连续型随机变量

1、2.3 连续型随机变量连续型随机变量 2.3.1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 通俗的讲通俗的讲,连续型随机变量就是取值可以值可以连续型随机变量就是取值可以值可以 连续地充满某个区间的随机变量连续地充满某个区间的随机变量. 定义定义2.4 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存，存 在非负函数在非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有 (2.2) 则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量其中函数其中函数f(x)称为称为X的的 概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度或或密度函数密度函数 ( )( )

2、 x F xf t dt 第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 设离散型随机变量设离散型随机变量X在在a, b内取内取n个值个值: x1=a, x2, x3, x4, ,xn=b X x1=a P x2x3 s1 s2 s3 sn .xn=b n i i sbXaP 1 折线下面积之和！折线下面积之和！ 画画X的概率的概率 直方图：直方图： 定义的引出定义的引出 即小矩形的面积为即小矩形的面积为取取 对应点的概率对应点的概率 小矩形宽度小矩形宽度 概率概率 小矩形高小矩形高 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 若若X为连续型为连续型随机变量，由于随机变量，

3、由于X在在a, b内取内取 连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线).(xf 而且：而且： )(xf dxxfSbXaP b a )( 1)( dxxfXP X a P .b )(xf dxxfS b a )( 由此推出连续由此推出连续 型随机变量型随机变量 的定义的定义 dxxfxXPxFx x )()(,有有对对任任意意的的实实数数 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 再看连续型随机变量的定义再看连续型随机变量的定义: : 定义定义2.4 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)， 存在非负函数存

4、在非负函数f(x)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x有有 (2.2) 则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量其中函数其中函数f(x)称为称为X的的 概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度或或密度函数密度函数 从从(2.2)式可以看出，连续型随机变量的分布函式可以看出，连续型随机变量的分布函 数一定是连续函数，且在数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上的导数存在的点上 有有 (2.3) ( )( ) x F xf t dt ( )( )F xf x 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 概率密度函数的性质概率密度函数的性质 0)( (1)

5、 xf非非负负性性 1)()2(dxxf归归一一性性 a S b 1 xo )(xf 这两条性质是判定一这两条性质是判定一 个函数个函数 f(x)是否为某是否为某 个随机变量个随机变量X的概率的概率 密度函数的充要条件密度函数的充要条件. (3) X落入区间落入区间a,b内的概率内的概率 b a dxxf)( 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即 . 0 aXP 连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关区间的概率

6、与区间的开闭无关 bXaP bXaP bXaP .bXaP 由此可得由此可得 这是因为这是因为)(lim)( 0 xaXaPaXP x xa ax dxxf )(lim 0 0 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 密度函数密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取取 值的概率值的概率. 但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值附近的值 的概率就越大的概率就越大. 1 xo )(xf )(af a 问题：问题：f (a)是是=a的概率吗？的概率吗？ 不是不是! 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及

7、其概率密度 如果为连续型随机变量，虽然如果为连续型随机变量，虽然PX=a=0，但，但 X=a 并非不可能事件并非不可能事件. 可见，可见， 由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B= 问题：问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？概率为零的事件一定是不可能事件吗？ 类似可知，类似可知， 不一定！不一定！ 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 【例【例2-9】设随机变量】设随机变量X的概率密度为的概率密度为 试求：试求：(1) 系数系数A；(2) X落在落在(1/2，1/2)内的概率；内的概率； (3) X的分布函数的分布函数

8、F(x) 解：解：(1) 由概率密度的归一性知由概率密度的归一性知 所以所以 1|, 0 1|, 1 )( 2 x x x A xf dx x A dxxf 1 12 1 )(1 1 A AAxA 2 2arcsin2 1 0 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 (2) (3) 因为因为 3 1 arcsin 22/1 0 x )(xF x dttf)( 时，时，当当1 x )(xF 00 x dt 时，时，当当11 x 2 1 arcsin 1 arcsin 1 1 11 )( 1 12 xtdt t xF x x 2/1 2/12 1 11 2 1 2 1 d

9、x x xP 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 故故X的分布函数为的分布函数为 时，时，当当1 x1 1 11 )( 1 12 dt t xF 1 , 1 11 , 2 1 arcsin 1 1 , 0 )( x xx x xF 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 .2XP,110,P)2( ;C)1( ., 0 , 33),9( )( 2 XPX xxC xf X 求求 求常数求常数 其它其它 具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设 解解:, 1d)()1( xxf由由 【补充例】【补充例】 得 dxxf)(1 3 0 3

10、| ) 3 9(2 x xC 3 0 2 )9(2dxxC 3 3 2 )9(dxxC C36 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 于于是是概概率率密密度度为为即即有有 .36 1 C ., 0 , 33),9( 36 1 )( 2 其它其它 xx xf 0 3 3 | ) 3 9( 36 1 x x , 2 1 )927( 36 1 0)2(XPdxx )9( 36 1 2 0 3 dxxf 0 )( 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 11XP 2XP . 27 13 3 9 18 1 1 0 3 x x dxx )9( 36 1

11、 2 2 1 0 dxx )9( 36 1 2 3 2 . 27 2 3 9 36 1 3 2 3 x x dxxf 1 1 )( dxxf 2 )( 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 【例【例2.10】设随机变量】设随机变量X的概率密度为的概率密度为 现对现对X进行进行n次独立重复观测，以次独立重复观测，以Y表示观测值不表示观测值不 大于大于0.1的次数，试求随机变量的次数，试求随机变量Y的分布律的分布律 解：解：事件事件“观测值不大于观测值不大于0.1”，即事件，即事件X 0.1 的概率的概率 由题意由题意Y服从服从B(n，0.01)，于是，于是Y的分布律为

12、的分布律为 其它其它 , 0 10 ,2 )( xx xf 1 . 0XP kYP 1 . 0 )(dxxf 1 . 0 0 2xdx01. 0 nkC knkk n , 2 , 1 , 0,)09. 0()01. 0( 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 【例【例2.11】设随机变量】设随机变量X的分布为的分布为 求：求： (1) 系数系数A和和B； (2) X落在落在(1，1)内的概率；内的概率； (3) X的概率密度的概率密度 解：解：(1) 由于由于 可知可知 解得解得 xxBAxF,arctan)( , 1)(, 0)( FF 1) 2 ( 0) 2 (

13、 BA BA ,BA 1 2 1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 于是于是 xxxF,arctan 1 2 1 )( )1()1(11 FFXP x x xFxf, )1( 1 )( )( 2 2 1 )1arctan( 1 2 1 1arctan 1 2 1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 2.3.2 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 1. 均匀分布均匀分布 定义定义2.8 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度 (2.4) 则称则称X在区间在区间(a，b)上服从上服从均匀分布均匀分布，记为，记为

14、X U(a，b) 其它其它 , 0 , 1 )( bxa ab xf 2.3 连续型随机变量连续型随机变量 均匀分布的意义均匀分布的意义 ,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间 . ),( 性性是是相相同同的的 内内的的可可能能中中任任意意等等长长度度的的子子区区间间落落在在区区间间ba a b l ab l p l 事实上事实上，若若X U(a, b)，则对于满足，则对于满足 bdca 的的c,d, 总有总有 d c dxxfdXcP)( ab cd d c dx ab 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 均匀分布的分布函数为：均匀分布的分布函数为： f

15、(x)和和F(x)的图形见图的图形见图2-6 图图2-6 均匀分布的概率密度与分布函数均匀分布的概率密度与分布函数 bx bxa ab ax ax xF , , , )( 1 0 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后入，小数点后 某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进 行四舍五行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（入时，那么一般认为误差服从（-0.5, 0.5） 上的均匀分布。上的均匀分布。 再者，假定班车每隔再者，假定班车每隔

16、a分钟发出一辆，由于乘分钟发出一辆，由于乘 客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具客不了解时间表，到达本站的时间是任意的（具 有等可能性），故可以认为候车时间服从区间有等可能性），故可以认为候车时间服从区间(0， a)上的均匀分布上的均匀分布 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 解解 设设X表示他等车时间（以分计），则表示他等车时间（以分计），则X是是 一个随机变量，且一个随机变量，且 【补充例】【补充例】 （等待时间）公共汽车每（等待时间）公共汽车每1010分钟按时分钟按时 通过一车站，一乘客随机到达车站通过一车站，一乘客随机到达车站. .求他等车时求他等车时 间不超过间不超过3 3分

17、钟的概率分钟的概率. . ).10, 0( UX ., 0 ,100, 10 1 )( 其其它它 x xf 所求概率为所求概率为 , 10 3 )(3 3 0 dxxfXP X的概率密度为的概率密度为 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 【例【例2.12】设随机变量】设随机变量X在在(2,5)上服从均匀分布，上服从均匀分布， 现对现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测进行三次独立观测，试求至少有两次观测 值大于值大于3的概率的概率 解：解：因为随机变量因为随机变量X在在(2,5)上服从均匀分布，上服从均匀分布， 所以所以X的概率密度为的概率密度为 事件事件“对对X的观测值大于的观测值大于

18、3”的概率为的概率为 其它其它 , 0 52 , 3 1 )( x xf 3 2 3 1 3 5 3 dxXP 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 设设Y表示三次独立观测中观测值大于表示三次独立观测中观测值大于3的次数，的次数， 则则 于是于是 3 2 3, BY 2YP 33 3 22 3 ) 3 2 ( 3 1 ) 3 2 (CC 27 20 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 2. 指数分布 定义定义2.9 如果随机变量如果随机变量X概率密度为概率密度为 (2.6) 则称则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布，记为，记为X Exp( ) 指数分布的分布函数为指数分布的分布函

19、数为 (2.7) )( , , )( / 0 00 0 1 x xe xf x 0 , 0 , 0 ,1 )( x xe xF x 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 指数分布的概率密度与分布函数的图形如下图指数分布的概率密度与分布函数的图形如下图 所示所示 图图2-7 指数分布的概率密度与分布函数指数分布的概率密度与分布函数 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用 作各种作各种“寿命寿命”分布的近似分布，例如电子元器件分布的近似分布，例如电子元器件 的寿命，随机服务系统中的服务时间等都可假定服的寿命，随机服务系

20、统中的服务时间等都可假定服 从指数分布指数分布在可靠性理论与排队论中有从指数分布指数分布在可靠性理论与排队论中有 着广泛的应用着广泛的应用 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 下面给出指数分布的一个有趣性质下面给出指数分布的一个有趣性质 定理定理2.2（指数分布的无记忆性）（指数分布的无记忆性） 设设 ，则对任意，则对任意 s 0,t 0 ，有，有 证：证：因为因为XExp()，所以，所以PXs=1-F(s)=es/， 于是于是 )( ExpX |tXPsXtsXP )()( | sXP sXtsXP sXtsXP sXP tsXP )(1 )(1 sF tsF / / )( s ts e

21、e / t e tXP 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 【例【例2.13】假定自动取款机对每位顾客的服务时间】假定自动取款机对每位顾客的服务时间 （单位：分钟）服从（单位：分钟）服从 = 3的指数分布如果有一顾的指数分布如果有一顾 客恰好在你前头走到空闲的取款机，求客恰好在你前头走到空闲的取款机，求(1) 该顾客该顾客 至少等候至少等候3分钟的概率；分钟的概率；(2) 该顾客等候时间在该顾客等候时间在3分分 钟至钟至6分钟之间的概率分钟之间的概率 如果该顾客到达取款机时，正有一名顾客使用着如果该顾客到达取款机时，正有一名顾客使用着 取款机，上述概率又是多少？取款机，上述概率又是多少？ 2

22、.3.2 常用连续分布常用连续分布 解：解：以以X表示该顾客前面这位顾客所用服务时间，表示该顾客前面这位顾客所用服务时间， F(x)为为X的分布函数，由的分布函数，由(2.7)，所求概率，所求概率 (1) (2) 如果该顾客到达时取款机正在为一名顾客服务，同如果该顾客到达时取款机正在为一名顾客服务，同 时没有其他人在排队等候，那么由指数分布的无记忆时没有其他人在排队等候，那么由指数分布的无记忆 性，取款机还需要花在你前面顾客身上的服务时间，性，取款机还需要花在你前面顾客身上的服务时间， 与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变与他刚到取款机相同，从而问题的答案不变 368011313 13 .)

23、()( / eeFXP 2330 21 . ee )()()()( / 36 113663 eeFFXP 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 3.正态分布正态分布 定义定义2.10 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为 (2.9) 其中其中 ， ( 0)为参数，则称为参数，则称X服从参数为服从参数为 ， 的的 正态分布正态分布（又称为高斯分布），记为（又称为高斯分布），记为 xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( ),( 2 NX Carl Friedrich Gauss Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunsw

24、ick (now Germany) Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany) 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 显然显然 f(x)0 ，下面来证明，下面来证明 若令若令 ， 得到得到 记记 ，则有，则有 ， 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 t x dtedxedxxf t x 22 )( 2 2 2 2 1 2 1 )( dydxeI yx 2 2 22 dteI t 2 2 1)( dxxf 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 而而 ，故有，故有 即即 ，于是，于是 可见可见(2.9)中的中的f(x)满足概

25、率密度的两个基本性满足概率密度的两个基本性 质质 0I2I 2 2 2 dte t 1 2 1 2 2 dtedxxf t )( 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为 (2.10) f(x)和和F(x)的图形如图的图形如图2-8 图图2-8 正态分布的概率密度和分布函数正态分布的概率密度和分布函数 x t dtexF 2 2 2 )( 2 1 )( 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 ,e 2 1 )( 2 2 2 )( x xf x 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征 ;)1(对对称称曲曲线线

26、关关于于x ; 2 1 )(,)2( xfx取取得得最最大大值值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当 ;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 ; ,)( ,)6( 轴作平移变换轴作平移变换着着 只是沿只是沿图形的形状不变图形的形状不变 的大小时的大小时改变改变当固定当固定 x xf ;)5(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 . , )(,)7( 图图形形越越矮矮越越胖胖 越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变 图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定 xf 2.3.2 常用连续分布常用连续分布 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如 测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如