特征函数和矩母函数[主要内容]

1、一、矩母函数一、矩母函数 矩母函数和特征函数矩母函数和特征函数 1定义定义 称称 的数学期望的数学期望 为随机变量为随机变量X的矩母函数。的矩母函数。 2原点原点 矩的求法矩的求法 tX e )( tX eEt 利用矩母函数可求得利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在逐次求导，并计算在 点的点的 值：值： )(t0t )( tX XeEt )( )tXnn eXEt （ )0( )nn XE （ 1青苗辅导1 3和的矩母函数和的矩母函数 定理定理1 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量 的的 矩母函数分别为矩母函数分别为 ， ， ， 则其和则其和 的矩母函数为

2、的矩母函数为 r XXX， 21 )( 1 t)( 2 t )(t r r XXXY 21 )(t Y )( 1 t)( 2 t)(t r 2青苗辅导1 4. 母函数母函数 设设X是是非负整数值随机变量非负整数值随机变量，分布律，分布律 PX=k=pk，k=0,1, 则称则称 为为X的的母函数母函数。 0 )()( k k k X spsEsP 3青苗辅导1 (1)非负整数值随机变量的分布律非负整数值随机变量的分布律pk由其母由其母 函数函数P(s)唯一确定唯一确定 (2)设设P(s)是是X的的母母函数，函数， 若若EX存在，则存在，则EX=P (1) 若若DX存在，则存在，则DX= P (1

3、) +P (1)- - P (1)2 , 2 , 1 , 0, ! )0( )( k k P p k k 4青苗辅导1 (3)独立随机变量之和的独立随机变量之和的母函数等于母函母函数等于母函 数之积。数之积。 (4)若若X1,X2,是相互独立同分布的非负整是相互独立同分布的非负整 数值随机变量，数值随机变量，N是与是与X1,X2,独立的非独立的非 负整数值随机变量，则负整数值随机变量，则 的的母函数母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1 其中其中G(s),P(s)分别是分别是N, X1的母函数。的母函数。 N k k XY 1 5青苗辅导1 (1) ，故故 则则令令 1 , 0 !

4、 )0( !)0(, 0 ) 1() 1(!)( , 1 , 0,)( )( )( 1 )( 100 n n P p pnPs spnkkkpnsP nspspspsP n n n n nk nk kn n nk k k n k k k k k k 6青苗辅导1 2 222 2 11 2 12 2 1 1 1 1 0 )1 () 1 () 1 ( )() 1 ()( ) 1() 1() 1 ( ) 1()( ) 1 ()( )(,)( PPP EXEXPEXEXDX EXEXkppk pkkpkkP spkksP PkpXE skpsPspsP k k k k k k k k k k k k

5、k k k k k k k (2) 7青苗辅导1 设离散型非负整数随机变量设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律的分布律 分别为分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ， 则则Z=X+Y的分布律为的分布律为PZ=k=ck,其中其中 ck= p0 qk +p1qk- -1 + + pk q0 设设X,Y,Z的母函数分别为的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有，即有 0 00 )( )(,)( k k kZ k k kY k k kX scsP sqsPspsP (3) 8青苗辅导1 )( )()( 0 000, 00 sPsc sqpsqp sqspsPsP Z

6、r r r r r r k krk lk lk lk l l l k k kYX 9青苗辅导1 (4) 00 00 00 00 0 , , )( k k l kl k kl k k k l k k skYPlNP slNPkYP slNkYP slNkYP skYPsH 10青苗辅导1 001 001 01 0 ( ) ( )( ( ) l k j lkj l k j lkj l lj l l P NlPXk s P NlP Xk s P NlP s P NlP sG P s 11青苗辅导1 ) 1) 1 ( ) 1 () 1 ( ) 1 ()1 ( )( ) 1 ( 1 1 1 P EXEN

7、PG PPG ds dP dP dG ds sPdG HEY s s 注注 12青苗辅导1 欧拉公式： 二、特征函数二、特征函数 1 .特征函数特征函数 设设X为随机变量，称复随机变量为随机变量，称复随机变量 的数学期望的数学期望 itX e )(t X itX eE 为为X的特征函数，其中的特征函数，其中t是实数。是实数。 还可写成还可写成 )(t X sincostXiEtXE cossin i ei ()( ) XX tit 13青苗辅导1 分布律为分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散的离散 型随机变量型随机变量X，特征函数为特征函数为 概率密度为概率密度为f(x)的连续型

8、随机变量的连续型随机变量X，特征特征 函数为函数为 ( )( )d itx tef xx 1 ( ) k itx k k tep 对于对于n维随机向量维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特，特 征函数为征函数为 12 1 ( )( , ,)exp n itX nkk k tt ttEeEit X 14青苗辅导1 (1) 。 (2) 在（在（- - ， ）上一致连续。）上一致连续。 (3)若随机变量若随机变量X的的n阶矩阶矩EXn存在，则存在，则 , k n 当当k=1时，时，EX = ； 当当k=2时，时，DX = 。 (0)1,( )1,()( )ttt ( ) t ( ) (0)

9、kkk i EX (1) (0)/i (2)(1)2 (0)(0)/ ) i 15青苗辅导1 (4) 是非负定函数。是非负定函数。 (5)若若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，是相互独立的随机变量， 则则X=X1+X2+Xn的特征函数为的特征函数为 (6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对随机变量的分布函数与特征函数是一一对 应且相互唯一确定。应且相互唯一确定。 ( ) t 12 ( )( )( )( ) n tttt 16青苗辅导1 如果随机变量如果随机变量X为连续型，且其特征函为连续型，且其特征函 数绝对可积，则有数绝对可积，则有反演公式反演公式： 1 ( )( ) 2 it

10、x f xet dt ( )( ) itx tef x dx （相差一个负号的傅立叶逆变换）（相差一个负号的傅立叶逆变换） （相差一个负号的傅立叶变换）（相差一个负号的傅立叶变换） 17青苗辅导1 例例1 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，的泊松分布， 求求X的特征函数。的特征函数。 解解 由于由于 所以所以 e k kXP k ！ ）（ )(t X e k e k k itk ！ 0 ！k e e kit k )( 0 it e ee )1( it e e 麦克劳林公式 18青苗辅导1 例例2 设随机变量设随机变量X服从服从a，b上的均匀分布，求上的均匀分布，求X的的

11、特征函数。特征函数。 解解 X的概率密度为的概率密度为 所以所以 其它0 1 )( bxa ab xf dx ab et b a itx X 1 )( )(abit ee itaitb 19青苗辅导1 设设X服从二项分布服从二项分布B(n, p)，求，求X的特的特 征函数征函数g(t)及及EX、EX2、DX。 knkk n qpC 00 ( ) nn kn itkkkn kkitn kit nn kk g te C p qCpeqpeq X的分布律为的分布律为P(X=k)= ， q=1-p，k=0,1,2,n 0 (0) n it t d EXigipeqnp dt 2 2 DXEXEXnpq

12、 2 22 222 0 2 (0) n it t d EXigipeqnpqn p dt 20青苗辅导1 设设XN(0,1)，求，求X的特征函数。的特征函数。 2 2 1 ( ) 2 x itx g te edx 22 22 1 ( ) 22 xx itxitx i g tixe edxe de 2 1 g( )( )0,ln( ) 2 dg ttg ttdtg ttC g 22 22 ( ), 22 xx itx itx it ee edxtg t 22 11 22 ( ),(0)1,0( ) tCt g tegCg te 由得，从而 21青苗辅导1 设随机变量设随机变量X的特征函数为的特征

13、函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中其中a, b为任意实数为任意实数，证明证明Y的的 特征函数特征函数gY(t)为为 。 )()(atgetg X itb Y () ( ) it aXb Y gtE e ()()i at Xitbitbi at X E eee E e () itb X e gat 22青苗辅导1 设随机变量设随机变量YN( , 2) ，求，求Y的特征的特征 函数为函数为gY(t)。 2 2 )( t X etg ( )() i t YX gtegt XN(0 , 1) ，X的特征函数为的特征函数为 设设Y= X + ，则，则YN( , 2) ， Y的特征函数为的特征函数为 2 22 2 22 tt i t i t e ee 23青苗辅导1 三、常见随机变量的数学期望、方差、特征三、常见随机变量的数学期望、方差、特征 函数和母函数函数和母函数 分布分布期望期望方差方差特征函数特征函数母函数母函数 0-1分布分布 ppqq + ps 二项分布二项分布 npnpq(q +ps)n 泊松分布泊松分布 几何分布几何分布 p 1 2 p q