常用的统计量抽样分布总结

1、常用的统计量抽样分布1.X 二丄Xi EXn i 12.ns2rX2亠Xi2DXn -1 iu3.定理:(1).X与S2相互独立。NC2)，X1,X2, ,Xn 为 X 的样本，则2X N()，n2(n _ 1) S 2 ( 1)2(n -1),a2分布1. 定义设X1,X2，Xn独立同分布，且N(0,1)，贝U 2八 Xi22(n)2性质:(1).若 X2(n 1)，丫 2(n2)，且 X，丫 独立，则 X+Y2g n?)。.若X2(n)，贝U EX = n ， DX =2n。三. t分布1. 定义设 X N(0,1), Y2(n),且X , Y独立，则T二Xt(n)。2. 定理:设X1,X

2、2, ,Xn独立同分布，且N(怙2)，则X - 1Sn(X)n t(n _1)(n -1)S22CF（因为N(0,1)，匸成02(n -1)o-13. 定理:设X1，X2， ,Xn为总体XN （叫卫2）的样本,丫1，丫2,，丫山为总体丫N（J,二2）的样本，且X,Y独立，则以一丫 -心宀），其中Swt 1 11 + 1一n1n2ni“2 - 2证：因为2(n1 -1)S12(ni -1),(n2_1)S2(n21)，所以(n1 -1)S12 - (n2 -1)S2(mn22）；所以X-2N(1，)，YN（-2,:丁 2 ;丁 2)，n1n2所以ZU）N（0,1），所以CJ1n21 11S 11

3、Sw -“1“2(X -丫)_(d2)c. 11. n1 n2/W巴严恵心一2）2 2S2 _ (n11) Si (n21)S2Sw =t(n1 n2-2)。四.F分布1.定义U/设 U 电2(n 1), V 工2(r)2),且U ,V 独立，则 F =F(n-n?)/山2. 定理：1设 F F(nn2)，则匸F(n2, nJ3. 定理：设Xi，X2， ,Xn为总体XN (叫，G2)的样本，丫1，丫2,，丫山为总体丫N(J,打)的样本，且X,Y独立，则s2/2s2 /打 F （n 11,巳1）。常用的统计量抽样分布示例25例1设X1, X2,X25是来自总体X 2 1的一个样本，则Xii 二服

4、从2 25分布;例2设随机变量X1,X2, X3相互独立，X1N(0,1) , X211N(0,), X3 N(0,)，则 X2 2X| 3X32服从 2(3)分布。23例3设总体X服从N(0,22)，而X1,X2，X15为来自总体X的简X2 + 乂2+X 2单随机样本，则随机变量丫二严 服从F(10,5)2(X；+x：5)分布。例4设随机变量X,Y相互独立且都服从N(0,32)，而X1,X2, X 和丫1,丫2,，丫9为分别来自总体X和丫的简单随机样本，则 统计量U二XX2_X9服从t(9)分布。(丫12 + +丫92例5设X1,X2, ,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X

5、是样本均值，S2是样本方差，则(A).nX N(0,1)(B)2 2nS (n)(C).(n 1)Xt(n -1)(D)(n -1)X12F(1 ,n-1)解:(n -1)X：X； /1F(1, n-1)、Xi2/n -1i =2例6设总体X服从N(叫,；2)，总体Y服从N(2f2X1,X2/ ,Xn1为来自总体X的简单随机样本，丫1,丫2, ,Yn为来自总体丫的简单随机样本，则n；1 -Y)2解：原式 E(Xj -X)2 、(Yn1 n2 一2 i 吕i :n1 (Xi -X)2n2ni(n； -1)S送(Xi-X)22(n 1-1),故 EUn2从而 (Xi -X)2E迟(Y -丫)2二m

6、 -1,同理EP 2_1，2-1 ,所以原式二二2。例7.设X1,X2/ ,Xn (n 2)为来自总体N(0f2)的简单随机样本,X是样本均值，记 Y=XjX，i=1,2,，n。求：(1) .Yi 的方差 DYi，i =1,2, ,n ；(2) .Cov(YYn)； P 乞0。(4 )若c(丫 Yn)2是二2的无偏估计，求c的值解:_ii(1) DYD(XiX)(1-)Xi 与八 Xk 独立)nn k _i,k = D(1)Xi -1 - Xk =(1 一丄)n n 7 农n丄(n 一1)二2nn -12cr(2)二 EY =EY, =E(X! X) = 0,Xi, Xn独立，E(XiXn) =EXi EXn =0而 D(X)二 D 1 (DXDXn)n1 2=CJnE(XX)=E(Xi)2 E(X X2厂E(X Xn)二E(Xi)nn所以 Cov(Y，Yn)二 D(X) -1 ；2 _ ；2 二 _丄；2n n n n 2n 22(3) 丫1 Yn =(X1 _X) (Xn _X) = -X1 - _Xn Xj nnn y上式是相互独立的正态随机变量的线性组合