测量学：第6章_测量误差_本科

1、n6.1 测量误差的概念测量误差的概念 n用仪器对某量进行观测，就会产生误差。 n表现在同等条件下对某个量进行多次重复观测， n所得观测值l1， l2 ， ln一般互不相等。 n设观测量的真值 ， n观测量li的误差 n产生误差的原因仪器误差、观测误差与外界环境。 n误差分类偶然误差、系统误差、粗差。 第6章 测量误差的基本知识 l lli i n(1) 偶然误差偶然误差 n符号与大小呈偶然性， n单个偶然误差无规律，大量的偶然误差有统计规律。 n偶然误差真误差。 n案例 n三等、四等水准测量， n在cm分划的水准标尺上估读mm位， n估读的数有时过大，有时偏小； n经纬仪测量水平角， n大气

2、折光使望远镜中目标的成像不稳定， n引起瞄准目标有时偏左、有时偏右。 n多次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响， n不能完全消除偶然误差的影响。 a n(2) 系统误差系统误差 n符号与大小保持不变，或按一定规律变化。 n案例 n钢尺量距， n用没有鉴定、名义长为30m、 n实际长为30.005m的钢尺量距， n每丈量一整尺段距离就量短了0.005m， n产生-0.005m的量距误差。 n各整尺段的量距误差大小都是0.005m， n符号都是负，不能抵消，具有累积性。 n系统误差对观测值的影响具有一定的规律性， n找到规律就可对观测值施加改正 n以消除或削弱系统误差的影响。 S n(3) 粗差粗

3、差 n测量中的错误。 n案例 n三角形内角和的理论值等于180， n只要测量了任意两内角， n第三个内角可用180减去两内角和求得， n确定三角形形状的必要观测数为2。 n若内角测量时，经纬仪对中对错了点， n所测内角就有粗差， n没有检核条件时，该粗差不能被发现，更不能被消除。 n若测量了第三个内角多余观测， n三内角和等于180就构成了一个检核条件。 n若角度闭合差超过限差要求，应舍弃错误观测值，重新观测。 n粗差可通过多余观测发现， n重新观测含粗差的观测量消除粗差。 g n误差定义 n规范规定 n测量仪器使用前应进行检验和校正； n按规范要求操作； n布设平面与高程控制网测量控制点的三

4、维坐标时， n应有一定量的多余观测。 n严格按规范要求进行测量时， n系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小， n只讨论误差包含有偶然误差(真误差)的情形。 gSa a n6.2 偶然误差的特性 n定义 n大部分情况下，真值 未知，求不出。 n某些情形中，观测量函数的真值已知， n案例，三角形内角和闭合差定义为 ni=(1+ 2 + 3)i180 n真值 ， 的真误差 n结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身。 lli i l 0 i iiii 358个三角形闭合差真误差统计分析案例 n 偶然误差有界。 n一定观测条件、有限次观测中， n偶然误差的绝对值不超过一定限值； n 小误差出现的频率大

5、，大误差出现的频率小， n 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等； n 观测次数n，偶然误差平均值0 偶然误差的特性 0lim n n n i in 1 21 n当误差数n ，误差区间d0 ， n小长条矩形顶边折线变成光滑曲线正态分布密度曲线， n函数式 n正态分布概率密度函数， n德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现。 2 2 2 2 1 )( efy 2 2 2 2 1 )( efy 用数学工具软件Mathematica证明 用数学工具软件Mathematica绘函数图 n20世纪相当长的时间内， n大学数学教学体系和教学内容仍保持20世纪初的框架， n我国现行的工

6、科数学教学体系也基本沿用20世纪50年代末制定 的方案， n教学内容也一直没有大的变化， n内容多、负担重、枯燥乏味、学生学习积极性不高 n一直困扰着大学数学教育， n新技术在数学教学中的应用严重滞后于其他学科， n数学课逐渐地变成不少学生不喜欢的、枯燥乏味的、不知有何 用途的课程， n数学的教学与社会需求严重脱节。 数学工具软件Mathematica的背景 n针对这一问题， n美国由国家科学研究管理机构组织和协调， n投入相当多的资金和人力， n相继完成了“微积分改革”和“将数学及其应用贯穿到大学课 程”的两大改革项目， n改革的成功经验在世纪之交影响了我国的数学课程改革。 n当前，国内外数

7、学课程教改的主要做法是： n 对现有的数学课程进行改革，删除陈旧的内容，简化形式推 理和繁琐的技巧，实现逻辑推理、图形和数值计算的有机结合； n在课程中适当增加有关数学应用的内容， n包括数学在现代社会和新的科学技术中的应用实例和将实际问 题归结为数学问题即“数学建模”的方法， n达到提高学生对数学的广泛应用性的认识， n培养学生具备一定的用数学解决实际问题的能力。 数学工具软件Mathematica的背景 n 开设一些新的诸如数学建模类的课程， n计算机科学和其他学科渗透到数学中 n或数学渗透到其他学科的交叉学科课程， n以及学生运用计算机为手段， n自己动手学习数学和认识数学的课程“数学实

8、验”课。 n1996年，中国工业与应用数学学会和全国高等学校数学与力学 教学指导委员会， n相继将“数学实验” 列为面向21世纪教学内容 n和课程体系革新的突破口， n并定位于理工科大学生数学教育的基础课。 数学工具软件Mathematica的背景 n“数学实验”是计算机技术和数学软件 n引入教学后出现的新事物， n是数学教学体系、内容和方法改革的一项重要尝试。 n“数学实验”倡导将数学工具软件(例如Mathematica、Matlab、 Maple、Xmath、Lindo、Lingo等) n作为学习、研究和应用数学的一种新的手段， n它强调学生的主体性， n学生主要不再是通过教师的传授， n

9、而是通过自己的亲手实验去发现知识、获取知识。 n由于这些优势，它们在美国等发达国家的大学里已成为大学生、 硕士生、博士生必须掌握的基本程序语言， n更是早已成为研究设计单位和工业部门 n解决工程计算问题的一种标准软件。 数学工具软件Mathematica的背景 n1988年发布Mathematica 1.0， n总设计师是现任美国伊利诺大学物理学、数学和计算机科学教 授Stephen Wolfram。 n美国纽约时代周刊杂志称其为“不容忽视的重要软件”， n商业周刊后来将其列在当年最重要的十大新产品名单中。 nMathematica作为一项理论与实践结合的革新成果，在科学技术 领域迅速流行开来

10、。 n应用Mathematica， n人们可以在计算机上进行数学表达式的化简、 n多项式的四则运算、求最大公因式、因式分解、 n常微分方程和偏微分方程解函数、 n函数的幂级数的展开、求极限、曲线拟合、线性规划、 n矩阵和行列式的运算、线性方程组的符号解、 n函数作图等几乎涉及数学学科所有领域的工作。 数学工具软件Mathematica的背景 nMathematica n可以将研究人员 n从繁琐杂的数学公式推导和数值计算中解放出来， n从而有更多的时间和精力 n去从事建模方法和过程分析的研究。 数学工具软件Mathematica的背景 n6.3 评定真误差精度的指标 n(1) 标准差与中误差标准

11、差与中误差 n对真值 进行了n次等精度独立观测， n观测值l1， l2 ， ln n真误差1，2 ，n n观测值的标准差 nn有限时的标准差 n 中误差(mean square error)，用m表示。 l n n lim n m 用Excel计算 用Mathematica的NIntegrate 函数计算 n6.4 误差传播定律及其应用 n6.5 等精度独立观测量的最可靠值与精度评定 用Excel计算 n6.6 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定 n6.6.1 权 n例例6-6 1，2，3点为已知高等级水准点，独立观测了三段水 准路线高差，求P点高程的最可靠值与中误差。 n6.6.2 加权

12、平均值及其中误差加权平均值及其中误差 n点高程的加权平均值 321 332211 W HW WWW HWHWHW H PPPP PW m079.27 9 1 16 1 25 1 9 079.27 16 075.27 25 086.27 111 111 321 3 3 2 2 1 1 nnn H n H n H n H PPP PW 1 1 321 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 W m WWW W m m m m Wm m m Wm m m W W mWmWmW W m W W m W W m W W m PW H 站 站站站站 n加权平均值及其中误差推广到多元 n设不等精度独立观测量l1，l2，l3 ln n权W1，W2，Wn 站 站 m nnn m m PW H 4622. 0 111 321 站 mm P H 357. 2 21 2211 W lW WWW lWlWlW l n nn W 0 W m m W l n6.6.3 单位权中误差的计算 n不等精度独立观测量l1，l2，l3