大学大学应用概率与统计课件

1、随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第二章第二章 n 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 n 连续型随机变量及其分布律连续型随机变量及其分布律 n 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在前面的学习中在前面的学习中, ,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表表 示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间的子集；针对等的子集；针对等 可能（古典）概型，主要研究了用排列组合手段可能（古典）概型，主要研究了用排列组合手段 计算事件的概率。计算事件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便 采用高等数学的方法描述、研究随机现象。采

2、用高等数学的方法描述、研究随机现象。 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量随机变量 P28P28 n基本思想基本思想 将样本空间数量化将样本空间数量化, ,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果 n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示. . 例如例如: 在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示， 但可数量化但可数量化 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 1 0 X =正面向上 =反面向上 例如例如: 掷硬币试

3、验掷硬币试验,其结果是用其结果是用 “正面向上正面向上”和和“反反 面向上面向上” 来表示的来表示的 P28 可规定可规定: 用用1表示表示 “正面朝上正面朝上” 用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上” 特点特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系对应关系 继续继续 随机变量的定义随机变量的定义 1) 它是一个变量，它的取值随试验结果而改变它是一个变量，它的取值随试验结果而改变 2）随机变量在某一范围内取值，表示一个）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件随机事件 n 随机变量随机变量 P28P28 n 随机变量的两个特征随机变量的两个特征

4、: : 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一 个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与 之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上 的随机变量。的随机变量。 ( )X ( )XX 返回返回 某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数X X. . 在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X. X X 的可能取值为的可能取值为 0,+0,+ ) ) X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.,., X X 的可能取值

5、为的可能取值为 00，11上的全体实数。上的全体实数。 用随机变量表示事件用随机变量表示事件 n 若若X X是随机试验是随机试验E E的一个随机变量，的一个随机变量，S SRR，那么那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数, ,则则 “出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为： X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为： X X 4 4 或或XX 3 3 n E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用X的不同取值来表示的不同取值来表示. 随机变量的类型随机变量

6、的类型 P29P29 n 离散型离散型 n 非离散型非离散型 随机变量的所有取值是有限个或可列个随机变量的所有取值是有限个或可列个 随机变量的取值有无穷多个，且不可列随机变量的取值有无穷多个，且不可列 其中连续型随机变量是一种重要类型其中连续型随机变量是一种重要类型 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布 P29P29 称此式为称此式为离散型随机变量离散型随机变量 X X的的 分布律（列）或概率分布分布律（列）或概率分布 kk pxXP 设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而，而取值取值 的概率为的概率为 X 12 , n x xx k x k p 即即

7、 随机变量随机变量X X的概率分布的概率分布全面表达了全面表达了X X的所有可能取的所有可能取 值以及取各个值的概率情况值以及取各个值的概率情况 p1 ， p2 ， pk P x1， x2， xk， X 离散随机变量分布律的表示法离散随机变量分布律的表示法 P29 n 公式法公式法 kk pxXP n 表格法表格法 1)01,2, k pk 1 2)1 k k p 性质性质 例例2 2、 设设X的分布律为的分布律为 求求 P0X2=2/3 例例3 3、 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，从中件次品，从中 任意抽取任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的

8、次品数，求随机变表示取得的次品数，求随机变 量量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。 解解X的可能取值为的可能取值为 0，1，2 实际上，这仍是实际上，这仍是古典古典概型的计算题，只是表达事概型的计算题，只是表达事 件的方式变了件的方式变了 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 2 ( ) ,1,2,3, 3 k P Xkbk 试确定常数试确定常数b. 例例4、 12 1 11 ,. 0 | 1 lim n n n ii n ii a a aq a q aa 引理：若为等比数列，且 满足，则 1 2 b 1 1 a q 1(1 ) lim

9、 1 n n aq q 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布 1p p P 0 1 X 则称则称X服从服从参数为参数为p 的两点分布或的两点分布或(0-1)分布分布 背景背景样本空间只有两个样本点的情况样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来描述。都可以用两点分布来描述。 如：上抛一枚硬币，新生儿性别的判别，如：上抛一枚硬币，新生儿性别的判别， 检验产品是否合格等等。检验产品是否合格等等。 若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为: 例例6、设一个袋中装有设一个袋中装有3 3个红球和个红球和7 7个白球，现在从中个白球，现在从中 随机抽取一球，并且用数随机抽取一球，并且用数“

10、1”1”代表取得红球，代表取得红球， “0”0”代表取得白球代表取得白球 1 0 X （取得红球） （取得白球） 其概率分布为其概率分布为 即即X X服从两点分布。服从两点分布。 7/10 3/10 P 0 1 X (1) 0,1, 2.,; kknk n P X kn kCpp 其中其中0 p 0, 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布 XP( ) n 定义定义 n 交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数X X; ; n 矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数; ; n 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内

11、微生物的数目； n 单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 n 医院在一天内的急症病人数医院在一天内的急症病人数 n 实际问题中若干随机现象是服从或近似服从实际问题中若干随机现象是服从或近似服从 PoissonPoisson分布的分布的 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 例例9 9、已知某商店某种商品每月的销售数已知某商店某种商品每月的销售数X服从服从 解解 每月销售某种商品每月销售某种商品X X件，月底进货件，月底进货a件件 0 10 0 10 =0.95 ! a k k a k P XaP Xk e k 的泊松分布，为了以的泊松分布，为了以95

12、%以上的把握保证以上的把握保证 不会供不应求，问商店在月底至少要进某种商品不会供不应求，问商店在月底至少要进某种商品 多少件？多少件？ 10 a=15 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从 4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3 次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率 例例1010、 至少要聘用多少个服务员，才能使得每分钟至少要聘用多少个服务员，才能使得每分钟 没有顾客等待服务的概率不小

13、于没有顾客等待服务的概率不小于80%呢呢 解解 设每分钟接到设每分钟接到X X次呼唤次呼唤 至少至少6人人 实际应用中实际应用中当当n n较大较大,p,p较小，即可用泊较小，即可用泊 松公式近似替换二项概率公式松公式近似替换二项概率公式 e k ppC k knkk n ! )1 ( 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似P32 The Poisson Approximation to the Binomial Distribution np 某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街, ,出事故率为出事故率为0.020.02，独立重，独立重 复上街复上街400400次，求出事故至少两次的概率次，求出事故

14、至少两次的概率. . (400, 0.02)XB n 结果表明，随着实验次数的增多，结果表明，随着实验次数的增多， 小概率事件总会发生的！小概率事件总会发生的！ 例例1111、 解解 思考：出事故率为思考：出事故率为0.002， 至少发生两次事故的概率为多少至少发生两次事故的概率为多少 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 P34P34 设设X X为一随机变量为一随机变量, ,则对任意实数则对任意实数x，称函数，称函数 为为分布函数分布函数 定义域为定义域为 (,)；值域为值域为,。 n 分布函数的定义分布函数的定义 ( )F xP Xx

15、大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 n PXb=F(b) n PaXb=F(b) - F(a) n PXb=1 PXb=1 - F(b) PPaX Xb=PX =PX b-PX -PX a= F(= F(b)- F()- F(a) ) 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 分布函数的性质分布函数的性质 n F(x)是单调不减函数是单调不减函数 P34 n 0 F(0 F(x) 1, ) 1, 且且 P35P35 ()lim ( )0,()lim ( ) 1 xx FF xFF x 12 xx若 12 ()()F xF x ()FP X 不可能事件不可能事件 ()FP X 必然事件必然事件 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 分布函数分布函数 F(F(x) )的的图形图形 nF(x)是单调不减函数是单调不减函数 大学大学应用概率与统计课件大学大学应用概率与统计课件 2 1 (1) ( )