坐标系与参数方程

1、坐标系与参数方程学校:姓名： 班级： 考号： 1.在平面直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线G的极坐标方程为2 3 sin212，曲线C2的参数方程为x 1 tcosy tsin(1)求曲线G的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？(n)设曲线C2与曲线G的交点为A， B， P 1,0，当|PA |PB|7时,求cos 的值._x tm R ），2. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数,y m tC2的极坐标方程为以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线323 2cos(1)写出曲线 G的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2

2、)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线G的最小距离为2 2，求m的值.x COSI3. 在平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为, ( j为参数)，以O为极y 2sinj点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线q卫3与曲线C2交于点D 4,卩3(I)求曲线 C1的普通方程及 C2的直角坐标方程;p11(n)在极坐标系中，A r-i, q , B r2,q是曲线C1的两点，求 亍的值2ri$x 3 5cos4. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是X 3(为参数)。以坐标y 4 5si n原点0为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系。(I)求曲线C的极坐标方

3、程；(n)设l1:, l2:，若h、丨2与曲线C分别 交于异于原点的A, B两点，63求厶AOB的面积。5 在直角坐标系中，曲线xC的参数方程为y、5cos.15sin(为参数)，直线l的参数方程为y丄t2.3t2(t为参数)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标方程为 . 3,.2(1) 求点P的直角坐标，并求曲线 C的普通方程；(2) 设直线I与曲线C的两个交点为 代B，求PA PB的值.(为参数)，以坐标原点为极点,x 1 cos6已知曲线C1的参数方程为l：y 1 sin的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为(I)把 G的参数方程式化为普通方程，C2的极

4、坐标方程式化为直角坐标方程;(n)求G与C2交点的极坐标 ，(0,02 ).7.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C的方程为x2 4y 4 .(1) 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；x tcos(2) 直线I的参数方程是(t为参数)，I与C交于 代B两点， AB 8 ,y tsin求I的斜率.x 2cos18 .将圆(为参数)上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 -倍,y 2s in2得到曲线C.(1)求出C的普通方程； 设直线I : x 2y 2 0与C的交点为R， F2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段RF2的中点且与I垂直

5、的直线的极坐标方程.9. 以直角坐标系的原点 0为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长,x 1 tcosc小度单位，已知直线I的参数方程为2, ( t为参数，0)，曲线Cy tsin的极坐标方程为sin2 2cos 0 .(1) 求曲线C的直角坐标方程；(2) 设直线I与曲线C相交于A , B两点，当 变化时，求 AB的最小值.10. 以直角坐标系的原点 为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.(1)求曲线 的直角坐标方程;(2)若直线的参数方程为(为参数)，设点，直线与曲线相交于 两点，求.厲汕二|沁|的值.11 在极坐标系中，已知点A4，直线为sin1.

6、4(1)求点A 4,的直角坐标与直线的普通方程;4(2)求点 A 4, 到直线 sin1的距离44x t 112.在平面直角坐标系中，直线 I的参数方程为-y V3t极点， X轴正半轴为极轴建立极坐标系，c22,2.23 cos 4 sin 12.(I)写出直线I的极坐标方程与曲线 C的直角坐标方程；(n)已知与直线I平行的直线I过点M 1,0 ,且与曲线(t为参数)，以坐标原点为1曲线C的极坐标方程为C交于A,B两点，试求AB.13.在平面直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线Ci的极坐标方程为2 3 s in212 ,曲线C2的参数方程为x 1 tcosy

7、tsin(t为参数)，0,2(I)求曲线Ci的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？(n)设曲线C2与曲线Ci的交点为A， B， P 1,0，当|PA |pb| 7时, 求cos 的值.1 ?= 1 + -?14. 已知直线?的参数方程为_ 2 (?为参数).在以坐标原点为极点，？轴非负?= v3+ v3?半轴为极轴的极坐标系中，曲线？?勺方程为sin?- v3?coj2?= 0.(I)求曲线？的直角坐标方程；(n)写出直线？与曲线？交点的一个极坐标.1?= 1 + - ？15. 已知直线？的参数方程为_ 2 (?为参数)在以坐标原点为极点，？?由非负半 ?= v3 + v3?轴为极轴的极坐标

8、系中，曲线？?勺方程为：sin?- V3?co?= 0 .(I )求曲线？勺直角坐标方程；(n)写出直线?与曲线？交点的一个极坐标.16. 在平面直角坐标系？?中？曲线?的参数方程为 ?= sin?(?为参数)，在以坐标原?点？为极点，以？轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线?是圆心为(3,-)，半径为1的圆.(1) 求曲线?1, ?2的直角坐标方程；(2) 设？?为曲线？?上的点，？?为曲线?上的点，求|?的取值范围.17.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(I)求C的极坐标方程；1 cossin (为参数).以0为极点,(n)直线l的极坐标方程是 2 sin

9、(-)3、3 记射线0M :3n与C分别交3于点0 , P，与I交于点Q ,求PQ的长.18. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的？轴的正半轴重?= ?合，设点？?为坐标原点，直线？?:？?= 2+，2?4参数？氏？与曲线？?的极坐标方程为 ?co?= 2sin ?.(1) 求直线?与曲线？的普通方程；(2) 设直线?与曲线？相交于？ ？两点，证明：?=? 0.x 1 2cos19. 已知在直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为(为参数).y 2si n20.已知直线的极坐标方程为圆M的参数方程为Ly=-2+2sin9(其中0为参数).(1)以原点为极点、x轴正半轴为

10、极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程;(2)直线1的坐标方程是3，且直线1与圆C交于AB两点，试求弦AB的长.(I)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(n)求圆M上的点到直线的距离的最小值.参考答案2 /77. (1)见解析；(2) cos【解析】试题分析：(1)根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得C1的直角坐标方程.(2)由直线参数方程的几何意义得试题解析：(1)由2 3 sin2心 x 1 tcos(2)将y tsin2代入4设PAt1 , PBt2t1 t2t1t29罕，所以4 cosPA0,，所以cos28. (1) x y m【解析】试题分析:PAPB2e x12得421 得 t

11、236cos2cosPBtit2tl2y_3t2cos2-，可得解.2该曲线为椭圆2t1 t26tcos4t1t290，由直线参数方程的几何意义,124 cos2从而cos22 ”77y2 1y 1(2) m(1 )消去参数t得到C1的普通方程为利用tan可以把c2的极坐标方程化为直角坐标方程.2 cos(2)把C2的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为利用0,得到 m 22 cosm m 3 .6因为直线与椭圆是相离的，所以 m 、30或m 20,分类讨论就可以得到 m相应的值.解析：(1)由曲线 G的参数方程，消去参数 t t,可得GG的普通方程为：x y m 0 .由

12、曲线C2的极坐标方程得3 2 2 2cos23,0,曲线C2的直角坐标方程为2IT y2 10 y 1(2)设曲线 C2上任意一点P为.3cos ,sin0,，则点P到曲线C1 C1的距离为,3cos sin m2 cos0,cos2cos.30 时,m 、_ 34，即 m 4 x 3 ；20时,m 2 4，即 m 6.二 m 4 、3 或 m 6.点睛:离的.般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相2 y229.(1)x 冷1, x 4 y 16.(2)【解析】试题分析：题设给出了曲线C1的参数方程，利用sin2j cos2j 1消去参数j就能得到

13、C1的普通方程，它为椭圆方程.对于曲线c2，题设只给出了圆心的位置和圆上一点，根据它们可以到圆心的坐标和半径，从而可得圆的直角坐标方程在（2）中，因为代B两点的极角相差 一，故先求出C1的极坐标方程,2得到极径与极角的关系，即可求出和为x解析：（1）曲线C1的参数方程为ycosj2sinj（j为参数），则普通方程为x2曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线 q3与曲线C2交于点D4,，所以曲线C2在直角坐3标系中的圆心为4,0，半径为4，其普通方程为y216.曲线C1的极坐标方程为r2cos2q2 . 2r sin qr222 ，所以4cos q sin q2, .3 ,4sin2q co

14、sq 4cos2q sin2q510. (1)6cos 8sin ；(2)12253(n)将【解析】试题分析：（I）先将曲线的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程;63代入曲线C的极坐标方程得到A, B两点的极坐标分别为A4 S3，-，B 3 4-、3，故可得 AOB -1,利用S aob1 2sin AOB可得 AOB勺面积。2336 6试题解析：(I)将C的参数方程化为普通方程为2x 3y2425 ,即 x2 y2 6x 8y 0.曲线C的极坐标方程为6cos8sin(n)把代入 6cos 8sin ，得 i 4 3.3,6点A的极坐标为A 4 3.3,-.6把 代入 6cos

15、 8sin ，得 23 4、3,3点B的极坐标为B 3 4、3,3S AOB12 12sin AOB1 43 3 34、3 sin -12 25123 642 211 . (1) P 0, 73 , 1 .(2)6.515【解析】试题分析：(1 )本问考杳极坐标与直角坐标的互化，以及参数方程化普通方程，根据公式cossin,易得P点的直角坐标，消去参数2 2可得曲线C的普通方程为- Z 1 ； (2 )本问考杳515直线参数方程标准形式下t的几何意义,将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元.次方程，根据几何意义有 PA PB t1 t2，于是可以求出 PA |PB 的值.试题

16、解析：(1)由极值互化公式知：点P的横坐标x 、3cos 0，点P的纵坐标x3sin3 ,2 2所以p 0,、3，消去参数的曲线c的普通方程为：2 2X y 1.515(2)点P在直线l上，将直线的参数方程代入曲线C的普通方程得：t2 2t 8 0，设其两个根为t1 , t2，所以：t1 t22 , &8,由参数t的几何意义知：PA PBt1 t2tl24t1t26.2 212 (I) x y 1 ； (n)C1与C2交点的极坐标分别为1,0 , 1,.2x 1 cos【解析】试题分析：（I）曲线C1的参数方程利用消去参数 化为普通方程.y 1 sin代入可得极坐标方程；（n）曲线C2的极坐标

17、方程为化为直角坐标方程:y2 1联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出.x试题解析：（I）将ycos ,消去参数，化为普通方程sin即G的普通方程为 x由 1，得21 ,再将Xcos ,代入ysin ,1，得即C?的直角坐标方程为(n)由 x 12 yx y1解得1,所以C1与C2交点的极坐标分别为2213 (1) cos 4 sin 40 ;(2) 1或-1 【解析】试题分析：（1）把抛物线C的方程可利用公式化成极坐标方程;由直线I的参数方程求出直线I的极坐标方程，再将I的极坐标方程代入C的极坐标方程，根据 AB8即可求出直线I的斜率.试题解析：（1 ）由x cos , y sin可得,抛物

18、线C的极坐标方程2cos24 sin（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线I的极坐标方程为设A,B所对应的极径分别为2，将I的极坐标方程代入 C的极坐标方程得cos2 2 4sin 4 0,- cos20 （否则，直线I与抛物线C没有两个公共点）4sincos2 1 2cos2AB由AB8 得 cos2l,tan21,16cos2 16s in22cos42，cos所以I的斜率为1或-114 . ( 1) X 2 或X y 00(2)134cos 2sinx 2cos y sinxcos为参数），即2,于是可以根据sin2y sincos21画为普通方程；（2）将曲线C的【解析】试题分析：Xa

19、x（1）本问首先应用伸缩变换公式，根据公式可以得到变化后的参数方程为Y byx互化公式y试题解析:(1)设x1, y-i为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C上的点x, y ，x则有yX11 尹x1Q 12cos2sin为参数）x 2cos ，厶.(为参数)y sin2xx42y 2解得:x 2 或X 0y 0 y 12,0 , p2 0,1 ,则线段1p1 p2的中点坐标为1,1 ，所求直线的斜率k 2，于是所求直线方程为21y2x1,即 4x-2y 3 0.2普通方程与直线I的方程联立，可以解方程组，方程组的解分别为R,F2两点坐标，于是可以求出直线RP2的斜率及中点坐标，根据垂直关系可以

20、求出线段RP2的垂直平分线I的方程，然后根据极坐标与直角坐标cos，即得到直线I的极坐标方程sin化为极坐标方程得：4 cos 2 sin 3 0,即4cos 2sin215. ( 1) y 2x (2) 2x cos【解析】试题分析：(1)本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得2sin22 cosy sin2所以曲线C的直角坐标方程为y 2x ；( 2)本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线x参数方程的标准形式tcos2，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设A,By tsin两点对应的参数分别为ti,t2，列出ti t2， ti t2， AB b t2的最

21、小值.ti t2 2 4tit2，于是可以求出 AB试题解析：(I )由sin22cos 0由，得2sin22 cosj r曲线C的直角坐标方程为(II )将直线l的参数方程代入，得 t2sin22 tcos0.设A,B两点对应的参数分别为 t,t2则ti t2sintii.2 ， sinABtit2ti24tit24cos 44sin2sin2_2sin当 一时，AB的最小值为2.2考点：i.极坐标方程；2.参数方程.i6. (i) y2 4x (2) 4 i5【解析】试题分析：(i)根据y sin , xcos将曲线极坐标方程化为直角坐标方程:2y 4x (2)根据直线参数方程几何意义得P

22、A |PB| |ti t2 7 ti t2 2 4tit2，所以将直线参数方程代入曲线方程y2 4x，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(i)由曲线C的原极坐标方程可得一,化成直角方程为y2 4x .(2)联立直线线I的参数方程与曲线 C方程可得门+ h 宀，于是点P在AB之间，_ -卜丨 一 _ J - .- - i 一 .考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义17 . ( 1) x+y- 2 =0(2) 3x cos【解析】试题分析：(1)根据极坐标与直角坐标互化公式可得，点 A 4, 的直角坐标为y sin4J2J2222、2 ； ( 2)首先将直线sin1的极坐标方程

23、化为直角坐标方程x y 1，即422x y ,2 0，于是问题转化为求点 A 2,.2到直线x y 2 0的距离，根据点到直线距离公 式可求.试题解析：(1 )点4, 化成直角坐标为 2 . 2,2. 2 .4直线 sin1，化成直角坐标方程为y 1，即 x20.(2)由题意可知，点4, 到直线 sin41的距离，就是点 .2,2,2到直线x y 204的距离，由距离公式可得22 22 V2d.23.18. (1)直线I的极坐标方程为sin2 2、3 1;曲线C的直角坐标方程为专弋1.; ( 2)16x cosx cos，曲线C的直角坐标方程为y sin5【解析】试题分析：(I)根据极坐标与直

24、角坐标互化公式2 2再化为极坐标方程;3x2幼2仁，即亍1 ,消去直线l中的参数t，得到直线l的直角坐标方程,(n)本问考查直线参数方程标准形势下的几何意义，设x(t为参数)，代l的参数方程为y入曲线C的直角坐标方程，可以根据AB试题解析：（I）直线I的直角坐标方程为t1 t2求解.J3 x1 1,所以直线l的极坐标方程为 sin ,3cos.3又因为曲线C的极坐标方程为3 2cos22 . 2sin12,所以曲线C的直角坐标方程为3x24y212,化简得1.（n）因为直线I与直线I平行,又M 1,0在直线l上， 直线lx的参数方程为11 t2*2t为参数）将它代入曲线C的方程中得5t2 4t

25、 120,t1t24,址2512所以ABt122 4t1t2165考点：1.极坐标；2.参数方程.方法点睛：经过点 P xo,yo，倾斜角为的直线I的参数方程为Xoyotcos（t为参数），若A, B为tsin直线l上两点，其对应参数分别为t1,t2，线段AB的中点为M所对应的参数为t。，则以下结论在解题中经常用到：（1） t0$如2;(2) PM19 . （1）见解析；（2） cos 耳t0t1 t12(3) | AB t2 tj ； (4) | PA|PB| 山 t2 .【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得C1的直角坐标方程.（2）由直线参数方程的几何意义得试题解

26、析：（1）由2 3 sin22、简 x 1 tcos 小、x(2)将代入一y tsin4设PAt1 , PB,t1PAPBt1t27，可得解.2e x12得421 得 t236cos4 cos22y_3该曲线为椭圆.cos26tcos 90 ,由直线参数方程的几何意义,址294 cos2，所以PAPBtl t22tl上24址2124 cos2i，从而cos2?，由于 0,，所以cos.2720. (i) ? v3? = 0; (n)(2,3).【解析】试题分析：(1 )将x= ?cos? y = ?sin?弋入sin?- v3?co；2?= 0,即可求出曲线？勺直角坐标 方程1?= 1 + _

27、? q(2)将_ 2代入?-価?？= 0,即可求出直线?与曲线？勺交点坐标 ?= v3+ v3?试题解析：(I)t sin ?- v3?cos?= 0 ?si n? V3?2cos2?= 0即？? v3? = 0.1?=1+_?q_1C(n)将 _2代入?- v3? = 0得，v3+ v3? v3(1 +$?)= 0即?= 0,?= v3+ v3?交点坐标为(1, v3)交点的一个极坐标为(2, 3).?21. (i) ? v3? = 0； ( n )(2,3)【解析】试题分析：(1 )将？?= ?cos?= ?sin?代入sin?- v3?cos?= 0,即可求出曲线的直角坐标方程?= 1

28、+ 1? _(2)将_ 2代入?.霜?？= 0,即可求出直线?与曲线？?勺交点坐标。?= v3 + v3?试题解析:(I)T sin?- v3?cos?= 0 ?sin? d?cos2?= 0即？? v5? = 01?= 1 + ? 1(n)将 _ 2二代入?. v3? = 0 得，v3+ v3?2 v3(1 +-?)= 0 即？?= 0?= v3+ v3?2从而，交点坐标为(1, v3)?所以，交点的一个极坐标为(2,3).22 . ( 1) ? + (?- 3) 2 = 1; ( 2) 1,5.【解析】试题分析：(1 )由cos2?+ sin2?=1消去参数？?可得?的直角坐标方程，根据圆

29、的性质可得到?的直角坐标方程；(2)设?(2cos?,sin?),根据两点间距离公式可得到|?|，由-1 sin? 1得到|?|的取值范围，从而得到|?的取值范围试题解析：(1 )消去参数？可得?的直角坐标方程为 手+ ? = 1.曲线?的圆心的直角坐标为(0,3), ?的直角坐标方程为？ + (?- 3)2 = 1 .(2)设？?(2cos?,sin?),则 |?| = V (2cos?2 + (sin?- 3)2 = “4co?+ sin2?- 6sin?+ 9 = V-3sin2?- 6sin?+ 13 = V-3(sin? + 1)2 + 16. -1 三 sin?W 1 , |?|m

30、in = 2,|?|max = 4.根据题意可得 |?hin = 2-1=1, |?max = 4+1=5, 即I?的取值范围是1,5.23. (I)【解析】试题分析：(I)把cos2sin2x 1 cos为参数)，消去参数化为1代入圆C的参数方程为(y sinx普通方程，把cos代入可得圆C的极坐标方程.ysin2(sin3cos )1,1 ；设 Q( 2,2)，联立32cos(n)设P( 1,1)，联立，解得33.3，解得2,2 ,可得PQ .2d试题解析：解：(I)消去参数 F，得到圆的普通方程为- ,A COS 0,令代入u的普通方程，得的极坐标方程为，即li L L . 5分(n)在

31、J的极坐标方程中令；，得. 所以丨-.0 = _ _ _在丁的极坐标方程中令 ；，得一 一，所以丨 -.所以二r r .10分考点：1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程.24 . ( 1) ? ?= 2?+ 2, ? ? = 2? (2 )见解析.【解析】试题分析：(1)在直线？的参数方程利用代入消元法消去 ？即可得到其普通方程，将曲线 ？的极坐 标方程两边同乘？然后利用互化公式即可求得其普通方程；(2)设出点？?？勺坐标，然后联立直线 ?与曲线？勺普通方程，从而利用韦达定理可使问题得证.试题解析：(1)由直线？的参数方程消去？得普通方程？?= 2?+ 2,由曲线？?的坐标方程两边同乘？?得曲线？的 普通方程？ = 2?= 2?+ 2(2)设？?(?？?)，？?(?,？?)，由