圆锥曲线直线与圆锥曲线地位置关系

1、直线与圆锥曲线位置关系-、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，F面以直线y = kx m和椭圆:22xy22 =1 a . b .0 为例aby = kx + m（1 ）联立直线与椭圆方程：2 2 2 2 2 2b x a y a b（2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关2于主变量的一兀二次方程：b 2x亠a? kx亠m ab?，整理可得：2 2 2 2 2 2 2 2 2a k - b x - 2a kxm

2、 am a b = 0（3 ）通过计算判别式 丄的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ；，0=方程有两个不同实根=直线与椭圆相交 厶=0=方程有两个相同实根=直线与椭圆相切 方程没有实根=直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y = kx m和椭圆:2 2x y2=1 a b 0 为例:a b（1）联立直线与双曲线方程:Iy = kx m，消元代入后可得:1 2 2 2 2 2 2b x -ay = a b

3、2 2x 2 a kxm（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为a2k2 - b2 .0 ,所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为b2 - a2k2，有可能为零。所以要分情况进行讨论当b a2 =0二k =-且m =0时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲a线相交，只有一个公共点22 2 bb222 2当b_ak . 0k 时，常数项为-a m亠a b ;”0 ，所以八.、二0恒成立，此aa时直线与双曲线相交当b2 -a2k2 ：0= k 或k ：时，直线与双曲线的公共点个数需要用厶判断：aa .： .0=-方程有两个不同实根二直线与双曲线相交 厶=0=方程有两个

4、相同实根 =直线与双曲线相切 .-： :： 0 =方程没有实根 =直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相 同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为_a .1 la,所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当X _a时，点位于双曲线的右支；当 x乞a时，点位于双曲线的左支。对于方程:2 2 2 2 2=0，设两个根为Xi , X2当 b 2 - a 2k 20-: kaX1X2:0，所以Xi，X2异号，即号,b a

5、 k x 2a kXm ?a交点分别位于双曲线的左，右支当 b a $ ： 0 = k 或 k ：: 一一，aa且厶.0时,X1X2222b a k 0，所以Xi，X2同号，即交点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线b的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置a关系的判定b k且m = 0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程a中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点bb k时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直aa线，直线均与

6、双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。22 2 bb b _a k ：0= k 或k ： _时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得:aa直线不一定与双曲线有公共点（与厶的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1位置关系的判定：以直线 y = kx m和抛物线：y = 2 px p . 0为例y = kx + m2联立方程：= kx亠m 2 px，整理后可得：y 2 pxI2 2 2kx 亠 i2km2px m 0（1）当k =0时，此时方程为关于 x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，

7、 与抛物线相交（2） 当k = 0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定 .： .0=-方程有两个不同实根 =直线与抛物线相交 厶=0=方程有两个相同实根 =直线与抛物线相切 .： :： 0 =方程没有实根二.直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程：y2 * 4 Xi *2 = 2 px，过焦点的直线I ： y = J x i （斜率存在且 k式0），对应倾斜角为 e，与抛物线交于I 2丿A xi, yi ，B x2, y2联立方程:2y = 2 px=k x=2k x= 2px，整理可得:2yi y2 = p(2) AB=Xi亠 x222 k p 2 p1“pI tan 0

8、 丿2COS Vsin 2 c2 psin 2 c(3)S AO Bd。 AB =丄 f O F .sin 日).AB- 221 p.2 pps in2 2sin 2 sin 二（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式:1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉）（2） 条件与直线和曲线的交点相关，所以可设A x1, y1 , B x2 , y2 ，至于A, B坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3） 通过联立方程消元，可得到关于x （或y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入

9、，从而不需求出x1, x2, y1, y 2 （所谓设而不求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是 以一个（或两个）核心变量为中心，以交点A x1, y1 , B x2, y2为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（x1 x2, x1 x2, y1 y2 , y1 y2，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个： 一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难

10、以参与后面的运算； 二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点， 以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：y则此形式比较好（1 ）斜截式：y二kx m，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件（2）x =m

11、y ,，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方 程后消去x时使用，多用于抛物线y2 =2px （消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直1接体现斜率，当m = 0时，斜率k =myi y24、弦长公式：（已知直线上的两点距离） 设直线I : y = kx - m ，l上两点A x1, y1 , B x2 , y2， 所以 AB = Ji +k2 x _x2 或 ABy = kx m(1)证明：因为A Xi，y ,B X2”2在直线I 上,所以y2 = kx2 亠 m!，代入2 -：；lkxim - kx2ABAB=kx 亠 m1 可得:=kx2 九 m=Ji + k?

12、Xt _ x2同理可证得ABy y 2V lk丿（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果A,B为直线与曲线的交点（即 AB为曲线上的弦），贝V xx2（或 y y2 ）可进行变形：2 2Xi X2. Xi亠X2 ? 4XiX2 ,从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方2 2十xy程,- =i a b 0为例，设直线 y = kx m与椭圆交于A xi , yi , B x2, y2两点,a b则该两点满足椭圆方程，有:=i2 2=iX2y222.ab考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解， 则可

13、得到两个量之间的联系:1 2 2亍*八2=01 1: Xi X2 jXi X22 yi 一 y212=01-厂 X1 _x2a由等式可知：其中直线AB的斜率k = ，AB中点的坐标为 勺上上 比，X1 -x 2I 22 丿这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线AB的斜率与AB中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及A,B坐标的平方差问题中也可使用点差法。二、典型例题2 2X y例1 :不论k为何值，直线y =kx 1与椭圆1有公共点，则实数 m的取值范围7 m是（ ）A. 0,1B. 1, ；C. 1,7 U 7, D. 0,7思路一：可通过联立方程，

14、消去变量（如消去y ），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以.-： -0在X R恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可y = kx +1,2解：=mx 7 kx T 7 m，整理可得：m x 亠 7 y 7 m2 2.: = 1 4k-4m 7 k x 14kx 7-7m=07 -7 m - 0即 -1 m - 7k2 _0= m 孑：一7k2 - 1 m = 7. m ：二 h , 7 U 7，-思路二：从所给含参直线y = kx - 1入手可知直线过定点0,1 ，所以若过定点的直线均与2 2xy0,1后1，即7m叩=m _1，因为是椭圆，所以m = 7，故m的取值范围

15、是1, 7 U 7,椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入答案：C小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆 位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键（2）本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以 m = 72 2x y例2:已知双曲线1的右焦点为F1 24，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有个交点，则此直线斜率的取值范围是（A.（梟再I-，C.D.卡3，-. 3

16、2x思路：由1 2可得渐近线方程为:3x，若过右焦点的直线与右支只有一个3交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即.3、3k 13 3答案：C小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下:可知F 4,0，设直线l ： y = k X - 4，联立方程可得:x -3yj y = k x 4-1 2 2 2=x -3k x - 4=12，整理后可得:22221 -3k x 24k x - 48k1 2=0】23当 1 3k =0= k = 时，8 x3，7-28 = 0= x，即位于双曲线右支，符合题意22 2 2当 1 -3k =0 时，. = 24k

17、2 2 2-4 1 -3k _ 48k12= 48 k - 1. 0.直线与双曲线必有两个交点，设为，X2”2因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点248k+12 X x2 : 0 ，即201 -3k3k2 -1 ：03 :：: k :：:3综上所述：-33例3:已知抛物线C的方程为过点A 0, -1和点B t,3的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（B.C. -二，2 .2 U 2、2, :D.思路：由A,B两点可确定直线 AB的方程（含t），再通过与抛物线方程联立，利用可得到关于t的不等式，从而解得t的范围解：若t =0，则直线AB : x =0与抛物线有公共点，不符题意若t

18、，则kAB4.AB : y x 1，与椭圆联立方程:t2 .2tx -4x t直线与抛物线无公共点答案：D2例4 :过双曲线x2y-使得1的右焦点F作直线I交双曲线于 A, B两点，若实数AB二的直线恰有思路：由双曲线方程可知 F 、3,0，当I斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得:AB| = 4 ,当I斜率存在时，设直线I : y = k (x J3 )，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得AB24 1亠k为关于k的表达式，即24 1k2 k2，。可解得：kk2。若=0或二=0，即二_2时，可得k = 0，仅有一解，不符. 44 -4题意。若=0且J上=0，则每个方程只能无解或两解。所以可知当

19、九+4丸4方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有。若一4时,3解。符合题意，所以2解：由双曲线 X2 - L =1 可得 a=1,b、2,c = ：3. F 、3,02当AB斜率不存在时，I的方程为x -，” AB为通径，即AB22b4a若直线I斜率存在，不妨设为k则设I : y = k,B x2，y2联立直线与椭圆方程: 2 22x - y=2厂消去y 二 k x -3可得:整理可得:2 -k2 x22 , 3k2x-?3k22= 02il 3k 2=1 6k162-I22一 k|2 k24 1k.可得：k24或k2丸+4 -4当=0时，即，=2，则方程的解为 扎+42 X, +4同理，当

20、-0，即，二-2，则方程的解为42， 42 ， 4当 0且 -0时，则每个方程的解为亠44题意，只有一解，不符题意k =0，只有一解，不符题意0个或两个，总和无法达到3个，不符所以若AB的直线恰有3条，只能一 4，方程解得：k込满足条件的直线AB的方程为：x = 3，y -.3，2 * 答案：，=422=1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y = 4 x - m对称，则x y例5:已知椭圆一4 3的取值范围是A.1 3_ m1 3B.2.13m1 32.13C.D.2.1313思路：设椭圆上两点A x1, y1 , B X2, y?，中点坐标为xo, y2x = X1 + X2,，由2y 二

21、 y1 y2中点问题想到点差法,则有 223X14 y1=12222= 3 X13x2 4 y2 =12x； j亠4 y； y；= ，变形可得:3 X1_x2 x1 x2i亠41 y? y1 - y2=由对称关系和对称轴方程可得，直线1AB的斜率k :4，所以方程转化为:x1 _ x26x 8y。i -I 4丿J y 二3m依题意可得：点x, y 必在椭圆内，所以有3x0 - 4y02 : 12，代入可得：2 23 -m- 4 ?-3m: 12 ，解得：-:m :答案：D例6:过点M-2, 0的直线2xm与椭圆 -2交于E，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1 =，直线OP的

22、斜率为k2，则屮2的值为(A. 2B.C.D. -1思路一：已知m与椭圆交于P1, P2两个基本点,从而设 pX1，y1 , P2X2，y2，可知x = _m 由对称性可知AB中点x, y在对称轴上，所以有y = 4x - m，所以解得：联立椭X28k122k1- 1思路二：线段P1 P2题可用“点差法”出现与中点和X1 _X2答案：D小炼有话说：，即k2匚上，从结构上可联想到韦达定理， 设m : y*1- . 2y =12 2 2 2 2=2 k1 T x 亠 8 陷 x 亠 8J 2 = 04 k，所以 y1.y2=k1x1x 24k 予 ，贝V k22k - 1，可得：2k1为椭圆的弦，

23、且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问，设 P1 X1, y1 ,P2 X2, y2 ，则有P1P2斜率相关的要素，其中所以等式化为1 力一儿X1 2y22X2X1X2纺X1 X2 y 12X1- X2 X1 X2，两式作差，可得:-y2 y1-y2 y2 =0，发现等式中，所以k2x1 x2丄_仝=0 即 1 - k1k0，所以 k1k22两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。(1)涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系(2)涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法例7:已知点A 1,2在抛物线C : y

24、2 =4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D,E，直线AD ,AE的斜率分别为kAD ,kAE，若直线D E过点P -1, -2，则kAD kAE二A. 4B.C.D. 1思路：设Dx1,y1 ,E x2, y2，进而所求.kADA E心一2力4，所以可从直 x2 _ X1x2- 1线D E入手，设直线D E : y 2二k x 1 ，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简k ae 二 2解：设 D Xi, yi , E x2, y2k AE目i2Xi -12-2X2 一1八X1X2_Xix2yi-2.y2 -2kA EXi-1X2-1A D设 P _1, _2 ，贝U D E : y 2

25、 =k x 1联立方程：-2y 二 4xi，消去X可得:y 2 = k x - 12ky _4y 4k_8=0y24一，yyk4k-8XiX2yi亠y2亠4 -2k24 4k _ 2kXiX2yi y22k -4k 4代入可得:4k -82k AE2 2k -4k 444k -2k答案:例8:已知抛物线2c : y 4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M , N两点，且MF = 2 N F，则直线I的斜率为()2D.4思路一：从点的坐标出发，因为M,F,NTMF=-2NF，考虑将向量坐标化，4-TM F =1- ix, -iy , N F= 12 x 予所以三点共线，从而MF =2NF可转

26、化为F (1,0 )，设 M ( X, , (N 2X 同有yi - -2 y 2，设直线I : X二m y 1，联立抛物线方程消元后可得:2 . .y -4my-4=0，利用韦达定理可得:yi y?二 4m.yy - -4，再结合五y = _2y2，消去yy2即可得m二 ，直线I : x二 y 1，即可得到斜率为_2、244思路二：从所给线段关系=2 NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑F , NQM ,N向准线引垂线，垂足分别为 P,Q，便可得到直角梯形 PM NQ，由抛物线定义可知:，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为.PMF。不妨设M在第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可

27、过N作NT丄MP于T，则a N M TTN因为MF =1 2N F而 TMPM-PT，I利用勾股定理可得:TNV2|nf ，从而 ta n N M T =.TN= 2.2，即 k = 22 ，当 M在第四象限时，同理，可得kTM综上所述：k=22答案：B2x例9：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆y22=1的左、右焦点分别为Fi, F2，设 A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线AF2与B Fi交于点P ，率是(B.AF1BF2C.B F2 3，则直线3思路：先设出直线 A F1 : x = my1,BF2 : x = my亠1，只需D.个等量条件即可求出，进而求出斜率。考虑

28、与椭圆联立方程，分别解出A,B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用 m表示 af1,bf2 :AFi，BF2，可将已2y2 * 4 =1，整理可得:2m ：:/2解：由椭圆方程可得：F_1,0 , F2 1,0设 AFi : x = my -1, B F2 ： x = my - 1 , A x，y ,B x? , y?，依图可知： y . 0, y? 0联立AF1与椭圆方程可得:2 2x 亠 2 y 12二一.直线AF1的斜率k 答案：D)x = m y 12亠 2 y .2my_1=02 m 士2 .2 m $ - 122 m ：:/2AF1y1y1同理可得：，” BF、22 J3、2 m $

29、1 i 亠 mm 1BF232 m . m .1 即2 / 2，解得:小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算AF1 , BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用x二my b的形式以便于消去x得到关于y的方程1（2）直线方程x = my b，当m = 0时，可知斜率k与m的关系为：k二一m1 1点，则+的值为（）ABCD11A.-B.-C. 17D.1 2思路：首先先考虑特殊情况，即AB斜率不存在。则 AB为通径,AB =3 ； CD为长轴,所以CD=4，从而1 1+AB C D。再考虑一般情况,1 2所求AB , CD为焦点弦，所以考虑拆成两个焦半径的和，如设A X1, y1B(x2,y2 )，贝y AB =2 - xx2 )，从而想86到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理