圆锥曲线方程的方法资料

1、高中数学复习专题讲座：关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等 价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们 熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题 等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mX+

2、ny2=1(m0, n0)定量一一由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是 的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点， B B是径的两个端点，已知 AA =14 m, CC =18 m, BB =22 m,BC18mCl20 m14m A22 m分，绕双曲线下底直塔高20m 建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力知识依托待定系数法求曲线方程；点在曲线

3、上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析建立恰当的坐标系是解决本题的关键技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系 xOy使AA在x轴上,点为坐标原点 O, CC与BB平行于x轴2 2 1 设双曲线方程为笃_每=1(&0, b0),贝U a=-a b2=7的中AAyC一 CA-oAAABB又设 耳11, y1), C(9, X2)因为点 B C在双曲线上，所以2 2 2 24勞1,p务1由题意，知 y2 yi=20,由以上二式得yu 12, y2=8, b=7.：.：22 2故双曲线方程为_=14998例2过点(1 , 0)的直线I与中心在原点，焦点在x轴上离心率为 丄2的

4、椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线2 2y.、AAB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线 I对1y=2x。1l-x称,试求直线l与椭圆C的方程命题意图本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题,对称冋题错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问A、B两点坐标代入圆锥题是解决好本题的关键技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 曲线方程，两式相减得关于直线 AB斜率的等式 解法二，用韦达定理a2解法一由 e=-,得 a_=-,从而 a2=2b2, c=b

5、a 2a22设椭圆方程为x2+2y2=2b2, A(xi, y, B(X2, y2)在椭圆上则 xi2+2yi2=2b2, X22+2y22=2b2,两式相减得，(xi2 X22)+2( yi2 y2)=0,x1x2y1 - y2X1 -X22( yy2)设 AB中点为(xo, yo),贝U kAB=-,又(xo, yo)在直线 y=x 上,- 22yoyo=xo,于是一Xo2yo1, kAB= 1,设I的方程为y= x+1右焦点(b,0)关于I的对称点设为(x , y),解得x = 1y=1bfF7=1则X-b工一亠1.2 2由点(1,1 b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2=

6、 ,a2162所求椭圆C的方程为8x 16 y2 =1, l的方程为y= x+199解法二由e=a冷,得护弓从而a=2b, c=b2 2 2设椭圆C的方程为x+2y=2b,l的方程为y=k(x 1),将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2 k2) x2 4k2x+2k2 2b2=0,则 X1+X2= 4k 2 , y1+y2=k(X1 1+2k22k1)+ k( x? 1)=k(x计X2) 2k=-1 +2k2直线l y=1x过AB的中点(宁，宁),则靑=12k22 ,解得k=0,或k=1 2k2上,27例3如图，已知 POP的面积为27 , P为线段4求以直线OP、0P为渐近线且过点 P

7、的离心率为命题意图本题考查待定系数法求双曲线的方程P1P2的一个三等分3的双曲线方2以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上,点的坐标适合方错解分析利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出 POP的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点P在曲线上和 ROP的面积建立参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值解 以O为原点，/ POP的角平分线为x轴建立如图角坐标系22设双曲线方程为 xy=1(a 0, b 0)a b关于的直F点本身，不能在椭圆C若k=0,则l的方程为y=0,焦点F( c,0)关于直线l的对称点

8、就是所以k=0舍去，从而k= 1，直线l的方程为y= (x 1),即y= x+1,以下同解法由 e2=cl =1 (b)2 =()2，得 b=3a2a2a 233两渐近线OR、OP方程分别为y=_x和y= - x2233tp p设点 P(xi, X1), P2(X2, - X2)(X1 0,X2 0),则由点 P 分 RP2 所成的比入=丄-22PP,坐标为（，：），又点242P在双曲线已-診二1上=2,得P点,所以(Xi 2X2)9a22(X1 2X2)90=1,即(X1+2X2)2 (X1 2X2) 2=9a2,整理得8x1X2=9a2又 |OR|- x/ ；X1213x1292,|OP=

9、 X24X2X22 i_122ta nROxsin POP2 =2小1 +tan2 ROx 131 1二 S缶OP2 =?|OR| |OP2|sinROP2=?13X1 x2412271349即 X1X2=-2由、得a2=4, b2=9故双曲线方程为-=12 2|0P v例4双曲线一占=1( b N)的两个焦点F1、F2, P为双曲线上一点4 b25,| PF|,| F1F2IJ PF2| 成等比数列，则 b =解析 设 R( c,0 )、F2(c,0)、P(x,y),则2 2 2 2 2 2| PF| +| PF| =2(| PQ +| Fg ) V 2(5 +c ),即 | PF| 2+|

10、 PF|2v 50+2c2,又 | PF| 2+| PR|2=(| PF| | PR|) 2+2| PF| T PF|,依双曲线定义，有| PF| | PB|=4,依已知条件有 | PF| | PF|=| F1F2| 2=4c222217 16+8c V 50+2c , c V ,3又:c2=4+b2v 17，二 b2v -，二 b2=133答案1学生巩固练习. . 2 21已知直线x+2y 3=0与圆x+y+x 6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若 OPLOQ则m等于()A 3B 3C 1D 12中心在原点，焦点在坐标为(0 , 5.2)的椭圆被直线3x y 2=0截得的弦的中点的

11、1横坐标为丄，则椭圆方程为()2A.N 2=1B乂丈=125757525x2y2x2y2C.1D.1257575253直线I的方程为y=x+3,在I上任取一点P,若过点P且以双曲线12x2 4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为4已知圆过点 R4 , 2)、Q 1, 3)两点，且在y轴上截得的线段长为4、3，则该圆的方程为5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F, M是椭圆上的任意点，|MF的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点每隔4米方程为| MM|= 口0，试求椭圆的方程3需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长6某抛物线形拱桥

12、跨度是 20米，拱高4米，在建桥时7已知圆G的方程为(X 2) 2+( y 1)2=-? ,椭圆G的322J2AB恰为圆x- y=1(ab 0)， G的离心率为 ，如果C与G2相父于A、B两点，且线段ab2C的直径，求直线 AB的方程和椭圆G2的方程参考答案：1解析将直线方程变为x=3 2y,代入圆的方程x2+y2+x 6y+m=0,得(3 2y) 2+y2+(3 2y)+ m=0整理得 5y2 20y+12+m=0,设 Rx1,yd、Qx2,y2)贝y yiy2=_m , yi+y2=45又:P、Q在直线x=3 2y上， xiX2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6( y 计y2)

13、+9故 yiy2+xiX2=5yiy2 6( yi+y2)+9= m 3=0,故 m=3答案A2 22解析 由题意，可设椭圆方程为y x 2222 =1,且 a=50+b,a2b2即方程为2y50 b2x2 .b2=1将直线3x y 2=0代入，整理成关于 x的二次方程2 2由 Xi+X2=1 可求得 b =25, a =75答案C3解析所求椭圆的焦点为F* 1,0), F2(1,0),2 a=| PF|+| PF2|欲使2a最小，只需在直线l上找一点P使|PF|+| PF|最小，利用对称性可解答案2 2x_丄544解析=1设所求圆的方程为(x a)2+(y b) 2=r2(4 a)2 +(-

14、2 -b)2 =r 则有 *(一1 a)2 +(3b)2 =r2|a|2 2J3)2 =r2a =1= b =0 或b = 4 r2 =13r2 =27由此可写所求圆的方程答案 x2+y2 2x 12=0 或 x2+y10x 8y+4=02 2 25 解 | MFmax=a+c,| MFmin=a c,则(a+c)(a c)= a c =b , b2=4,设椭圆方程为设过M和M的直线方程为y=x+m将代入得(4+ a2) x2 2a2m)+a2ni 4a2=0设 M(X1,y、M(X2, y2), MM的中点为(Xo,yo),则 X0=- ( X1+X2)=2a2my=Xo+nr4m4 a2代

15、入y=x,得壬二空4 +a24 +a22由于 a 4, m=0, 由知 X1+X2=0, X1X2=4a24 a2又| MM|= pdjg +x2)2 4x2 二402 X + 546解 以拱顶为原点，水平线为 x轴，建立坐标系，如图，由题意知,代入xi+X2,xiX2可解a2=5,故所求椭圆方程为=1| AE|=20 , | 0M=4 , AB坐标分别为(10, 4)、(10，- 4)设抛物线方程为x2= 2py,将A点坐标代入，得100= 2pX ( 4),解得p=12 5,于是抛物线方程为x2= 25y由题意知E点坐标为(2 , 4) , E点横坐标也为2,将2代入得y= 0 16,从而| EE |=(0 16) ( 4)=3 84故最长支柱长应为 3 84 7解由e冷,可设椭圆方程为科卡丸又设 A(