSSR 1 2 . )( r j j xxkmSSC 1 2 . )( k i r j jiij xxxxmSSRC 11