第3节　三角恒等变换

1、第第3 3节三角恒等变换节三角恒等变换 1.1.会用向量的数量积推导出两角差的会用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式余弦公式. . 2.2.会用两角差的余弦公式推导出两角会用两角差的余弦公式推导出两角 差的正弦、正切公式差的正弦、正切公式. . 3.3.会用两角差的余弦公式推导出两角会用两角差的余弦公式推导出两角 和的正弦、余弦、正切公式和二倍角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角 的正弦、余弦、正切公式的正弦、余弦、正切公式, ,了解它们的了解它们的 内在联系内在联系. . 4.4.能运用上述公式进行简单的恒等变能运用上述公式进行简单的恒等变 换换( (包括导出积化和差、和差化积、半包括导出积

2、化和差、和差化积、半 角公式角公式, ,但不要求记忆但不要求记忆).). 考纲展示考纲展示 知识梳理自测知识梳理自测 考点专项突破考点专项突破 易混易错辨析易混易错辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读教材导读】 提示提示: :不一定不一定, ,变形可以变形可以, ,但不是对任意角但不是对任意角,都成立都成立,+k+ ,+k+ , kkZ Z. . 2 2.2.一般情况下一般情况下,tan 22tan ,tan 22tan ,但是否存在但是否存在,使得使得tan 2=2tan ?tan 2=2tan ? 提示提示: :存在存在,tan 2=2tan ,

3、tan 2=2tan ,如如=k(k=k(kZ Z) )时时, ,上式就成立上式就成立. . 知识梳理知识梳理 1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)(1)两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式 cos(+)=cos(+)= , , cos(-)=cos(-)= . (2)(2)两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式 sin(+)=sin(+)= , sin(-)=sin(-)= . cos cos -sin sin cos cos -sin sin cos cos +sin sin cos cos +sin sin sin cos +cos si

4、n sin cos +cos sin sin cos -cos sin sin cos -cos sin (3)(3)两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 tan(+)=tan(+)= (,+ +k,k(,+ +k,kZ Z),), tan(-)=tan(-)= (,- +k,k(,- +k,kZ Z).). 2 2 tantan 1tantan tantan 1tantan 2.2.二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)(1)二倍角的正弦公式二倍角的正弦公式 sin sin 2 2= . (2)(2)二倍角的余弦公式二倍角的余弦公式 cos cos 2 2= =

5、2cos=2cos2 2-1=1-2sin-1=1-2sin2 2. 2sin cos 2sin cos coscos2 2-sin-sin2 2 (3)(3)二倍角的正切公式二倍角的正切公式 tan 2=tan 2= . . 2 2tan 1tan 3.3.公式的常见变形公式的常见变形 (1)tan (1)tan tan =tan = . . (2)sin(2)sin2 2= ; ; coscos2 2= ; ; sin sin cos =cos = . . tan(tan()(1)(1 tan tan )tan tan ) 1cos2 2 1cos2 2 sin 2 sin 2 1 2 2

6、 2cos 2 2 2sin 2 【重要结论重要结论】 双基自测双基自测 D D D D 4.4.下面说法正确的是下面说法正确的是. 存在实数存在实数,使等式使等式sin (+)=sin +sin sin (+)=sin +sin 成立成立. . 在锐角在锐角ABCABC中中,sin Asin B,sin Asin B和和cos Acos Bcos Acos B大小不确定大小不确定. . 公式公式tan (+)= tan (+)= 可以变形为可以变形为tan +tan =tan(+)(1-tan +tan =tan(+)(1- tan tan ),tan tan ),且对任意角且对任意角,都成

7、立都成立. . 存在实数存在实数,使使tan 2=2tan .tan 2=2tan . 两角和与差的正弦、余弦公式中的角两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的是任意的. . tantan 1tantan 答案答案: : 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一考点一 三角函数式的化简与给角求值三角函数式的化简与给角求值 答案答案: :(1)B (1)B 反思归纳反思归纳 (1)(1)三角函数式化简的常用方法三角函数式化简的常用方法 善于发现角之间的差别与联系善于发现角之间的差别与联系, ,合理对角拆分合理对角拆分, ,恰当选择三角公式恰当选择三角公式, ,能求值的

8、能求值的 求出值以减少角的个数求出值以减少角的个数. . 利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一. . (2)(2)对于给角求值问题对于给角求值问题, ,往往所给角都是非特殊角往往所给角都是非特殊角, ,解决这类问题的基本思路有解决这类问题的基本思路有 化为特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值. . 化为正、负相消的项化为正、负相消的项, ,消去求值消去求值. . 化分子、分母出现公约数进行约分求值化分子、分母出现公约数进行约分求值. . 考点二考点二 三角函数的给值求值三角函数的给值求值 反思归纳反思归纳 已知三角函数值已知三

9、角函数值, ,求三角函数式值的一般思路求三角函数式值的一般思路 (1)(1)先化简所给和所求式子先化简所给和所求式子; ; (2)(2)观察已知条件与所求式子之间的联系观察已知条件与所求式子之间的联系( (从三角函数名及角入手从三角函数名及角入手);); (3)(3)将已知条件代入所求式子将已知条件代入所求式子, ,化简求值化简求值. . 考点三考点三 三角函数的给值求角三角函数的给值求角 答案答案: :(1)C (1)C 反思归纳反思归纳 (1)(1)解决给值求角问题的一般步骤是解决给值求角问题的一般步骤是: :求角的某一个三角函数求角的某一个三角函数 值值; ;确定角的范围确定角的范围; ;根据角的范围写出要求的角根据角的范围写出要求的角. . (2)(2)在求角的某个三角函数值时在求角的某个三角函数值时, ,应注意根据条件选择恰当的函数应注意根据条件选择恰当的函数, ,尽量做到尽量做到 所选函数在确定角的范围内为一对一函数所选函数在确定角的范围内为一对一函数. . 已知正切函数值已知正切函数值, ,选正切函数选正切函数; ; 备选例题备选