圆锥曲线的复习提纲与重要题型

1、圆锥曲线复习提纲、知识归纳:双曲线名称椭圆平面内到两定点 Fi,F2的距离的和为 常数(大于|FiF2 )的动点的轨迹叫椭 圆即 |MF|MF2a当2a 2c时，轨迹是椭圆，当2 a = 2 c时，轨迹是一条线段F1F2当2a 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 f1 , f2的距离的差的绝对值 为常数(小于f1 f2)的动点的轨迹叫双曲线当2a 2c时，轨迹不存在2 2焦点在x轴上时：x2 y2 =1a2 b22 2焦点在y轴上时：与冷/a2 b2注：根据分母的大小来判断焦点在哪一2 2焦点在x轴上时：x2 一 y2 =1a2 b22 2焦点在y轴上时：y - x2 =1a b坐标轴上a,b,

2、ca2 c2 b2, a b 0, a最大，c = b, c ： b, c bnnnc = a b , c a 0c最大，a = b, a ： b, a b焦点在x轴上时： = 0a b焦点在y轴上时：工虫=0a b2 21.椭圆的性质：椭圆方程笃=1(a b 0)a2 b2(1)范围:-a空x a,-b空y空b，椭圆洛在 x= a, y = b组成的矩形中。(2) 对称性：图象关于 y轴对称，图象关于 x轴对称，图象关于原点对称。(3) 顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点.椭圆共有四个顶点：A1(-a,0),A2(a,0) , B1 (0,-b), By (0, b)。A Ay叫椭圆的长

3、轴，长为 2a, B1B2叫椭圆的短轴，长为2b。(4)离心率：椭圆焦距与长轴长之比。(0 : e : 1 ) e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁,e越小，椭圆越圆点P是椭圆上任一点，F是椭圆的一个焦点，则PF max =a + c, PF m貯a-c. 点P是椭圆上任一点，当点P在短轴端点位置时，.FjPF2取最大值. 椭圆的第二定义：当平面内点M到一个定点F（c,O）（c 0）的距离和它到一条定直线2acl : x的距离的比是常数 e （0 : e：1）时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦ca点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.2、点与椭圆位置关系x2v2点P（Xo,

4、 Vo）与椭圆2 =1（a b 0）位置关系：（1）点P（Xo，Vo）在椭圆内2 Xo 2 aa b（3）点P（Xo, Vo）在椭圆2 2(2)点P(Xo, Vo)在椭圆上二 笃.乌=a b2 2XoVo彳外 厅 亍畀a b3、直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法宀护方 位置大糸公共点判定方法相交有两个公共点A O直线与椭圆方程首 先应消去一个未知 数得一元二次方程的根的判别式心相切有且只有一个公共点A = O相离无公共点 12a a（4）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：y=x ；b、渐近线互相垂直；c、离心率e =

5、 .2。线方程写成2 x 2 aK目h X，那么此双曲a(5) 共渐近线的双曲线系： 如果已知一双曲线的渐近线方程为(6) 共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双 曲线。(7) .直线与双曲线位置关系同椭圆 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点抛物线的几何性质(1) 顶点：抛物线 y2 =2px p 0的顶点就是坐标原点。(2) 离心率：抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率,用e表示。由抛物线的定义可知，e= 1。(3) p的几何意义：p表示焦点到准线的距离 2p表示抛物

6、线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)(4)若点M(Xo，y)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点，贝U MF|=x+卫.2若过焦点的直线交抛物线y2 = 2 px( p 0)于A(xyj、B(X2, y?)两点，则弦长二.重点题型1. 圆锥曲线的定义：(1) 已知定点Fi(-3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是()A.PF1 PF 2=4B.PFTPF2 =6C.PF1+IPF2=10D .|PF2 + PF2 2 =12(2)方程 J(x6)2 +y2 J(x+6)2+y2 =8表示的曲线是 2(3)已知点Q(2J2O)及抛物线y = X上一动点P (x,y

7、),则y+|PQ|的最小值是 42. 圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心 (顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：2 2(1) 已知方程1=1表示椭圆，则k的取值范围为 3+k 2-k(2) 若x, yR，且3x2+2y2=6，则x+y的最大值是 ，x2 + y2的最小值是2 2(3) 双曲线的离心率等于 匹，且与椭圆x +y =1有公共焦点，则该双曲线的方程 294(4) 设中心在坐标原点 O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e - 2的双曲线 C过点P(4,-V10，则C的方程为3. 圆锥曲线的几何性质：22ITT(1) 若椭圆的离心率，则m的值是_5m5(2) 以椭圆上一

8、点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 值为(3)1时，则椭圆长轴的最小(5)双曲线的渐近线方程是 3x_2y=0，则该双曲线的离心率等于双曲线ax2 -by2 =1的离心率为 J5，则a : b =2 2设双曲线 x2 _y2 =1 (a0,b0)中，离心率 e .2,2,a b则两条渐近线夹角0的取值范围是(6)设aOaER，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 4 直线与圆锥曲线的位置关系：(1) 若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是 x2 y2(2) 直线y kx 仁0与椭圆 =1恒有公共点，则 m的取值范围是 5 m2 2(3) 过双曲线

9、 -上 1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若|AB|= 4，则这样的1 2直线有条(4) 过点(2,4)作直线与抛物线y2 =8x只有一个公共点，这样的直线有 2 2(5) 过点(0,2)与双曲线 0一1=1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 9162(6) 过双曲线X2-#1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB=4,则满足条2件的直线l有条(7) 对于抛物线C： y2 =4x，我们称满足 y : 4x0的点M(x,y)在抛物线的内部，若点M(x0,y。)在抛物线的内部，则直线l : yy = 2(x + x)与抛物线C的位置关系是 (8) 过抛物线y2 =4x的焦点F作一直

10、线交抛物线于 P、Q两点，若线段PF与FQ的长分 别是p、q，则1 + 1 =p q(9)设双曲线2 x162y =1的右焦点为F，右准线为丨，设某直线 m交其左支、右支和右9准线分别于P,Q,R，则NPFR和NQFR的大小关系为 (10) 求椭圆7x2 4y28上的点到直线3x-2y-16=0的最短距离 (11) 直线y=ax1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？5、焦半径(1) 已知抛物线方程为 y2 =8x，若抛物线上一点到 y轴的距离等于5,则它到抛物线的焦 点的距离等于；(2) 若该抛物线上的点

11、M到焦点的距离是4，则点M的坐标为 (3) 抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离和是 5，则线段AB的中点到y轴的距离 为6、 焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：常利用第一定义 和正弦、余弦定理求解。Q(1) 短轴长为 5，离心率e = W的椭圆的两焦点为 F1、F2，过F1作直线交椭圆于 A、B3两点，贝y mbf2的周长为(2) 设P是等轴双曲线x2 y2 = a2 (a 0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2 F1F2 = 0 , |PF1|=6，则该双曲线的方程为 2 2F2,点P为椭圆上的动点，当PF2 PF1 0 时，点 P 的(3)椭圆

12、 y 1的焦点为F1、94横坐标的取值范围是 (4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=6,F1、F2是它的左右焦点，若过2F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且 AB是AF2与BF2等差中项，则 AB =(5) 已知双曲线的离心率为 2, F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点， 且/RPF2 =60 ,S的f2 =12&3 .求该双曲线的标准方程 7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质(1) 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于那么|AB|等于(2) 过抛物线y2 =2x焦点的直线交抛物线于、弦长公式：A (X1, y1), B (X2, y2)两点，若 X什X2=6 ,A、B两

13、点，已知|AB|=10 , O为坐标原点，则厶ABC重心的横坐标为8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。2 2(1) 如果椭圆x y 1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 3692 2(2) 试确定m的取值范围，使得椭圆 x . y =1上有不同的两点关于直线 y = 4x，m对43称9. 动点轨迹方程：(1)(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0)，端点A、B到x轴 距离之积为2m，以x轴为对称轴，过 A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (2)(直接法)已知动点P到定点F(1,0)和直线x = 3的

14、距离之和等于 4,求P的轨迹方 程.(3) (定义法)由动点P向圆x2 y2 =1作两条切线PA PB,切点分别为A、B, / APB=6(0, 则动点 P的轨迹方程为 (4) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：X=O的距离小于1，则点M的轨迹方程是 (5) 动圆与两圆O M x2+y2=1和O N： X2 + y2 8x+12 = 0都外切，则动圆圆心的轨迹为(6) (参数法)动点P是抛物线y =2x2 1上任一点，定点为 A(0,_1)，点M分PA所成的 比为2,贝U M的轨迹方程为 (7) 若点卩(为，)在圆x?+y2=1上运动，则点Q(x1 y1,x y1)的轨迹方程是 (8)

15、过抛物线x2=4y的焦点F作直线I交抛物线于A B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是参考答案:1. 圆锥曲线的定义：(1)C(2)双曲线的左支2. 圆锥曲线的标准方程1 1(1) (一37(22)(2)5, 22x 2“22cy 1 (4) x y= 6 43. 圆锥曲线的几何性质：25(1) 3 或 (2) 2 2 (3)3卫或卫);234. 直线与圆锥曲线的位置关系：15(1) (-,-1) (2)1 , 5)U( 5,3+ m).44.5 ,33相离(8) 1 (9)等于(10)8.1313(11)(3) 23=5(=7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：(1) 8 (

16、2) 3&圆锥曲线的中点弦问题(1) 6(2) x2-y2=4(3)(4) 8 2(5)x22112(1) x 2y-8 =0 一土，31313 丿9.动点轨迹方程：(1)2 2y 2x (2) y-12(x_4)(3 乞 x 4)或2y 二 4x(0 乞 x 3)2 2,x y 4 (4)y2 =16x (5)双曲线的一支(6) y =6x2y2 =2x 1(|x|一丄)(8) x2 =2y-22离心率的求法椭圆的离心率0 : e ：；： 1，双曲线的离心率 e . 1，抛物线的离心率 e = 1 一、直接求出a、c,求解e已知圆锥曲线的标准方程或ca、c易求时，可利用率心率公式 e来解决。

17、a2例1已知双曲线牛a二1的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(.双曲线焦点在bx轴，由渐近线方程可得一ac的齐次式，解出e借助 a、b、c之间的关系，构造a、e。=5,故选A3二、构造a、根据题设条件， 得到关于e的一元方程，从而解得离心率2 2例2：已知F1、F2是双曲线 笃一 =1 ( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F1F2为边作正 a2 b2三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(C.D.后12c的关系(特别是齐二次式)，进而A. 4 2.3 B. .3 -1解：如图，设MFi的中点为P，则P的横坐标为-c，由焦半径公式2PFi二eXp - a ,2-2-_2 =0，解得ae = * = 1 3 （1 - , 3 舍去），故选 Da2X变式练习1:设双曲线a2每=1 ( 0 ：. a : b )的半焦距为c,直线bL过 a,0，0,b 两点.已知原点到直线的距离为、3c，则双曲线的离心率为()4A. 2B. 3C. 22 3D.3解：由已知，直线L的方程为bx ay -a 0，由点到直线的距离公式，得；：厂9，又c 4ab2,两边平方，得16a,4，又 0 . a . b ,3a2 b2变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为F1、F2 , F1MF2 =120，则双整理得 3e4 -16e210，得 e2 = 4或e22c-2a曲线