平稳随机信号通过线性系统

1、2021-7-12平稳随机信号通过线性系统1 第四章第四章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统 平稳随机信号通过线性系统2 3.1 3.1 线性系统基本理论线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 3.3 随机序列通过离散时间系统随机序列通过离散时间系统 平稳随机信号通过线性系统3 系统可分为：系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：对于线性系统： 已知已知系统特性系统特性和和输入信号的统计特性输入信号的统计特性， 可以

2、求出可以求出输出信号的统计特性输出信号的统计特性 所研究的系统：所研究的系统： 单输入单输出（响应）单输入单输出（响应） 连续或离散连续或离散 线性时不变线性时不变 物理可实现（因果性）物理可实现（因果性） 稳定性稳定性 平稳随机信号通过线性系统4 连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号； 离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。 连续与离散系统：连续与离散系统： （1）线性性：线性性： （2）时不变：）时不变： 线性时不变系统：线性时不变系统： 1212 ( )( )( )( )L ax tbx taL

3、x tbL x t称作算子 L 00 () ()y ttL x tt 平稳随机信号通过线性系统5 什么是线性系统？什么是线性系统？ 时不变线性系统时不变线性系统 连续时不变线性系统连续时不变线性系统 离散时不变线性系统离散时不变线性系统 平稳随机信号通过线性系统6 时不变线性时不变线性系统系统 若任意常数若任意常数a, b, 输入信号输入信号 x1(t), x2(t), 有有 Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t) 若输入信号若输入信号x(t)时移时移C, 输出输出y(t)也只引时移也只引时移C，即，即 y(t-C) = Lx(t-C) L. x(t)y(t) =

4、 Lx(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？ 平稳随机信号通过线性系统7 连续时不变线性连续时不变线性系统系统 h(t) x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是线性系统？什么是线性系统？ )()()()()()()(thtxdthxdhtxty 平稳随机信号通过线性系统8 3.1.2 连续时不变线性系统的分析方法连续时不变线性系统的分析方法 平稳随机信号通过线性系统9 3.1.3 离散时不变线性系统的分析方法离散时不变线性系统的分析方法 平稳随机信号通过线性系统10 3.1.4 卷积积分回顾卷积积分回顾 tftf 21 dtff 21 1212 ftftfftd 1212 -ftf

5、tfftd 平稳随机信号通过线性系统11 平稳随机信号通过线性系统12 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 平稳随机信号通过线性系统13 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出信号的均值、输出信号的均值 2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数 3、输入信号与输出信号之间的互相关函数、输入信号与输出信号之间的互相关函数 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 平稳随机信号通过线性系统14 ： 1、输出信号的均值、输出信号的均值 3.2.1 时域分析法时域分析法 2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数 输入信号的自相关函数输入信号的自相关

6、函数RX输出信号的自相关函数输出信号的自相关函数RY，即：，即： Y1212 ( , )Y( )Y( )Rt tEtt 12X12 ( )( )( , )h th tRt t 平稳随机信号通过线性系统15 输入输入x(t)与输出与输出y(t)的互相关函数的互相关函数RXY输出输出y(t)的自相关函数的自相关函数 RY 2、输出信号的自相关函数、输出信号的自相关函数 3.2.1 时域分析法时域分析法 t时刻的X t+时刻的Y 以以Y Y为计时起点，为计时起点， 则- 时刻的X t时刻的Y t+时刻的X 以以Y Y为计时起点，为计时起点， 则+ 时刻的X 平稳随机信号通过线性系统16 3、输入、输

7、入X与输出与输出Y之间的互相关函数之间的互相关函数RXY 3.2.1 时域分析法时域分析法 t时刻的X t+时刻的Y 若以X为计时起点， 则+ 时刻的Y t时刻的Y t+时刻的X 若以X为计时起点，则 - 时刻的Y 平稳随机信号通过线性系统17 小小 结结 Y12 ( , )Rt t 12X12 ( )( )( , )h th tRt t X ( )* ( ) Y mtmth t 输出均值输出均值 输入输出互相关函数输入输出互相关函数 XY12X122 ( , )( , )* ( )Rt tRt th t YX12X121 ( , )( , )* ( )Rt tRt th t 输出自相关函数输

8、出自相关函数 1XY12 ( )( , )h tRt t 2YX12 ( )( , )h tRt t YX 0 ( )mmhd 平稳随机信号平稳随机信号 XY( ) R)()(hRX YX( ) R X( ) ()Rh YX ( )( )( )()RRhh XYYX ( )()( )( )RhRh 平稳随机信号通过线性系统18 解：解： tYEtmY duutXuhE 0 duutXEuh 0 tBMEutXE20cos5ME tmY duuh 0 5dte t 0 10 105 5 平稳随机信号通过线性系统19 (1) 输出信号均值输出信号均值 tYEtmY duutXuhE 0 duutX

9、Euh 0 duuhmX 0 X m 平稳随机信号通过线性系统20 dudvvtXutXEuhvh 00 dudvvuRuhvh X 00 dudvvu N uhvh 0 0 0 2 dvduvu N vhuh 0 0 0 2 duuhuh N 0 0 2 0 du bebe N ubbu 0 0 2 duee bN bub 0 2 2 0 2 b e bN 4 0 (2) 输出自相关函数输出自相关函数 tYtYERY dvvtXvhduutXuhE 00 平稳随机信号通过线性系统21 (3) 输出平均功率输出平均功率 4 0 0b N RQ Y (4) 输入输出互相关函数输入输出互相关函数

10、hRR XXY duuRuh X 0 duu N uh 0 0 2 其它, 0 0, 2 0 h N XYYX RR 0, 2 0, 0 0 h N 平稳随机信号通过线性系统22 hRR XXY duu N uh 0 0 2 0, 2 0 h N 0, 2 0 XY R N h 当输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号当输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号白噪声。白噪声。 平稳随机信号通过线性系统23 前提前提: 系统处于稳定状态时，系统处于稳定状态时，t=0系统输出响应也已处于稳态系统输出响应也已处于稳态 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 平稳随机信号通过线性系统2

11、4 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 1、输出信号的均值、输出信号的均值 2、输出信号的功率谱密度、输出信号的功率谱密度 3、输入信号与输出信号的互谱密度、输入信号与输出信号的互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换的关系、拉氏变换与付氏变换的关系 平稳随机信号通过线性系统25 1、输出信号的均值、输出信号的均值 0 0 ( )( )(0) YXXX mmhdm Hm H thtmtm XY Hmm XY 对于平稳随机信号对于平稳随机信号x(t)： 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 平稳

12、随机信号通过线性系统26 2、输出的功率谱密度、输出的功率谱密度SY YX ( )( )( )()SsSs H s Hs 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统随机信号通过连续时间系统 3、输入与输出的互谱密度、输入与输出的互谱密度SXY/ SYX XYX ( )( )( )SSH YXX ( )( )()SSH YXYYX ( )( )()( )( )SSHSH YXYYX ( )( )()( )( )SsSs HsSs H s hRR XXY hRR XYX x为起点为起点 平稳随机信号通过线性系统27 平稳随机信号通过线性系统28 平稳随机信号通过线性系统29

13、 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出序列的均值、输出序列的均值 2、输入序列与输出序列的互相关函数、输入序列与输出序列的互相关函数 3、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 3.3 随机序列通过离散时间系统随机序列通过离散时间系统 平稳随机序列类似于平稳随机信号。平稳随机序列类似于平稳随机信号。 平稳随机信号通过线性系统30 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出序列的均值、输出序列的均值 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 2、输入与输出的互相关函数、输入与输出的互相关函数RXY/RYX XYXX 0 ( )( )()( )*( ) k R

14、mh k Rmkh mRm YXXX 0 ( )( )()()*( ) k Rmh k RmkhmRm 平稳随机信号通过线性系统31 3.3.1 时域分析法时域分析法 3、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 平稳随机信号通过线性系统32 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、输出序列的功率谱密度、输出序列的功率谱密度 2、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 3、输出序列的平均功率、输出序列的平均功率 平稳随机信号通过线性系统33 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号

15、通过离散时间系统的分析 1、输出序列的功率谱密度、输出序列的功率谱密度 平稳随机信号通过线性系统34 平稳随机信号通过线性系统35 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 2、输出序列的自相关函数、输出序列的自相关函数 平稳随机信号通过线性系统36 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 3、输出序列的平均功率、输出序列的平均功率R(0) 211 1 ( )( )()( ) 2 X l E YnH z H zSz z dz j 2 2 X 1 ( )()( ) 2 j

16、 E YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的单位圆 平稳随机信号通过线性系统37 平稳随机信号通过线性系统38 解:由题知 910 64 24 4 ss s sSY 3311 8888 ssss jsjsss sSY sSsH Y 例例 设计一稳定线性系统设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声使其在具有单位谱的白噪声 激励下输出谱为激励下输出谱为: 910 64 24 4 Y S 31 88 ss jss 31 88 ss jss 平稳随机信号通过线性系统39 3.3.3 色噪声和白化滤波器色噪声和白化滤波器 问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出问题：如何设计一个线性

17、系统，使输入为白噪声时，输出 信号具有所希望的功率谱密度？信号具有所希望的功率谱密度？ 问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声 (即白化滤波器即白化滤波器) 平稳随机信号通过线性系统40 1. 色噪声的产生色噪声的产生 设输入信号为具有单位功率谱密度的白噪声，则系统输出信号 的功率谱密度为 sHsHsSsS XY sHsH 2 HSY 1 zHzHzSzS XY 2 jj Y eHeS 1 zHzH 平稳随机信号通过线性系统41 2. 白化滤波器白化滤波器 平稳随机信号通过线性系统42 例例 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的

18、白化滤波器. cos25. 1 cos4 . 004. 1 X S cos25. 1 cos4 . 004. 1 X S 解解: jwjw jwjw ee ee 5 . 025. 1 2 . 004. 1 1 1 5 . 025. 1 2 . 004. 1 zz zz zS X 1 1 5 . 05 . 0 2 . 02 . 0 zz zz 5 . 0 2 . 0 z z zS X 2 . 0 5 . 01 z z zS zH X 平稳随机信号通过线性系统43 例例3.9 求功率谱密度为求功率谱密度为 的白化滤波器的白化滤波器. 9 3 2 2 X S 解解: 3 3 s s sS X 3 3

19、1 s s sS sH X 9 3 2 2 X S 9 3 2 2 s s sS X ss ss 33 33 平稳随机信号通过线性系统44 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 )(H)(sH设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为 ，或或 X( ) S 2 0 N 其输入白噪声功率谱密度为其输入白噪声功率谱密度为 ， 系统输出的功率谱密度为系统输出的功率谱密度为 2 0 Y( ) ( ) 2 N SH 或物理谱密度为或物理谱密度为 2 Y0 ( )( )GHN 0 注意：注意：该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声，该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声， 则输出信号

20、的功率谱密度主要由则输出信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性系统的幅频特性决定。决定。 这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统 只允许与其频率特性一致的频率分量通过。只允许与其频率特性一致的频率分量通过。 平稳随机信号通过线性系统45 白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。 该该随机信号特性随机信号特性完全由完全由系统特性系统特性决定，决定， 所以，随机信号可用系统的传递函数所以，随机信号可用系统的传递函数/系统函数表征系统函数表征 （即（即随机信号的参数模型随机信号的参数模型） 2 0 Y( ) ( )

21、4 j N RHed 输出自相关函数为输出自相关函数为 输出平均功率为输出平均功率为 2 2 0 0 (0)( )( ) 2 Y N RE YtHd 平稳随机信号通过线性系统46 3.4 平稳随机序列的参数模型平稳随机序列的参数模型 平稳随机序列的特征描述：平稳随机序列的特征描述： 时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、 自相关、自协方差自相关、自协方差 频域特征参数：功率谱密度频域特征参数：功率谱密度 平稳随机序列的参数模型：平稳随机序列的参数模型： 从实验角度，描述平稳随机序列。从实验角度，描述平稳随机序列。 同样的白噪声信号同样的白噪

22、声信号w(n)输入不同的线性系统输入不同的线性系统h(n) ， 就可得不同的平稳随机序列就可得不同的平稳随机序列x(n)。 可见，平稳随机序列可见，平稳随机序列x(n)的特征由线性系统决定。的特征由线性系统决定。 即线性系统的系统函数即线性系统的系统函数H(Z)可用来描述平稳随机序可用来描述平稳随机序 列。故列。故H(Z)就是平稳随机序列的参数模型。就是平稳随机序列的参数模型。 平稳随机信号通过线性系统47 3.4 平稳随机序列的参数模型平稳随机序列的参数模型 平稳随机信号通过线性系统48 3.4.1 滑动平均模型滑动平均模型 -Moving Average 简称简称MA模型模型 平稳随机信号

23、通过线性系统49 3.4.1 滑动平均模型滑动平均模型 -Moving Average 简称简称MA模型模型 平稳随机信号通过线性系统50 3.4.2 自回归模型自回归模型(常用常用) -Autoregressive 简称简称AR模型模型 平稳随机信号通过线性系统51 AR模型的参数估计可以归结为模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组求解一组线性方程组，计算简单。，计算简单。 因此，因此，AR模型的应用最广。模型的应用最广。 平稳随机信号通过线性系统52 平稳随机信号通过线性系统53 如如AR参数模型参数模型 平稳随机信号通过线性系统54 3.4.3 自回归自回归滑动平均模型滑动平均模型

24、Autoregressive Moving Average 简称简称ARMA模型模型 平稳随机信号通过线性系统55 平稳随机信号通过线性系统56 3.5.1 有限阶的有限阶的MA信号模型信号模型 平稳随机信号通过线性系统57 任一任一MA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的AR信号模型表示，信号模型表示， 或者可以用足够大阶数的或者可以用足够大阶数的AR信号模型近似表示。信号模型近似表示。 3.5.2 无限阶的无限阶的AR信号模型信号模型 平稳随机信号通过线性系统58 任一任一ARMA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的AR信号模型表示信号模型表示 3.5.2 无限阶的无限阶的AR信号

25、模型信号模型 平稳随机信号通过线性系统59 3.5.3 无限阶的无限阶的MA信号模型信号模型 任一任一ARMA序列都可以用无限阶的序列都可以用无限阶的MA信号模型表示信号模型表示 平稳随机信号通过线性系统60 3.5.4 总结总结 三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。 同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。 模型系数越少，效率越高。模型系数越少，效率越高。 AR模型适合：功率谱仅有尖峰的信号模型适合：功率谱仅有尖峰的信号 MA模型适合：功率谱仅有深谷的信号模型适合：功率谱仅有深谷的信号 ARMA模型适

26、合：功率谱有尖峰有深谷的信号模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号 所谓适合，即该方法的模型系数少，效率高。所谓适合，即该方法的模型系数少，效率高。 值得注意的是，值得注意的是，AR模型计算简单，为工程上常用模型计算简单，为工程上常用， 工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。 平稳随机信号通过线性系统61 3.6 随机序列参数模型与功率谱、自相关函数随机序列参数模型与功率谱、自相关函数 平稳随机序列以三种不同的方式描述，平稳随机序列以三种不同的方式描述， 从不同角度说明其统计特性。从不同角度说明其统计特性。 自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。自相关函