不定积分公式[课堂使用]

1、; )1(, 1 1 d2 1 Cxxx ) )( ( ;|lnd 1 3Cxx x ) )( ( ; ln d 4C a a xa x x ) )( ( 不定积分基本公式表不定积分基本公式表 ; )(d 1为常数为常数) )( (kCkxxk ;ede, e Cxa xx 时时当当 1基础教学 ；) )( ( Cxxx sindcos 5 ；) )( ( Cxxx cosdsin 6 ；) )( ( Cxxx tandsec 7 2 ；) )( ( Cxxx cotdcsc 8 2 ；) )( ( Cxxxx secdtansec 9 ；) )( ( Cxxxx cscdcotcsc 10

2、2基础教学 ；) )( (CxCx x x arccos arcsin 1 d 11 2 .cotarctan 1 12 2 CxCx x x arc d ) )( ( 3基础教学 ;lnd 1 Cxx x 当当 x 0 时，时，, 1 )(ln x x 因为因为所以所以 .)ln(d 1 Cxx x 综合以上两种情况，当综合以上两种情况，当 x 0 时，得时，得 . |lnd 1 Cxx x 例例 1求不定积分求不定积分 .d 1 x x 解解. 0 1 x x 的定义域为的定义域为被积函数被积函数 4基础教学 例例 2求不定积分求不定积分. .d 1 )2( x x 解解先把被积函数化为幂

3、函数的形式，再利用基先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基 本积分公式，本积分公式， ( (1) ) xxxxxdd 2 5 2 Cx 1 2 5 1 2 5 1 . 7 2 3 Cxx ( (2) )Cx 1 2 1 1 2 1 1 xxx x dd 1 2 1 Cx 2 1 2 得得 .2Cx ;d)1( 2 xxx 5基础教学 例例 3求不定积分求不定积分.de2 x xx 解解 xx xxx d) e2(de2 C x ) e2ln( ) e2( . 2ln1 e2 C xx 6基础教学 法则法则 1两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数的代数和的不定积分等于这 两个函数不定积分的代

4、数和两个函数不定积分的代数和， .d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf 即即 二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则 7基础教学 法则法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，可推广到有限多个函数代数和的情况，即即 xxfxfxf n d)()()( 21 .d)(d)(d)( 21 xxfxxfxxf n 根据不定积分定义，只须验证上式右端的根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数导数等于左端的被积函数. ).()(xgxf xxgxxfdd)()( xxgxxfdd)()( 证证 8基础教学 法则法则 2被积函数中的不为零的常数因子可以被积函数中

5、的不为零的常数因子可以 提到积分号前面提到积分号前面， xxfkxxkfd)(d)( (k 为不等于零的常数为不等于零的常数) ) 证证类似性质类似性质 1 的证法，的证法，有有 即即 xxfkd)( xxfkd)().(xkf 9基础教学 例例 4求不定积分求不定积分.d)2sin2( xxxxe x 但是由于但是由于 任意常数之和还是任意常数，任意常数之和还是任意常数， xxxxe x d)2sin2( xxxxxxe x d2sin2dd 3 2 5 21 5 2 2)cos(2CxCxCe x )22( 5 4 cos2 321 2 5 CCCxxe x . 5 4 cos2 2 5

6、Cxxe x 其中每一项虽然都应有一个积分常数，其中每一项虽然都应有一个积分常数， 解解 所以只需在最后所以只需在最后 写出一个积分常数写出一个积分常数 C 即可即可. 10基础教学 求积分时，如果直接用求积分的两个运算法求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果，则和基本公式就能求出结果， 三、直接积分法三、直接积分法 或对被积函数进行或对被积函数进行 简单的恒等变形简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，求出结果， 这种求不定积分的方法成为

7、这种求不定积分的方法成为直接积分直接积分 法法 11基础教学 例例 5求求 .d )1( 2 3 x x x x x x d )1( 2 3 x x xxx d 331 2 32 xx xx d3 31 2 xxxx xx x dd3d 1 3 d 2 . 2 1 3|ln3 1 2 Cxxx x 解解 12基础教学 例例 6求求 . )1( 12 22 2 x xx x d x xx xx d )1( )1( 22 22 x xx x x xx x dd )1()1( 1 22 2 22 2 x xx x d d 1 1 22 .arctan 1 Cx x 解解 x xx x d )1( 1

8、2 22 2 13基础教学 例例 求求 . 1 2 4 x x x d x x x d 1 11 2 4 x x x x xx dd 1 1 1 )1)(1( 22 22 x x xxdd 2 2 1 1 )1( .arctan 3 3 Cxx x 解解 x x x d 1 2 4 14基础教学 例例 8求求 . sincos 2cos x xx x d x xx xx d sincos sincos 22 xxxdsincos .cossinCxx 解解 x xx x d sincos 2cos 15基础教学 例例 9求求 . sincos 1 22 x xx d x xx xx d 22

9、22 sincos sincos x x x x dd 22 sin 1 cos 1 .cottanCxx 解解 x xx d 22 sincos 1 x x x x dd 22 sin 1 cos 1 16基础教学 例例 10求求.tan 2 xxd xxxdd 2 sec .tanCxx 解解 xxd 1sec 2 xxd 2 tan 17基础教学 例例 11 已知物体以速度已知物体以速度 v 2 2t2+1 (m/s)作直线运动，作直线运动， 当当 t=1 s 时时, 物体经过的路程为物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律求物体的运动规律. 解解设所求的运动规律设所求的运动规律 s = s(t)，按