大物例题(一)学习

1、r2 r1 r x y z B A o S r 与与 的区别的区别r rr s 与与 的区别的区别r rs 路程路程 s 为为质点运动的质点运动的轨道轨道长度长度 0t dsrd 元位移的大小元位移的大小元路程元路程 a ) 为标量，为标量， 为矢量为矢量r r 12 rrr 12 rrr b ) r2 r1 o r r A B C 例例:一质点运动轨迹为抛物线一质点运动轨迹为抛物线 求求:x= -4m时（时（t0) 粒子的速度、速率、粒子的速度、速率、 加速度。加速度。 x y 24 2 2tty tx (SI) (SI) 解解: smv x 4 tt dt dy v y 44 3 smvv

2、v yx 374 22 )(44412 22 msta y 练习练习 2 2 2 2 ms dt xd dt dv a x x ? y a t dt dx v x 2 2 t smv y 24 2 t 24 2 2tty tx (SI) (SI) smjiv/ 244 求求:船的速率船的速率 解解:22 hls h s 0 v 例例 l cos 0 0 22 v v s l hl dt dl l dt ds v 0 v dt dl h s l 0 v 0 v v 0 v v cos 0 v v cos 0 vv 0 v v ? jivt42 2 2 解解: : 求求t=0t=0秒及秒及t=2t

3、=2秒时质点的速度，并求后者的秒时质点的速度，并求后者的 大小和方向。大小和方向。 jti tr)2(2 2 3.3.设质点做二维运动设质点做二维运动： 方向方向: : 轴轴的的夹夹角角与与为为xv 2 6263 2 4 arctan smv/47. 442 22 2 大小大小: : ivt2 0 0 jti dt rd v22 练习练习. .一质点沿一质点沿x轴作直线运动轴作直线运动, ,其位置坐标与时间的其位置坐标与时间的 关系为关系为 x=10+8=10+8t-4-4t2 2, ,求求: : （1 1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。）质点在第一秒第二秒内的平均速度。 （2 2）质点在）

4、质点在t t=0=0、1 1、2 2秒时的速度。秒时的速度。 解解: : 2 4810 1ttxt 时时刻刻）（ 2 )(4)(810)( ttttxxtt 时时刻刻 2 )(488 ttttxt 内内位位移移为为 tt t x v tt 488 21 轴轴正正向向相相反反方方向向与与 xsmv )(4488 21 轴轴正正向向相相同同方方向向与与xsmv)(4408 10 轴轴正正向向相相反反与与 x s m v 8 2 t dt dx v t 88 轴轴正正向向相相同同与与 x s m v 8 0 此此时时转转向向 0 1 v 代入代入 t = 0 , 1 , 2 得得: x=10+8t-

5、4t2 （2 2）质点在）质点在t=0、1、2秒时的速度。秒时的速度。 1.1.一质点由静止开始作直线运动一质点由静止开始作直线运动, ,初始加速度初始加速度 为为a0 0, ,以后加速度均匀增加，每经过以后加速度均匀增加，每经过秒增加秒增加a0 0， 求经过求经过t t秒后质点的速度和运动的距离。秒后质点的速度和运动的距离。 adtdv dt dv at a aa 0 0 ( (直线运动中可用标量代替矢量）直线运动中可用标量代替矢量） 解解: :据题意知据题意知, ,加速度和时间的关系为加速度和时间的关系为: : 1 2 0 0 0 0 2 )(ct a tadtt a aadtv 2 0

6、01 2 000t a tavcvt 时时 练习 补充练习补充练习 2 2、某物体沿、某物体沿经经x轴作直线运动轴作直线运动, ,其速度其速度v=-kx, ,式中式中k 为正常量为正常量; ;已知已知t =0=0时时x=x0 。求。求:(1):(1)运动方程运动方程; (2); (2) 物体自物体自x0运动到运动到x=x0/2处，所需时间处，所需时间t t. . 3 3、河宽为、河宽为d, ,岸边处水流速度为零。设中间流速为岸边处水流速度为零。设中间流速为 v0, ,从岸边到河心，流速按正比增大。某人划船以从岸边到河心，流速按正比增大。某人划船以 不变的划速不变的划速u垂直于水流方向垂直于水流

7、方向从岸边划到河心，从岸边划到河心， 求求:(1):(1)船的运动方程船的运动方程; ; (2)(2)船的轨道方程。船的轨道方程。 utyt d uv x 2 0 2 0 y ud v x dv0 o y x u uty t d uv x 2 0 运动方程为 2 0 y ud v x 轨道方程为 dv0 o y x u uvkyv yx 因此可得时 0 2 vv， d y x d v y v k x0 2 y d v kyvx 0 2 则有 utudtdtvy tt y 00 ut d v v x 0 2 则 2 0 0 0 2 t d uv dt d utv x t 匀加速运动匀加速运动 a

8、 为常矢量为常矢量 2 00 2 1 t atvrr t av dt rd v 0 ),( 00 vr 初始条件给定初始条件给定. 抛体运动抛体运动 典型的匀加速运动，典型的匀加速运动， ag 运动叠加和运动的独立性运动叠加和运动的独立性 运动平面在运动平面在 内内),(gv 0 y x v0 0 xyaag vvvv xy xy 00 0000 00 cossin 2 0 0 2 1 gttvy tvx sin cos gtvv vv y x sin cos 0 0 y x v0 0 xyaag vvvv xy xy 00 0000 00 cossin jgtvivjvivv yx )sin

9、(cos 00 jgttvitvj yixr ) 2 1 sin(cos 2 00 例例1、由楼窗口以水平初速度、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子射出一发子 弹弹,取枪口为原点取枪口为原点,沿沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y 轴，并取发射时轴，并取发射时t=0.试求试求: (1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程的位置坐标及轨道方程; (2)子弹在子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向时刻的速度，切向加速度和法向 加速度。加速度。 2 0 2 1 gty tvx (2)gtvvv yx , 0 与切向加速度垂直与切向加速度垂直 解解:(1) 2 0 2 2 1 v g

10、x y 0 1222 0 22 tan v gt tgvvvv yx 222 0 2 tgv tg dt dv at 222 0 022 tgv gv aga tn 与速度同向与速度同向 a a gy xo v0 n 0 x jgtivv 0 例例1、在倾角为、在倾角为 的圆锥体的侧面放一质量为的圆锥体的侧面放一质量为m的的 小物体小物体,圆锥体以角速度圆锥体以角速度 绕竖直轴匀速转动。轴绕竖直轴匀速转动。轴 与物体间的距离为与物体间的距离为R,为了使物体能在锥体该处保为了使物体能在锥体该处保 持静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为持静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为 多少多少?并简

11、单讨论所得到的结果。并简单讨论所得到的结果。 R 四、牛顿定律的应用四、牛顿定律的应用 0cossin : sincos : 2 mgNNy RmNNx 对给定的对给定的、R和和,不能小于此值不能小于此值 否则最大静摩擦力不足以维持否则最大静摩擦力不足以维持m在在 斜面上不动。斜面上不动。 R mg N fs x y g R 2 cossin sincos sincossincos 22 RRgg sincos cossin 2 2 Rg Rg 讨论讨论:由由0,可得可得:gcos- 2 Rsin0 R g 2 tan 所以所以: 时时,物体不可能在锥面物体不可能在锥面 上静止不动上静止不动

12、当当 R g 2 tan sincos cossin 2 2 Rg Rg 例例2、顶角为、顶角为2 的直圆锥体的直圆锥体,底面固定在水平面上底面固定在水平面上, 如图所示。质量为如图所示。质量为m的小球系在绳的一端，绳的的小球系在绳的一端，绳的 另一端系在圆锥的顶点，绳长为另一端系在圆锥的顶点，绳长为l，且不能伸长，且不能伸长， 质量不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面质量不计。圆锥面是光滑的，今使小球在圆锥面 上以角速度上以角速度 绕绕OH轴匀速转动，求轴匀速转动，求: (1)、锥面对小球的支持力、锥面对小球的支持力N和细绳的张力和细绳的张力T; (2)、 当当 增大到某一值增大到某一值

13、c 时，小球将离开锥面，这时时，小球将离开锥面，这时 c 及及T又各是多少又各是多少? H O l H O l 解解:设小球所在处圆锥体的水平截面半径为设小球所在处圆锥体的水平截面半径为r 0sincos cossin 2 mgNT rmmaNT sinlr 22 2 sincos cossinsin) 1 ( lmmgT lmmgN cos/ cos/ 0 )2( mgTlg N c c 例例3. 质量为质量为m的小球的小球,在水中受的浮力为常力在水中受的浮力为常力F,当它当它 从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为为 常数），证明小球在水中竖

14、直沉降的速度常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间与时间t 的关系为的关系为 f F mg a x )1 ( m kt e k Fmg v 式中式中t为从沉降开始计算的时间为从沉降开始计算的时间 证明证明:取坐标取坐标,作受力图。作受力图。 dt dv mmaFkvmg 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,有有 初始条件初始条件:t=0 时时 v=0 dt dv mmaFkvmg tv dt m)Fkvmg( dv 00 tv dt )Fkvmg( )Fkvmg(d k m 00 m kt )Fkvmgln( v 0 )1 ( m kt e k Fmg v 例例4、水平面上有一质量为、水平

15、面上有一质量为51kg的小车的小车D,其上有一定其上有一定 滑轮滑轮C,通过绳在滑轮两侧分别连有质量为通过绳在滑轮两侧分别连有质量为m1=5kg和和 m2=4kg的物体的物体A 和和B。其中物体。其中物体A在小车的水平面上，在小车的水平面上， 物体物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。各被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。各 接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，接触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上， 才能使物体才能使物体A与小车与小车D之间无相对滑动。（滑轮和绳之间无相对滑动。（滑轮和绳 的质量均不计，绳与滑轮间无滑动）的质量均不计，绳与滑轮间无滑动） D C B A

16、 解解:建立坐标系并作受力分析图建立坐标系并作受力分析图: X Y O B m2g T 列方程列方程: x x x MaTTF gmT amT amT sin cos sin 2 2 1 解出解出: 2 2 2 1 221 2 2 2 1 2 )( mm gmMmm F mm gm ax =784N A m1g N1 T D Mg N2 F T T 例例1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(2 1 mx 处运动到处运动到 )(3 2 mx 处该力作的功处该力作的功: 1. 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx4 2

17、 2. 质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xy X Y O 23 1 25. 2 yx4 2 64 xy 做做 功功 与与 路路 径径 有有 关关 )(42Nji yF Jdydx x dyydxdyFdxFW y y x x yx yx yx 8 .104 2 42)( 49 1 3 2 2 , , 1 2 1 2 1 22 11 X Y O 23 1 25. 2 yx4 2 64 xy Jdydxx dyydxdyFdxFW y y x x yx yx yx 25.214)6( 2 1 42)( 49 1 3 2 , , 2 2 1 2 1 22 11 b a zyx B A

18、dzFdyFdxF rdFW 例例2、一陨石从距地面高为、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面处由静止开始落向地面, , 忽略空气阻力忽略空气阻力, ,求陨石下落过程中，万有引力的功求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少是多少? ? 解解:取地心为原点取地心为原点,引力与矢径方向相反引力与矢径方向相反 a b h R o R hR rdFW )(hRR GMmh 2 R hR dr r Mm G hRR GMm r dr GMm R hR 11 2 例例3、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力 i tF12 (SI) 的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。轴

19、正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。求前三秒内该力所作的功。 解解:（一维运动可以用标量）（一维运动可以用标量） vdttrdFW12 2 000 0 3 2 12 0tdt t dt m F adtvv ttt JtdttdtttW729936312 4 3 0 3 3 0 2 x v o l 0 v u m M 例一例一、如图，车在光滑水平面上运动。已知、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、l 0 v 人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。到达车尾。 求求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程；车的运动

20、路程； 3、若人以变速率运动，若人以变速率运动， 上述结论如何？上述结论如何？ 解解:以人和车为研究系以人和车为研究系 统统,取地面为参照系。取地面为参照系。 水平方向系统动量守水平方向系统动量守 恒。恒。 )()( 0 vumvMvmM )()( 0 vumMvvmM v o l 0 v u m M x t l mM m vu mM m vv 00 1、 2、 l mM m tvt t l mM m vvts 00 )( 3、u mM m vv 0 l mM m tv dt mM mu vvdts tt 0 0 0 0 )( 例二、例二、 质量为质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以 10m/s

21、的速率飞来的速率飞来,被板推挡后被板推挡后,又以又以 20m/s的速率飞出。设两速度在垂直的速率飞出。设两速度在垂直 于板面的同一平面内，且它们与板于板面的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为面法线的夹角分别为45o和和30o，求求: （1）乒乓球得到的冲量乒乓球得到的冲量;（2）若撞若撞 击时间为击时间为0.01s，求板施于球的平均求板施于球的平均 冲力的大小和方向冲力的大小和方向。 45o 30o n v2 v1 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短， 忽略重力影响。设挡板对球的冲力为忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有则有： F

22、12 vmvmdtFI 45o 30o n v2 v1 O x y 取坐标系取坐标系,将上式投影将上式投影,有有: tF mvmvdtFI x xx )45cos(30cos 12 tF mvmvdtFI y yy 45sin30sin 12 2.5g m/s20 m/s10 0.01s 21 m vvt N14. 6 N7 . 0 N1 . 6 22 yx yx FFFFF sNjijIiII yx 007. 0061. 0 为平均冲力为平均冲力与与x方向的夹角方向的夹角。 6.54 1148.0tan xy FF 此题也可用矢量法解此题也可用矢量法解 45o 30o n v2 v1 O x

23、 y 105cos2 21 22 2 22 1 2 vvmvmvm tFI Ns1014. 6 2 N14. 6 t I F 105sinsin 2 tFmv 51.86 0.7866sin 86. 64551.86 v2 v1 v1 t F x 例三、例三、 一质量均匀分布的柔软细绳一质量均匀分布的柔软细绳 铅直地悬挂着铅直地悬挂着,绳的下端刚好触到水平绳的下端刚好触到水平 桌面上桌面上,如果把绳的上端放开，绳将落如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。在桌面上。试证明试证明:在绳下落的过程中，在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的

24、绳重量的三倍。到桌面上的绳重量的三倍。 o x 证明证明:取如图坐标取如图坐标,设设t时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌长的柔绳落至桌 面面,随后的随后的dt时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的的 柔绳以柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量的速率碰到桌面而停止，它的动量 变化率为变化率为: dt dt dx dx dt dp 根据动量定理根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为桌面对柔绳的冲力为: 2 v dt dt dx dx dt dp F 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF即即: LMgxFgxvv L M vF/2 2 222 而 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落

25、到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以所以F总 总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg 证明证明: :两个质量相同的粒子两个质量相同的粒子, ,若发生弹性碰撞碰前一若发生弹性碰撞碰前一 个粒子静止个粒子静止, ,则碰后两个粒子的速度相互垂直。则碰后两个粒子的速度相互垂直。 0 v 1 v 2 v 210 vmvmvm 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvmvmv )(2 21 2 2 2 1 2 0 vvvvv 212100 vvvvvv 0 21 vv 210 vvv 2 2 2 1 2 0 vvv 证证: : 例例: :质量质量 M 的沙箱的沙箱, ,悬挂在线

26、的下端悬挂在线的下端, ,质量质量 m，速，速 率率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至 某一高度某一高度 h 为止。试从高度为止。试从高度 h 计算出子弹的速计算出子弹的速 率率 ，并说明在此过程中机械能损失。，并说明在此过程中机械能损失。 0 v 0 v m M h 0 v 解解: :从子弹以初速击中沙箱到获从子弹以初速击中沙箱到获 得共同速度可看作在平衡位置完得共同速度可看作在平衡位置完 成的完全非弹性碰撞。水平方向成的完全非弹性碰撞。水平方向 受外力为受外力为0, ,由动量守恒有由动量守恒有 vMmmv)( 0 子弹射入沙箱后子弹射入沙箱后,只

27、有重力作功只有重力作功,子弹，沙箱、地子弹，沙箱、地 球组成的系统机械能守恒。球组成的系统机械能守恒。 ghMmvMm)()( 2 1 2 m ghMm v 2)( 0 碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为: 2 2 0 )( 2 1 2 1 vMmmvEk ghMm m M )( 例例 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h 19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1秒钟落到爆炸点正下方的地面上秒钟落到爆炸点正下方的地面上,设此处与发射点的设此处与发射点的 距离距离S110

28、00米米,问另一块落地点与发射点的距离是问另一块落地点与发射点的距离是 多少多少?（空气阻力不计（空气阻力不计,g=9.8m/s2) 解解:知第一块方向竖直向下知第一块方向竖直向下 smvv y /7.14 11 v2 y h x v1 S1 2 1 2 1 gttvh 2 1 18.9 2 1 16.19 v tv tv v tvs gtv ghv v x y x y y yy 1000 8.9 6.198.922 0 2 1 2 炮炮弹弹到到最最高高点点 爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守恒 smv smv mvmv mvmv y x yy xx /7 .14 /1000 0 2 1 2

29、1 2 1 2 2 12 2 v2 y h x v1 S1 smv st x /500 ,2 第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动 222 2 22 2 1 tvs gttvh x y t2=4s t21s(舍去）舍去） s2=4000m mv1/2 mv2/2 mv x smvsmv yx /7 .14 /1000 22 22 2 22 1000 8.9 2 1 7.146.19 ts tt x2=5000m 例例1 1 一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动的质点沿着一条空间曲线运动, ,该曲该曲 线在直角坐标下的矢径为线在直角坐标下的矢径为: :j tbi tar sincos 其中其

30、中a、b、 皆为常数皆为常数,求该质点对原点的角动量。求该质点对原点的角动量。 j tbi ta dt rd v cossin vmrL 解解:已知已知 ktmabktmab 22 sincos kmab j tbi tar sincos 例题例题2）一质量为）一质量为m的质点以速度的质点以速度 从参考点平抛出从参考点平抛出 去去,用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩。 0 v 解解: jtgivv 0 jtgi tvr 2 1 2 0 vmrL ) () 2 1 ( 0 2 0 jgtivmjgti tv ktmgv 2 0 ktmgv 2

31、1 2 0 ktvgm dt Ld M 0 ) 2 1 ( 2 0 ktmgv L r gm vm X Y Z O M 0 v O M地 地 0 v v Y X O Z m C 例例3）质量为）质量为m的小球的小球A，以速度，以速度 沿质量为沿质量为M的，的， 半径为半径为R的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴的地球表面水平切向向右飞出（如图）地轴 OO与与 平行，小球平行，小球A的轨道与轴的轨道与轴OO相交于相交于 3R的的C 点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球点，不考虑地球的自转与空气阻力，求小球A在在C点点 的的 与与 之间的夹角之间的夹角 。 v 0 v 0 v 0 v 解解:以

32、以M,m 为研究对象。为研究对象。 系统只受万有引力（保守力）系统只受万有引力（保守力）, ,故机械能故机械能 守恒。因引力是有心力守恒。因引力是有心力, ,则角动量守恒。则角动量守恒。 以无穷远为势能零点，则以无穷远为势能零点，则: : 已知：已知：, 0 vRmM 求：求： 0 r 1 r )3( 3 4 2 0 R GM vv )2( 100 vmrvmr )1( 32 1 2 1 22 0 R mM Gmv R mM Gmv 由（由（1 1）式）式: : )4( sin3 0 iRmviRmv 由（由（2 2）式）式: : Rr 0 Rr3 1 O M地 地 0 v v Y X O Z

33、 m 0 r 1 r C ) 3( 3 4 2 0 R GM vv )4( sin3 0 iRmviRmv RGMv v v v /129 3 sin 2 0 00 RGMv v /129 arcsin 2 0 0 O M地 地 0 v v Y X O Z m 0 r 1 r C 例例1.1.河水自西向东流动河水自西向东流动, ,速度为速度为10 km/h,10 km/h,一轮船在一轮船在 水中航行水中航行, ,船相对于河水的航向为北偏西船相对于河水的航向为北偏西3030o o, ,航速航速 为为20km/h20km/h。此时风向为正西，风速为。此时风向为正西，风速为10km/h10km/h。

34、试。试 求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设 烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）烟离开烟囱后即获得与风相同的速度） 解解: :设水用设水用s; ;风用风用f; ;船用船用c；岸用岸用d 已知：已知： 20 10 10 cs fd sd v v v 正东正东 正西正西 北偏西北偏西3030o o vcs vfd vsd sdcscdvvv cdfcfdvvv cdfdfcvvv hkmvv vv csfc sdfd /20 方向为南偏西方向为南偏西3030o o。fcv vc s vf d vs d vc d 0 30 vf c vf d vs d

35、 vc d 0 30 方向正北hkmvcd/310 例例2.2.一男孩乘坐一铁路平板车一男孩乘坐一铁路平板车, ,在平直铁路上匀加速在平直铁路上匀加速 行驶行驶, ,其加速度为其加速度为a，他沿车前进的斜上方抛出一球，他沿车前进的斜上方抛出一球， 设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他设抛球时对车的加速度的影响可以忽略，如果使他 不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方不必移动他在车中的位置就能接住球，则抛出的方 向与竖直方向的夹角应为多大向与竖直方向的夹角应为多大? ? a v0 解解: :抛出后车的位移抛出后车的位移: : 2 01 2 1 attvx 球的位移球的位移: : 2

36、 02 2 1 )cos( gttvy )sin( 002 tvvx 小孩接住球的条件为小孩接住球的条件为: : x1= x2; y=0 两式相比得两式相比得: tg g a )(sin 2 1 0 2 tvat tvgt)(cos 2 1 0 2 g a tg 1 2 02 2 1 )cos( gttvy )sin( 002 tvvx 2 01 2 1 attvx 练习练习:有人以有人以 的速率向东奔跑的速率向东奔跑, 他感到风从北他感到风从北 方吹来方吹来,当他奔跑的速率加倍时当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向则感到风从东北方向 吹来吹来, 求风的速度求风的速度. 1 3 ms 人

37、人地地风风人人风风地地 风地风地 人人地地 风人风人 人人地地风风人人风风地地 人人地地风风人人 2 0 45 人人地地 风人风人 0 45 风向为西北风风向为西北风 0 45cos 人地人地风地风地 )(23. 42 1 sm 人人地地 练习练习:河水流速为河水流速为 ,河面宽河面宽D=1km,一渡船相一渡船相 对于水的速度对于水的速度 ,如果船的航向与上游成如果船的航向与上游成 角角.求求(1)船到达对岸所需时间船到达对岸所需时间,到达对岸时位于正对岸到达对岸时位于正对岸 的下游何处的下游何处?(2)如果要使船到达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船船 头应与河岸成多大角度头应与

38、河岸成多大角度?最短时间最短时间 (3) )如果如果 要使船相对于正对岸航行的距离最短要使船相对于正对岸航行的距离最短,船头应与河岸船头应与河岸 成多大角度成多大角度?距离最短距离最短 1 3 ms 1 2 msu 0 30 ? min t ? min s u (1)设船相对于岸的速度为设船相对于岸的速度为 由速度合成得由速度合成得: u cosu cos coscosu coscosu 33 sinsinu 1 o B coscosu 33 sinsinu 1 u cosu cos o B A D AB两点的距离两点的距离: sin DOB t)(1000 sD 船到达船到达B点所需时间点所

39、需时间: tvS)cos( )(12681000)33(m 由由 sin DOB t sinu D 时时, 航时最短航时最短. 2 知知 故船头应与岸垂直时故船头应与岸垂直时, 航时最短航时最短. )(500 min s u D t (2)如果要使船到达对岸的时间最短如果要使船到达对岸的时间最短,船头应与河岸船头应与河岸 成成 多大角度多大角度?最短时间最短时间 ? min t (3) )如果要使船相对于正对岸航行的距离最短如果要使船相对于正对岸航行的距离最短, 船头船头 应与河岸成多大角度应与河岸成多大角度?距离最短距离最短 ? min s u cosu cos o B A D 设设 则则l

40、OB sin D l sin D sin cos2 22 u uuD 0 d dl 欲使欲使 最短最短,应满足极值条件应满足极值条件l 01coscos 22 2 u u 01cos 6 13 cos 2 即即 32cos 0 2 .48 故船头与岸成故船头与岸成 ,则航距最短则航距最短. 0 2 .48 coscosu 33 sinsinu 1 sin cos2 22 u uuD l u cosu cos o B A D 32cos km u uuD l5 . 1 sin cos2 22 min AB两点最短距离两点最短距离: kmDls12. 1 22 minmin 例例: :设有流量为设有流量为0.12m3 /s 的水流过一