平面向量的数量积及平面微量应用举例

1、平面向量的数量积及平面微量应用 举例 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 知识点知识点考纲下载考纲下载考情上线考情上线 平面向平面向 量的数量的数 量积及量积及 平面向平面向 量应用量应用 举例举例 1.理解平面向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义 及其物理意义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与了解平面向量的数量积与 向量投影的关系向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，掌握数量积的坐标表达式， 会进行平面向量数量积的坐会进行平面向量数量积的坐 标运算标运算. 4.能运用数量积表示两个向能运用数量积表示两个向 量的夹角，会用数量积判断量的夹角，会用数量积判断 两个平面向量的

2、垂直关系两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简会用向量方法解决某些简 单的力学问题和其他一些实单的力学问题和其他一些实 际问题际问题. 高考的热点包括以下三高考的热点包括以下三 方面：方面： 1.夹角问题：范围夹角问题：范围0， . 2.垂直问题：垂直问题：ab 0 x1x2 y1y20及应用及应用. 3.模问题：模问题：a2|a|2. 上述三类问题与三角变上述三类问题与三角变 换、不等式、解析几何换、不等式、解析几何 链接密切，以解答题形链接密切，以解答题形 式在交汇处命题，是近式在交汇处命题，是近 几年命题的热点几年命题的热点. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 一、两个

3、向量的夹角一、两个向量的夹角 注意：同一起点注意：同一起点 三角形中应用三角形中应用 baba AOBbaO ba , OBOA ,1 的夹角。记作：与为向量 ，则，作取一点 。平面内任、定义：两个非零向量 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 cos| )( cos| ,1 baba ba baba ba 有点数量（内积）。记作： 的数量积与叫做向量 。把数量、定义：两个非零向量 二、向量数量积二、向量数量积 规定：规定：；00a 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 思考：投影思考：投影是数量是数量可以为零、负数、正数可以为零、负数、正数 方向上的投影在向量 叫向量、投影：数量 a bbc

4、os|2 方向上的投影乘积向量 在与向量等于、数量积 a baba|3 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 三、向量数量积的性质（以下都是非零向量）三、向量数量积的性质（以下都是非零向量） eaaea,cos|1、 02baba、 | |3 bababa bababa 反向时为，向量 同向时为，、向量 2 2 2 |4aaaaaa、 |5baba、 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 四、数量积的运算律四、数量积的运算律 abba、交换律：1 cbcacba ）、分配律：（2 ）（）（）、（bababa3 数量积的运算律不成立：数量积的运算律不成立： baba01、 bacbca、消去律：

5、2 ）（）、结合律：（cbacba3 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 3.|a| . 五、数量积的坐标运算五、数量积的坐标运算 设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则 1.ab . a1b1a2b2 2.ab . a1b1a2b20 4.cosa，b . 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 重要结论：重要结论： 三点共线（两个） 1221 0/ yxyx aabba ）（ 0 0 2121 yyxx baba 线性运算的三角形法则线性运算的三角形法则 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 1.已知向量已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5 ，则，则|b|() A. B. C

6、.5 D.25 解析：解析：|ab|2a22abb2520b250， b225，|b|5. 答案：答案：C 2 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 2.已知已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量，则向量a与与b的夹角是的夹角是 () 解析：解析：a(ba)aba22，ab2a23. cosab a与与b的夹角为的夹角为 . 答案：答案：C 3 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 3.已知向量已知向量a(1,2)，b(2，3).若向量若向量c满足满足(ca)b， c(ab)，则，则c () 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 解析：设解析：设c(x，y)，则，则ca(x1，y2)，

7、又又(ca)b，2(y2)3(x1)0. 又又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 解得解得 答案：答案：D x x= y y= 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 4.已知已知a(3,2)，b(1,2)，(ab)b，则实数，则实数 . 解析：解析：(ab)b， (ab)babb2150， =- 答案：答案： 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 5.已知向量已知向量a、b的夹角为的夹角为45，且，且|a|4，( ab)(2a3b) 12，则，则|b|；b在在a方向上的投影等于方向上的投影等于. 解析：解析：ab|a|b|cosa，b4|b|cos452 |b|， 又又( ab)(2a

8、3b)|a|2 ab3|b|2 16 |b|3|b|212， 解得解得|b| 或或|b| (舍去舍去). b在在a上的投影为上的投影为|b|cosa，b cos451. 2 答案：答案： 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 1.当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求得的夹角，需求得ab及及 |a|，|b|或得出它们的关系或得出它们的关系. 2.若已知若已知a与与b的坐标，则可直接利用公式的坐标，则可直接利用公式 【注意】平面向量【注意】平面向量a、b的夹角的夹角0，. cos= 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 已知已知|

9、a|1，ab ，(ab)(ab) ， 求：求：(1)a与与b的夹角；的夹角； (2)ab与与ab的夹角的余弦值的夹角的余弦值. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 (1)由由(ab)和和(ab)的数量积可得出的数量积可得出|a|、|b|的的 关系关系.(2)计算计算ab和和ab的模的模. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 【解解】(1)(ab)(ab) ，|a|2|b|2 ， 又又|a|1，|b| 设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则cos 又又0， 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 (2)(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb212 |ab| ，设，设ab与与ab的夹角为

10、的夹角为， cos 则则 ab 12 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 1.已知已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中是同一平面内的三个向量，其中a(1,2). (1)若若|c|2 ，且，且ca，求，求c的坐标；的坐标； (2)若若|b| ，且，且a2b与与2ab垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 解：解：(1)设设c(x，y)，由，由ca和和|c|2 可得可得 c(2,4)或或c(2，4). (2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0， 即即2a23ab2b20.2|a|23ab2|b|20， 253ab2 0，ab ， cos 1，

11、0，. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此 类问题的处理方法：类问题的处理方法： (1)|a|2a2aa； (2)|ab|2a22abb2； (3)若若a(x，y)，则，则|a| 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 已知向量已知向量a ，b(cos ，sin )，且，且 (1)求求ab及及|ab|； (2)若若f(x)ab|ab|，求，求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值. cos x,sin x x 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求利用

12、数量积的坐标运算及性质即可求解，在求 |ab|时注意时注意x的取值范围的取值范围. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 【解解】(1)ab sincos2x， |ab| 2|cosx|， x ，cosx0， |ab|2cosx. 33 coscossinsin 2222 xx xx 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 当当cosx 时，时，f(x)取得最小值取得最小值 当当cosx1时，时，f(x)取得最大值取得最大值1. (2)f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx1 2 1 2(cos) 2 , 3 4 1 cos1, 2 x x 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 2.

13、(2009湖北高考湖北高考)已知向量已知向量a(cos，sin)，b(cos， sin)，c(1,0). (1)求向量求向量bc的长度的最大值；的长度的最大值； (2)设设= 且且a(bc)，求，求cos的值的值. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 解：解：(1)法一：由已知得法一：由已知得bc(cos1，sin)，则，则 |bc|2(cos1)2sin22(1cos). 1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|2. 当当cos1时，有时，有|bc|max2， 所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2. 法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2. 当当cos1时

14、，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2， 所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 (2)法一：由已知可得法一：由已知可得bc(cos1，sin)， a(bc)coscossinsincos cos()cos. a(bc)，a(bc)0，即，即cos()cos. 由由 ，得，得cos( )cos ， 即即 2k (kZ)， 2k 或或2k，kZ， 于是于是cos0或或cos1. 2 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 法二：若法二：若 ，则，则a 又由又由b(cos，sin)，c(1,0)， 得得a(bc) (cos1，sin) a(

15、bc)，a(bc)0，即，即cossin1. sin1cos，平方后化简得，平方后化简得cos(cos1)0， 解得解得cos0或或cos1. 经检验，经检验，cos0或或cos1即为所求即为所求. cos+sin+ 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线共线) 的充要条件：的充要条件： ababx1y2x2y10(b0). 2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： abab0 x1x2y1y20. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 已知向量已知向量a(

16、cos()，sin()， b(cos( )，Sin( ) (1)求证：求证：ab； (2)若存在不等于若存在不等于0的实数的实数k和和t，使，使xa(t23)b， ykatb，满足，满足xy，试求此时，试求此时 的最小值的最小值. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 (1)可通过求可通过求ab0证明证明ab. (2)由由xy得得xy0，即求出关于，即求出关于k，t的一个方的一个方 程，从而求出程，从而求出 的代数表达式，消去一个的代数表达式，消去一个 量量k，得出关于，得出关于t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小值. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 【解解】(1)abcos()

17、cos( )sin() sin( )sincossincos0. ab. (2)由由xy得：得：xy0， 即即a(t23)b(katb)0， ka2(t33t)b2tk(t23)ab0， k|a|2(t33t)|b|20. 又又|a|21，|b|21， -k+t3+3t=0k=t3+3t. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 故当故当 时，时， 有最小值有最小值 =t2+t+3= t=- 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 3.已知已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，O为原点为原点. (1)若若 ，求，求tan的值；的值； (2)若若 ，求，求sin2的值；的值； (3)

18、若若 且且(0，)，求，求 的夹角的夹角. 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 解：解：(1) (0,3)(3,0)(3,3). 3cos3sin0， 即即sincos0，tan1. (2) (cos，sin3)， 即即(cos3)cossin(sin3)0， 13(cossin)0，sincos 两边平方得两边平方得1sin2 sin2= (cos 3 ，sin)， 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 (3cos)2sin213，cos 又又(0，)， 设设 的夹角为的夹角为，则，则 又又0， (3cos,sin), , =sin= 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 平面向量的数量积及平面微量应用 举例 从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的从近几年高考试题看，平面向量的数量积是高考命题的 热点，主要考查平面向量积的数量的