多维离散型随机变量及其分布列

1、概率论与数理统计 概率论与数理统计 第第 三三 章章 多维多维 随随 机机 变变 量量 概率论与数理统计 概率论与数理统计 主要内容 一、二维离散型随机变量分布函数一、二维离散型随机变量分布函数 二、联合分布函数的性质二、联合分布函数的性质 3.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 概率论与数理统计 一、二维随机变量的定义及其分布一、二维随机变量的定义及其分布 设 是定义在同一概率空间上的两个随机变 量，则称向量 为二维随机变量。二维随机变量。 , 若 只取有限个或可列个向量值，则称向量 为二维离散型随机变量（向量）。 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1设 是二维离散型随机

2、变量，它们的一切可 能取值为 , (i, j=1,2,) 注意 。 称 i, j=1,2,为二维随机变量 的联 合分布列，简称为分布列。 ( ,) ij a b ijji pbaP),( (,)()() ijij abab (,) ijij pPab ( , ) ( , ) 定义定义1 概率论与数理统计 2为直观起见，二维离散型随机变量的分布列 也可以表示成如下表格的形式： 此表也称为概率分布表。 概率论与数理统计 说明：1.若 为二维r.v.，且 同为离散型 rv 为二维离散型r.v.。 ( , ) , ( , ) ( , ) 2. 关于二维离散型r.v. ，主要讨论两方面 的问题。 （1）

3、 取值范围； （2） 以多大概率取值。 ( , ) ( , ) 概率论与数理统计 二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质： 1) 非负性： 2) 规范性： , ,i j0, ij p i,j=1,2， 1. ij ij p . 1 (), iiji j Papp . 1 (). jijj i Pbpp 3) (,) ijij pPxy的求法 利用古典概型直接求； 利用乘法公式 () () . ijiji pPa Pbx 概率论与数理统计 (00)P， 1 , 9 2 3 1 例1 将两个球等可能地放入编号为1，2，3的三个 盒子中。令 表示放入1号盒子中的球数， 表示放入2号 盒子中的球数

4、，试求： 的联合分布律。 解 , 的可能取值分别为0,1,2， ( , ) 2 , 9 2 3 2 (01)P， (12)P， P0, (02)P， 2 3 1 1 , 9 (10)P， 2 3 2 2 , 9 (11)P， 2 3 2 2 , 9 (20)P， 2 3 1 1 , 9 (22)P， P0. (21)P， P 0, 概率论与数理统计 由此得 的联合分布律为 ( , ) 概率论与数理统计 边际分布（边缘分布）边际分布（边缘分布） . 1 (), iiij j Papp . 1 (). jjij i Pbpp 二维随机变量 作为一个整体，它具有概率分布 （联合分布列），而它的每一个

5、分量 ， 也是随机变量， 因此自身也具有概率分布（ 分布列），它们分别称为 关于的 ， 边际（边缘）分布，记为 与 。 若 的联合分布为 ，i,j=1，2 则 ( , ) ( , ) . )( ii paP jj pbP )( ijji pbaP),( ( , ) 用表格表示如下： 概率论与数理统计 例2.设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的 三个盒子中，记落入第1号盒子中球的个数为 , 落入第2号盒子中球的个数为 , 求 ),(的联合 分布列及 ,的边际分布列. 解: , . 30),()(),(jijPjiPjiPpij 的可能取值为 0,1,2,3. 因为 .30,) 3 2

6、() 3 1 ( 3 )( 3 j j jP jj 概率论与数理统计 .30, )!3(! !3 27 1 ) 3 2 () 3 1 ( 3 ) 2 1 ( 3 33 ji jiji ji j p jjj ij 3ij . 30 ,) 2 1 ( 3 ) 2 1 () 2 1 ( 3 )( 33 ji i j i j jiP jiji 于是 在 或 时, . 0ij 0 ij p 概率论与数理统计 0 1 2 3 Pi. 0 1 2 3 1/27 1/9 1/9 1/27 1/9 2/9 1/9 0 1/9 1/9 0 0 1/27 0 0 0 8/27 4/9 2/9 1/27 p.j 8/

7、27 4/9 2/9 1/27 表3.1 概率论与数理统计 例3 设 的分布列如下表, 求 及2, 1P 1P ( , ) . 解 222324323334 1,20.5,Ppppppp 11121314 10.2.Ppppp 概率论与数理统计 二、离散型随机变量的独立性二、离散型随机变量的独立性 定义定义 设随机变量 的可能取值为 , 的可能取 值为 ,如果对任意的 有： 成立,则称随机变量 与 相互独立。 )2 . 1 ( i a )2 . 1(jbi ji ba , )(),( iiji bPaPbaP 注: 1、两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响， 2、随机变

8、量的独立性可以推广到多个离散型随机 变量的场合。 概率论与数理统计 定义 设 是n个离散型随机变量， 的可能取 值为 ,如果对任意的一组 恒有 成立，则 称是相互独立的。 12 , n i (1,2, ;1,2,) ik ain k 1 1 (,), n knk aa )()()(),( 21 221111 nn nknkknknk aPaPaPaaP 12 , n 概率论与数理统计 例4 的联合分布列为( , ) 1 2 3 1 2 1 6 1 9 1 18 1 3 试问： ， 为何值时， 相互独立？ , 1 2 3 1 2 1 6 1 9 1 18 1 3 1 3 1 3 1 2 1 9

9、1 18 解 概率论与数理统计 1111 1, 69183 1 , 3 111 (), 939 21 , 99 9 1 , 9 2 , 故 当 时， 相互独立。 所以 概率论与数理统计 例5. ),(, -1 1 0 1 2 1/15 p q 1/5 1/5 3/10 的联合分布如下表,则 =( )时, 相互独立. a.(1/5,1/15), b.(1/15,1/5), c.(1/10,2/15), d.(2/15,1/10). i p j p (c) ( , )p q 概率论与数理统计 例6.掷骰子两次,得到偶数点的次数记为, ., 得到3点或 6点的次数记为求 的联合分布与边际分布. 解.

10、,的可能取值都为0,1,2.显然,相互独立,且 . 4 1 6 3 )2(, 2 1 6 3333 ) 1(, 4 1 6 3 )0( 2 2 22 2 PPP . 9 1 6 2 )2(, 9 4 6 4224 ) 1(, 9 4 6 4 )0( 2 2 22 2 PPP 从而得联合分布表如下: 概率论与数理统计 i p j p 0 1 2 0 1 2 1/9 1/9 1/36 2/9 2/9 1/18 1/9 1/9 1/36 1/4 1/2 1/4 4/9 4/9 1/9 概率论与数理统计 例7 把一枚均匀硬币掷三次，设 表示头两次掷 出正面的次数，表示这三次投掷中出现正面的总次 数，试

11、求 的分布列。 ( , ) 解 的可能取值为0,1,2， 的可能取值为0,1,2,3 如 (“头两次掷出1个正面，这三次 共掷出2个正面”) (“头两次掷出1个正面，第三次掷出正面”) 再如 (“头两次掷出的正面数为0， 这三次共掷出2个正面”) PP2, 1 P 4 1 2 1 2 1 2 1 1 2 C PP2, 0 0.P 概率论与数理统计 则得分布表为 概率论与数理统计 例8 一批产品共8件，其中一等品2件，二等品2件， 三等品4件，从中任取3件，令 为取到的一等品件数， 为取到的二等品件数，试求 的分布列。 ( , ) 解 , 的可能取值为0,1,2，且 则 3, ,0,1,2,i

12、j 03. 且 3 224 3 8 , ijij C C C Pij C 1 14 3 14 1 14 3 14 2 7 1 28 1 14 1 28 0 0 0 1 2 12 概率论与数理统计 ( , ) 例9 袋中装有2只红球和3只绿球，从中有放回地取 两次，每次取1球，记 为第一次取出的红球数，为第 二次取出的红球数，问 是否独立? 解 的联合分布列及边际 对任意的有 ，所以 相互独立。 ji, jiij ppp . , 分布列如下表： 概率论与数理统计 例9（续） 若采用无放回方式取球，问 是否独立？, 对任意的有 ，所以 不相互独立。 ji, .ijij ppp ( , ) 解 的联

13、合分布列及边际分布列如下表： 概率论与数理统计 ( , ) 0,1,2,k 设 是一个二维离散型随机变量，f (x , y)是实变 量x和y的单值函数，这时 仍是一个离散型随机 变量。 ),(f 设 , , 的可能取值为:,( , ,1.2.) ijk a b c i j k 令 (i, j, k=1,2,) ,则有 特别地，当 , 独立，且取非负整数值 时，我们有 k i k i ikiPikiPkP 00 , ikPiP k i 0 , 上式常称为离散卷积公式。 三、二维随机变量函数的分布三、二维随机变量函数的分布 kjijik cbafbaC),(| ),( ),()( kk CPcP

14、kji Cba ji baP , ),( 概率论与数理统计 例例10 设二维r.v 的概率分布为 0 1 2 -1 1 求 的概率分布。 ( , ) 1 36 1 12 1 6 1 4 1 0 1 21,2, 12 PP 1 11,1, 6 PP 1 01,01,0, 2 PPP 1 11,1, 4 PP21,20.PP 解 的可能取值为-2，-1，0，1，2， P -2 -1 0 1 2 12 1 6 11 24 1 0 概率论与数理统计 例例11 设二维r.v 的概率分布为 -1 1 2 -1 0 41 61 4181121 81 求, 的概率分布。 ( , ) 解解 根据 的联合分布可得

15、如下表格： P 4141618181121 + - / (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0 ( , ) ( , ) 概率论与数理统计 故得 P -2 -1 0 1 2 41414161121 P -1 0 1 2 3 4141418181 P -2 -1 0 1 6141812411 P -1 -1/2 0 1 4181241161 + - / 概率论与数理统计 具有可加性的两个离散分布 q 设 B (k；n1, p), B (k；n2

16、, p), 且 , 独立， 则 B ( n1+n2, p) q 设 P (1), P (2), 且 , 独立， 则 P(1+ 2) 概率论与数理统计 )()(kPkP )()(ikPiP k i 0 iknikik n ini k i i n qpCqpC 2 2 1 1 0 k i ik n i n knnk CCqp 0 21 21 ., ,. 21 210 21 21 nnkqpC nnkk nn k i ikiP 0 ),( 二项分布可加性的证明二项分布可加性的证明 证证:设则).,;(),;( 21 pnkBpnkB .: 21 210nn ，所有可能取值为 nkqpCkP knkk

17、 n , 2 , 1 , 0, ),;(pnkB 概率论与数理统计 设 P(1), P(2), 则 的可能取值为 0,1,2, , 0 ()(,), k i PkPiki 12 12 0 !()! ik i k i ee iki 12 12 0 ! !()! k ik i i ek ki ki 0,1,2,k Poisson分布可加性的证明分布可加性的证明 P ,0,1,2, ! k Pkek k ， )( ! )( 21 21 e k k )()(ikPiP k i 0 12 12 0 ! k iik i k i e C k 12 P 概率论与数理统计 , 解 例12 设 为独立分布的离散型随机变量，其分布列 为 n1,2, 1 ()(), 2n PnPn 1 1 ()(,) k i PkPiki 1 1 11 22 k i