论线性空间与欧式空间的对比

1、目录1 绪论31.1 研究目的与研究意义31.2 研究现状31.3 研究内容32 欧式空间简介42.1 提出背景42.2 定义与基本性质52.3 度量矩阵82.4 标准正交基92.5 同构122.6 正交变换162.7对称变换193 线性空间简介213.1 线性空间的概念223.2 线性变换的定义223.3 线性变换的性质和运算233.4 线性变换的矩阵244 线性空间与欧式空间的对比284.1 基础域的对比讨论284.2 运算的对比讨论294.3 基的对比讨论294.4 向量坐标的对比讨论294.5 线性变换的对比讨论294.6同构的对比讨论30参考文献31致 谢3232论线性空间与欧式空间

2、的对比摘 要线性空间与欧式空间是高等代数的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。【关键词】欧式空间 线性空间 对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is Higher Algebra is the two important parts, they are different and contact, a brief descrip

3、tion of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是高等代数中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。本论文旨在从不同

4、的方面对其进行比较与讨论。在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算，如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度，夹角等在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题中（其中包括几何问题）有着特殊的地位，所以有必要引入度量的概念。以解析几何为例，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，向量的内积有代数性质。而线性空间无法研究这些性质，所以引入了欧几里得空间的概念，欧式空间概念的提出对于扩大对解析几何问题的研究有指导意义1。1.2 研究现状有限维线性空间是高等代数的一部分很重要的内容，陈少军曾在

5、有限维线性空间的基与维数研究中对有限维的线性空间进行研究。重点的介绍了几种求有限维线性空间的基与维数的方法，其中包括一种常用而又很重要的方法：一般元素含有的相互独立的待定数。对于欧式空间与线性空间的关系问题，张锦来教授研究了欧式空间上线性变换的若干问题，推导出欧式空间上的变换是线性变换的充分条件孙霞在常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法一文中阐述到，高等代数的线性空间概念是重要的一个属性，欧式空间的深入理解是认识高等数学的一个重要信息，而且线性空间与欧式空间的维数与正交基的标准是认识空间的基础。文章在对数域中对线性空间与欧式空间的方面进行说明，探讨数域P所起的作用，维数的基与标准正交基

6、的求法与步骤2。1.3 研究内容在我看来，欧式空间可以理解为几何空间的度量性在线性空间推广的结果。线性空间缺乏度量性，不能在线性空间上被描述向量的长度及向量间的夹角，这一不足制约了线性空间的使用。而向量的长度及向量的夹角在几何空间都能通过向量的内积来定义，所以只要在线性空间中加上内积性质，就使得线性空间具有了度量属性。从大的方面来看，欧式空间就是具有内积性的线性空间，但从基础域、基、向量的坐标、过渡矩阵、线性变换 子空间、同构等方面，他们又具有不同的性质。这也是论文需要研究的内容。2 欧式空间简介2.1 提出背景约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为

7、欧几里得几何。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做n维欧几里得空间（甚至简称n维空间）或有限维实内积空间。这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。还另存在其他种类的空间，例如球面

8、则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间3-5。有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择

9、，因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。欧式空间，也可以称为平直空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧式空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧式空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。欧式空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧式空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，

10、会同导入机动性手法，局部欧式空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧式空间。欧式空间是无穷大的。在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。因此有必要在线性空间中引入度量的概念。而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。在线性空间中引入内积以后就成为欧式空间6。2.2 定义与基本性质【定义1】设是实数域上的一个线性空间，如果在上定义一个二元实函数，记作，称为内积。如果它有以下性质：1. 2. 3. 4. ，当且仅当

11、时，这里是中任意向量，是任意实数，就称线性空间对内积构成一个欧几里得空间，简称欧式空间。注：1. 二元函数意为对中任意向量，有唯一的实数对应2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧式空间不同例：设是一个维实线性空间，在中取定一组基。设是一个正定矩阵，定义的内积如下：由于为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。因此，对内积构成一个欧式空间。3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。因此，与性质2.及3.相对应的有：进一步的，在欧式空间中，对任意向量；及任意实数；，都有【定义2】由，设是欧式空间中的一个向量，非负实数称为向量的长度，记为。向量的长度一般都是正数，只有零向量的长度才等于

12、零。我们把长度为1的向量称为单位向量。长度的性质：1. ，2. （运用柯西-布捏可夫斯基不等式）证明：考虑解析几何中向量夹角的余弦可以通过内积表示为由于，因此，为了在欧式空间中引入夹角概念，必须首先证明【柯西-布捏可夫斯基不等式】对于欧式空间中任意两个向量，都有当且仅当线性相关时等号成立。证明：（分线性相关或线性无关两种情况）若线性相关，不妨设若线性无关，那么对任意实数，因此，即实系数方程无实数解。因此，即两边开方，既得这时，我们就可以定义两个向量的夹角。【定义3】欧式空间中两个非零向量之间的夹角规定为【定义4】如果向量的内积为零，即。那么称为正交或垂直，记作。显然，两个非零向量正交的充分必要

13、条件是它们的夹角为并且，从定义可以看出，零向量与任何向量正交，零向量是唯一与自己正交的向量。【勾股定理】当正交时，证：推广到多个向量的情形，即如果向量两两正交，那么【定义5】设是欧式空间中两个向量，它们之间的距离定义为距离的性质有：1. 2. ，当且仅当时成立（）3. 证：2.3 度量矩阵设是一个维线性空间，在中取定一组基，对中两个向量有这样，就将向量之间的内积通过基之间的内积表示出来。因此，只需确定基之间的内积即可。【定义6】设是欧式空间的一组基，矩阵称为基的度量矩阵。在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按上式计算，因而度量矩阵完全确定了内积。2.3.1度量矩阵的性

14、质1. 度量矩阵是正定矩阵证：由，为实对称矩阵。又时，即时，故为正定矩阵。2. 设分别是维欧式空间的两组基，它们的度量矩阵分别为和，由到的过渡矩阵为，那么（不同基的度量矩阵是合同的）。证明：到的过渡矩阵为即因此即3. 是一个维欧式空间，则任一正定矩阵都可以看成的某一组基的度量矩阵。（证明思想：阶正定矩阵都是合同的）特别的单位矩阵也可看成的某一组基的度量矩阵。2.4 标准正交基欧式空间与线性空间的主要差别是在欧式空间中有度量性质，而度量性质又是由内积的概念做基础，内积可以通过度量矩阵表示。因此，如何选择基，使得度量矩阵最简单是一个重要问题。【定义7】欧式空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，就

15、称为一个正交向量组。显然，正交向量组是线性无关的。在维欧式空间中，两两正交的非零向量不能超过个。【定义8】在维欧式空间中，由个正交向量组成的基称为正交基。由单位向量组成的正交基称为标准正交基。设是一组标准正交基，由定义有，显然，一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。同时，由于度量矩阵的性质3.在维欧式空间中，标准正交基是存在的。在标准正交基下，向量的内积有特别简单的表达式。设这一内积表达式，对于任一组标准正交基都是一样的。即所有的标准正交基，在欧式空间中有相同的地位。【定理1】维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。证明：设是一正交向量组，我们对作数学归纳法。当

16、时，就是一组正交基了。假设时定理成立，也就是说，可以找到向量，使得成为一组正交基。现在来看的情形，因为，所以一定有向量不能被线性表出，作向量这里是待定系数。用与作内积，得取有由的选择可知，。因此，是一正交向量组，根据归纳法假定，可以扩充成一正交基。【定理2】对于维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使证明：（施密特正交化）设是一组基，我们来逐个的求出向量首先，可取，一般的，假定已经求出，它们是单位正交的，具有性质下一步求因为，所以不能被线性表出。作向量显然有，且令就是一单位正交向量组，同时【定理3】1. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。2. 如果第一组基是标准正交基，

17、同时两组基之间的过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。证明：设及是欧式空间的两组基，并设由到的过渡矩阵是1.）设及是标准正交基，那么它们的度量矩阵都是单位矩阵，又由到的过渡矩阵是,即所以是一个正交矩阵。2.）设是一个正交矩阵，如果是标准正交基，那么它的度量矩阵是单位矩阵，于是的度量矩阵为所以，是标准正交基。2.5 同构【定义9】实数域R上欧式空间与称为同构的，如果由到有一个双射，满足1. 2. 3. 这里这样的映射称为到的同构映射。如果是欧式空间到的一个同构映射，那么也是线性空间到的一个同构映射。因此，欧式空间的同构具有线性空间同构的性质。设是欧式空间到的一个同构映射：1. 2.

18、 3. 4. 中向量线性相关的充分必要条件是他们的象线性相关。欧式空间的同构关系也具有反身性、对称性、传递性。证明：（反身性）每个欧式空间到自身的恒等映射显然是一同构映射。因而同构关系是反身的。（对称性）设是欧式空间到的一个同构映射，它的逆映射也适合定义中的1.与2.，且对于，有这就是说，是到的一个同构映射，因而同构关系是对称的。（传递性）设分别是到，到的同构映射，适合定义中的1.与2.，且对于这就是说是到的一个同构映射，因而同构关系是传递的。【定理3】两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相等。证明：（必要性）如果欧式空间与是同构的，那么他们作为线性空间也是同构的。所以他们的维数相

19、同。（充分性）设欧式空间与的维数相同都为在中取一组标准正交基，在中取一组标准正交基定义到的一个映射为显然是一个双射，且如果则由于,都是标准正交基，所以因此是欧式空间到的一个同构映射，故与是同构的。这个定理说明，欧式空间的结构完全被它的维数决定。五、子空间欧式空间的子空间对于元空间的内积显然也是一个欧式空间。现在讨论欧式空间中子空间的正交关系。【定义10】设是欧式空间的一个子空间。如果一个向量对于任意的，恒有，则称与子空间正交，记为。【定义11】设,是欧式空间的两个子空间。如果对于任意的，恒有，则称,为正交的，记为。因为只有零向量与它自己正交，因此，1. 若，则2. 若，则【定理4】如果子空间两

20、两正交，那么和是直和。证明：设，且用与等式两边作内积，得从而即是直和【定义12】子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且。的正交补记为，证：因为，是直和又，因此，恰好由中与正交的全部向量组成。证明：当或时，显然成立。设且，在中取一组正交基，可以把它扩充成的一组正交基,则设,则依次用与上式做内积，得又，所以另一方面，当然中任一向量都与正交，因此，恰好由中与正交的全部向量组成。由此可知，若，则由可知，中任一向量都可以唯一的分解为其中，我们称为向量在子空间上的内映射。【定理5】维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补。证明：如果，那么它的正交补就是，唯一性是显然的。设，在中取一组正交基，可以把它扩充

21、成的一组正交基那么子空间就是的一个正交补。设，都是的正交补，于是令，由第二式，其中由于即，即同理可证因此2.6 正交变换【定义13】欧式空间的线性变换称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的都有【定理6】设是维欧式空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1. 是正交变换2. 保持向量的长度不变，即对于3. 如果是标准正交基，那么也是标准正交基4. 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵证明：（1. 与2. 等价）如果是正交变换，那么两边开方，既得反过来，如果保持向量的长度不变，那么又即是正交变换（1. 与3. 等价）设是一组标准正交基，即如果是正交变换，那么这就是说是标准正

22、交基反过来，如果是标准正交基，那么，由因此，是正交变换（3. 与4. 等价）设在标准正交基下的矩阵为，即如果是标准正交基，那么可以看做由标准正交基到的过渡矩阵，因此，是正交矩阵。反过来，如果是正交矩阵，那么是标准正交基。因为正交矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是正交矩阵，两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，因此1. 正交变换是可逆变换，其逆变换仍是正交变换2. 两个正交变换的乘积也是正交变换如果是正交矩阵，那么由可知，或者因此，正交变换的行列式等于或者。行列式等于的正交变换通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于的正交变换称为第二类的。例：在欧式空间中任取一组标准正交基，定义线性变换为那么就是一个第

23、二类的正交变换，从几何上看，这是一个镜面反射。【定理7】如果是维欧式空间的一个正交变换，是的一个不变子空间，则也是的不变子空间。证明：设，要证，即任取，,因因此即，也是的不变子空间。2.7对称变换【定义14】设是欧式空间的一个线性变换，如果对中任意两个向量，都有则称为一个对称变换。【定理8】维欧式空间的线性变换是对称变换的充要条件是在任一组标准正交基下的矩阵都是对称矩阵。证明：（必要性）如果是维欧式空间的一个对称变换，是的一组标准正交基，并设在基下的矩阵是于是因为是一个对称变换，所以即是一个对称矩阵（充分性）如果在标准正交基下的矩阵是对称的，那么对于中任意两个向量其中分别是对于基的坐标所对应的

24、列向量都有所以是一个对称变换。实对称矩阵的性质复习：1. 实对称矩阵的特征值都是实数2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的3. 对于任意一个级实对称矩阵都存在一个级正交矩阵T，使成对角形。【定理9】如果是维欧式空间的一个对称变换，那么可以找到的一组标准正交基，使在这组基下的矩阵是对角矩阵。证明：任取的一组标准正交基，则在这组基下的矩阵是一个实对称矩阵，因此有正交矩阵T，使成对角形。令因T是正交矩阵，所以也是的标准正交基，而且在下的矩阵就是对角矩阵【定理10】如果是维欧式空间的一个对称变换，是的一个不变子空间，则也是的不变子空间。证明：设，要证，即任取，都有,因因此即，也是的不变子空

25、间。3 线性空间简介线性空间是高等数学中最基本的概念之一，线性空间的理论不仅是高等代数的核心，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，而且广泛渗透到各个领域中，如经济管理科学、工程技术、自然科学等.所以线性空间理论既是现代数学的重要支柱，也是应用很广泛的理论之一。线性空间又被称作向量空间，线性空间的概念是维向量空间概念的抽象和提高，它把直观、具体的平面与集合空间推广到了抽象的线性空间.所以从一定意义上来讲，线性空间是几何学的推广与升华，特别是在解析几何学中.3.1 线性空间的概念定义：设V是非空集合，F是某一个数域：V上定义了

26、一个加法运算（也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V中任意两个元素与，在V中都有一个确定的元素与只对应，称为与的和，记法=+），同时也定义了一个用F上的数乘以V中元素，乘积保持为V中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F上的任意一个数与V中任意一个元素，按照这个法则，V中总有一个确定的元素与之对应，称为乘的数乘积，有关这两个运算还满足以下八条运算律7：设 (1) (2) (3) V中存在零元素，记它为0，对任何V中元素，都有+0=成立;(4) 对V中的任何元素，V中一定还存在的负元素，记为-，使得+（-）=0;(5) 1=;(6) (7) (8)这时便称V是数域F上的

27、一个线性空间.注：实数域R上的线性空间称为是线性空间；复数域C上的线性空间称为复线性空间.3.2 线性变换的定义定义1 线性空间的一个变换 A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有A()=A()+A(),A()=A().也可以把这两个式子统一，线性空间的一个线性变换A称为线性变换，如果对于中的任意、和数域中的任意数、有A+=A+A()注 我们用花体拉丁字母A、B代表的变换，A或A代表元素在变换A下的像；例 线性空间中的恒等变换或称为单位变换E即E=()3.3 线性变换的性质和运算设A是的线性变换，则A=，A-=-A.证 因为A-=A-1=-1A()=-A().线性变换保持线性组

28、合与线性关系式不变.证 令=.线性变换A作用两边有A()=.设A、B是线性空间的两个线性变换，它们的乘积其它运算B称为A的逆变换，如果AB=BA=E，记为，是线性变换。线性变换指数的法则：当线性变换可逆时有设称为线性变换的A的多项式3.4 线性变换的矩阵3.4.1 线性变换对应矩阵的性质定义2 设是数域上维线形空间的一组基，A是中的一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：用矩阵乘法表示就是A= =其中=矩阵称为A在基下的矩阵。引出以上定义的有定理1设线性空间中任意个向量，存在唯一的线性变换A使注 定理说明线性变换后的像仍旧是中一个向量设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公

29、式5对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：1) 线性变换的和对应于矩阵的和；2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4) 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵；注 线性变换A对应的秩为A的维数，而V的维数=A的秩+A的零度，故矩阵的秩应不大于的维数.3.4.2 相似矩阵定理2 设线性空间中线性变换A在两组基下的矩阵分别为和，从基到的过度矩阵是，于是=.定义3 设,为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得=，就说相似于，记作相.注 也就是说定理3中矩阵，相似，并且可逆.相似矩阵具有以下性质：1.反身性:相似；2.对称性:如果相

30、似，那么相似；3.传递性：如果相似，相似C，那么相似.3.4.3对角矩阵定义4 设A是数域上空间的一个线性变换，如果对于数域中的一个，存在一个非零向量，使得A=.那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量.定理3 设A是维线性空间的一个线性变换，A的矩阵可以在某组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A有个线性无关的特征向量A在基下的矩阵形式：=定理4 如果是线性变换A的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.注 对于一个线性变换，求出属于每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一起还是线性无关的.如果它们的个数等于空间的维数，那么这个线性变换在一组

31、合适的基下的矩阵是对角矩阵.定义5 设是数域上一级矩阵，是一个文字，矩阵的行列式称为A的特征多项式，这是数域上的一个级多项式例1设线性变换在基下的矩阵是 =，求 由组成的特征向量，及特征向量对应的对角矩阵.解 因为特征多项式为=.所以特征值是-1（二重）与5.把-1代入齐次方程组得到它的的基础解系是，因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是而属于-1的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的数对.再把特征值5代入，得它的基础解系是因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是，故线性变换A的特征值-1（二重）与5，对应的特征向量是由此可见，A在基的过度矩阵是 =对在下的对角矩阵 =例2 设三维线性空

32、间上的线性变换在基下下的矩阵为求在基下的矩阵；求在基下的矩阵，其中且求在基下的矩阵.解 因故，在基下的矩阵为因故在基下的矩阵为因故在基下的矩阵为4 线性空间与欧式空间的对比广义地讲，欧式空间是定义了内积的线性空间，所以欧式空间具备线性空间的所有性质。但由于欧式空间中引入了内积的概念，故它又不同于线性空间。4.1 基础域的对比讨论线性空间讨论的平台是一般的数域P,即P可以是任意数域;而欧式空间讨论的平台是实数域，属于线性空间的一种特例8。4.2 运算的对比讨论数域P上的线性空间V的运算有：向量的加法、数量与向量的乘法，即:(1)如果，V，有+V；(2)如果kP，V，有kV。而欧式空间的运算有:向

33、量的加法、数量与向量的乘法、向量的内积，即:(1)如果，V，有+V；(2)如果kP，V，有kV；(3)如果，V，有（，）V。4.3 基的对比讨论n维线性空间一定有基。定理：如果在线性空间V中有n个线性无关的向量1、2、L、q1，且V中任一向量都可以用它们的线性表出，那么V是n维的，而1、2、L、q1就是V的一组基。而n维欧式空间不仅一定有基，而且有正交基、标准正交基。定义：在n维欧式空间V中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。n维欧式空间V的一个标准正交基又可以由n维线性空间的一个基求得。设1、2、L、q1是n维欧式空间V的一个基，利用施密特正交化法，即可以得到n维欧式空间V的一个标准正交基。4.4 向量坐标的对比讨论无